高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质课件11 新人教B版选修2-1

1、2.2.2椭圆的几何性质(一)1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、 图形.学习目标思考1观察椭圆 (ab0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？答案(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b).思考2在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？答案在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).焦点在x轴上焦点在y轴上标准

2、方程_(ab0)_(ab0)图形焦点坐标_对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点坐标a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)范围|x|_，|y|_|x|_，|y|_长轴、短轴长轴a1a2长为_，短轴b1b2长为_梳理梳理椭圆的简单几何性质(c,0)(0，c)abab2a2b思考如何刻画椭圆的扁圆程度？答案用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.梳理梳理(1)椭圆的焦距与长轴长的比e 称为椭圆的离心率.(2)对于 ，b越小，对应的椭圆越 ，反之，e越接近于0，c就越接近于0，

3、从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2y2a2.(如图)扁解答例例1求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6，四个顶点坐标分别是(4 ， 0)，(4 ， 0)，(0，3)和(0 ， 3).引申探究引申探究本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.解答解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量.跟踪训练跟踪训练1求椭圆9x2y

4、281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.长轴长2a18, 短轴长2b6，解答命题角度命题角度1依据椭圆的几何性质求标准方程依据椭圆的几何性质求标准方程例例2如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点f与短轴两个端点b1，b2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点a的距离为 ，求这个椭圆的方程.解答由椭圆的对称性知|b1f|b2f|，又b1fb2f，b1fb2为等腰直角三角形，此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置.跟踪训练跟踪训练2根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：(1)长轴

5、长是短轴长的2倍，且过点(2，6)；解答同样地可求出当焦点在y轴上时，(2)焦点在 x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.解答用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，它改变了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲线不关于x轴对称.同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲线也不关于y轴对称.而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于原点对称.命题角度命题角度2对称性问题对称性问题例例3讨论方

6、程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称性.解答研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“y”代替方程中的“y”，用“x”代替方程中的“x”，或同时代替，若方程不变，则得到相应的对称性. 跟踪训练跟踪训练3曲线 x22y10 的对称轴为a. x轴 b. y轴c.直线 yx d.无法确定保持y不变，以“x”代替方程中的“x”，方程不变，故该曲线关于y轴对称.答案解析解答命题角度命题角度3最值问题最值问题(*)求解椭圆的最值问题的基本方法有两种(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问

7、题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. 跟踪训练跟踪训练4已知点f1，f2是椭圆x22y22的左，右焦点，点p是该椭圆上的一个动点，那么| |的最小值是答案解析故选c.例例5已知椭圆 (ab0)的两个焦点分别为f1，f2，斜率为k的直线l过左焦点f1且与椭圆的交点为a，b，与y轴的交点为c，且b为线段cf1的中点，若|k| ，求椭圆离心率e的取值范围.解答依题意得f1(c,0)，直线l：

8、yk(xc)，则c(0，kc).求e的取值范围有以下几个步骤：(1)切入点：已知|k| ，求e的取值范围，需建立关于e的不等式.(2)思考点：e与k有什么关系？建立e与k的等量关系式；利用b在椭圆上且为cf1的中点，构建关于e与k的等式；如何求e的范围？先用e表示k，再利用|k| ，求e的取值范围.(3)解题流程：先写出l的方程，求出b点的坐标，由点b在椭圆上，建立e与k的关系式，再求e的范围.跟踪训练跟踪训练5已知点p(m,4)是椭圆 (ab0)上的一点，f1，f2是椭圆的两个焦点，若pf1f2的内切圆的半径为 ，则此椭圆的离心率为_.答案解析1.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此

9、椭圆的离心率为答案解析123452.与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是答案解析12345123453.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3,0)，则此椭圆的标准方程为_.答案解析123454.已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是_.答案解析5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_.12345由题意知椭圆焦点在y轴上，且a13，b10，答案解析1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一