分式复习讲义

1、分式复习知识点复习1. 分式的概念（ 1）如果 A、 B 表示两个整式，且B 中含有未知字母，那么式子A 叫做分式。B（ 2）分式与整式的区别：分式的分母中含有字母,整式的分母中不含有字母。2.分式有意义的条件 ：分式的分母不能为0，即A中， B 0时，分式有意义。B3.分式的值为 0 的条件 ：分子为 0,且分母不为 0，对于 AA0A=0.，即时，BB0B4. 分式（数）的基本性质 : 分式 (数)的分子、分母都乘以 (或除以 )同一个不等于零的整式 (数 ),分式 (数 )的值不变。AA M ,AAM （ M为 0的整式）BB MBBM5. 分式通分（ 1）通分的依据是分式的基本性质 ;

2、 (2)通分的关键是确定最简公分母 ;（ 3）通分后的各分式的分母相同;（4）通分后的各分式分别与原来的分式相等.6. 分式通分的步骤（ 1）确定最简公分母取各分母系数的最小公倍数。凡出现的字母（或含字母的式子）因式都要取。相同字母（或含字母的式子）的幂因式取指数最大的。当分母中有多项式时，要先将多项式分解因式。（ 2）将各分式化成相同分母的分式。7. 分式的约分（ 1）约分的依据：分式的基本性质（ 2）约分后不改变分式的值。（ 3）约分的结果：使分子、分母中没有公因式，即化为最简分式 。8. 分子的变号规则分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。用式子表示为：aaa

3、；aaaabbbbbbb9.分式的乘除法则乘法法则：分式乘以分式，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母。acac ; acadad除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。bdbd bdbcbcn10.分式的乘方： 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即a=b11. 分式的加减（ 1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。（ 2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。abacccb=d12. 分式的混合运算原则（ 1）先乘方，再乘除，再算加减，有括号，先算括号内的。（ 2）同级运算，按运算顺序进行。（ 3）运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分

4、配律。（ 4）结果化为最简分式或整式。13. 整数指数幂 (m,n 为整数 )(1)aman =（2） amn（ 3） abn=，（ 5） an（ 4） aman =（ a）=b(6)零指数幂的性质：a0=()，负指数幂的性质： a n=()引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算法则对负整数指数幂一样适用14. 分式方程：分母中含有未知数的方程叫分式方程。12整式方程，如 3x +3 = 4 x -2分式方程, 如x12 x315解分式方程的一般步骤：（ 1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（ 2）解这个整式方程；（ 3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分

5、母为零的根是原方程的增根 ，必须舍去 .16. 用换元法解分式方程的一般步骤： 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值； 检验作答 .17分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（ 1）检验所求的解是否是所列；（ 2）检验所求的解是否.18易错知识辨析：（ 1） 去分母时，不要漏乘没有分母的项.（ 2） 解分式方程的重要步骤是检验，检验的方法是代入最简公分母,使最简公分母为0 的值是原分式方程的增根 , 应舍去 , 也可直接代入原

6、方程验根.（ 3） 如何由增根求参数的值：将原方程化为整式方程；将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值欢迎下载2考点讲解考点1. 分式的概念和性质例 1代数式x, 1x , x2, a中，分式的个数是（ B）x13xA 1B2C3D4例 2（ 1）已知分式x1的值是零，那么x 的值是 _x1（ 2）当 x_时，分式1没有意义x 1例 3 下列各式从左到右的变形正确的是（D ）A、0.2ab2abB、x1x1a 0.2b=2bxyxya例 4 填写出未知的分子或分母：（ 1）3 x()(2)y11xyx2y2 ,22 y1(y例 5 把分式 2x 2 y 中的 x， y 都扩大 2 倍，则分式

7、的值（x yA不变B扩大 2 倍C扩大 4 倍考点2：分式的化简与计算：例 1计算4a11a 的结果是 _a21a例 2已知 x13 ，则 x2 1.xx 2aba bx1 y2x yD、 12C、 aba by=x 2 yx2.)A ）D缩小 2 倍113，则代数式2x14xy例 3（08 芜湖）已知yxx2xy例 4 已知 x 3y0, 则 x23xy y 2.x2y 2222yy的值为.例4计算aa4a22aa 2a 2例 5化简 x 1x 1xx欢迎下载3考点 3：分式条件求值：例 1（ 08 资阳）（112x22）÷2，其中 x 12xx 4x 4x2 x例 2 先化简，再

8、求111的值，其中 x=523x 2 x25x 6 x24x 3x例 3 先化简代数式：x12 x1，然后选取一个使原式有意义的x 的值代入求值x1x2 1x21欢迎下载4考点4：可化为一元一次方程的分式方程、方程的增根。例 1以下是方程 11 x1 去分母、去括号后的结果，其中正确的是（C）x2xA 2 1 x 1 B.2 1 x 1 C. 2 1 x 2x D. 2 1 x 2x例 2解方程： 2x11x33 x例 3解方程12会出现的增根是（A）x1x 21A x 1B.x1 C.x 1或 x1 D. x 2例 4若关于 x 方程 2mx12 无解，则 m 的值是m1或-3x3x22例

9、5若 13xMxN，试求 M,N 的值.x 21x11例 6 若关于 x 的分式方程21m有增根，求 m 的值 .x3x3欢迎下载5例 7 若分式方程 2xa1 的解是正数，求 a 的取值范围 .x22 a0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 .提示： x3考点5：分式方程的应用例 1 某市今年1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25，小明家去年12 月 份的水费是18 元，而今年 5 月份的水费是 36 元已知小明家今年 5 月份的用水量比去年 12 月份多 6 立方米，求该市今年居民用水的价格例 2在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30 天内（含30 天）完成现有甲、

10、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24 天恰好完成； 若两队合做18 天后，甲工程队再单独做10 天，也恰好完成 请问：（ 1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（ 2）已知甲工程队每天的施工费用为06 万元，乙工程队每天的施工费用为035 万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）施工费用最低？解：（ 1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x 天、 y 天，2424xy1,由题意得方程组：， 解之得： x=40， y=60181810xyx1（ 2）已知甲工程队每天的施工费用为0 6 万元，乙工程队每天的施工费用为欢迎下载6035万

11、元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30 天，其余工程由甲工程队完成 由（ 1）知，乙工程队 30 天完成工程的301，602甲工程队需施工1 ÷ 1=20（天）240最低施工费用为0 6× 200 35× 30=22.5（万元）答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和 60天；（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20 天和 30 天，最低施工费用是22.5 万元评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维自我检测1、填空题 .（ 1）使分式2xa 的值等于零

12、的条件是_ x=- a 且 a-83x4x223（ 2） x时 ,分式x2的值为正数 ;52，a最简公分母是(3)a2b2(a b)22. 下列各分式中，最简分式是 ( B )A、 34 x yB 、x2y 2C 、 y 2x 2D 、 x2y 285 x yx2 y xy 2x yx y 23. 下列各式中，从左到右的变形正确的是( B )A 、x yx yB、x y x yC、x y x y、x yx yx yx yx y x yDx yx yx y x y4将分式x2倍，则扩大后分式的值（A ）中的 x 、 y 的值同时扩大 2xyA、扩大2 倍；B、缩小 2倍；C、保持不变；D、无法确

13、定；2x5 y5不改变分式2的值，把分子、分母中各项系数化为整数，结果是（D ）2 xy32x15 y4x5 y6x15yD12x 15 yABC4x 6 y4x y2x 3 y4x 2 y欢迎下载76. 某种感冒病毒的直径是 0.00000012 米，用科学记数法表示为 _ 米7某农场原计划用m 天完成 A 公顷的播种任务，如果要提前a 天结束， 那么平均每天比原计划要多播种_aA公顷a)m(m8、工地调来72 人参加挖土和运土，已知3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程72 x1 72-x= x x+

14、3x=72x33x3 上述所列方程，正确的有（）个72xA1B2C3D 49函数 y=2x1( x3) 2 中，自变量 x 的取值范围是 _x- 1 且 x1 ， x312x221110计算 (1)25 (2004)0 的结果是 _ -2211.若关于 x 的方程31有一个正数解，求m的取值范围m 1, m 33xmx12.7.7 10 5有个有效数字，它精确到位，化成小数是13.已知3x10A2B，则 A=， B=x27xxx514.若分式方程6x5有增根，则增根是（A ）x1x x1A. x 1B. x1 和 x0C. x 0D. 无法确定15、若方程3a4 有增根，则 a= 6 8x2x

15、( x 2)x16. 已知111，则 ba 的值为（C ）aba babA、 -3B、 -2C、 -1D、017. （2013?日 照）甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作，从第三个工作日起，乙志愿者加盟此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前 3 天完成任务，则甲志愿者计划完成此项工作的天数是（）欢迎下载8A.8B.7C.6D.518.（ 1） x26x 9x29x 3（ 2）22 a ba ba bx2x 6 x27x 10 2 x 53a a b 3aaabab21x22x32 x2234x（ 3）ab b2aba3ab2a b（ 4）x 1x3x 2x?a2x2x 2(5) (

16、3 )0 +（ x 2 ） 2 ·（ y 2 ） 3 ÷（ y ）- 4yxx欢迎下载92x319. 解方程 :2x 2x 220. 已知：实数 x,y 满足 2x y 1 2 3x 2 y 40xyx 2y 2值；，求代数式 12 yx24xy4 y2x21. 某一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3 天，现在甲、乙两人合做 2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？22.某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8 万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数

17、量是第一批购进量的2 倍，但单价贵了4 元，商厦销售这种衬衫时每件定欢迎下载10价都是 58 元，最后剩下的150 件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。23.我市政公司决定将一总长为1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工若甲、乙两队合做需12 天完成此项工程；若甲队先做了8 天后，剩下的由乙队单独做还需18 天才能完工问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2 万元，乙队每施工一天需要费用1 万元，要使完成该工程所需费用不超过35 万元，则乙工程队至少要施工多少天？培优提高1. 当 a 为何整数时，代数式399 a805 的值是整数，

18、并求出这个整数值 .a22.已知14，求x2的值；3. 已知 y2y1 0 求y21的值。3xx4x21,y 2x欢迎下载114.已知 a 24a 1 0 ，且a4ma213 ，求 m 的值。 192a3ma22ax2m1x2x2 的一个解，求m 的取值范围。5. 如果关于 x 的方程 1x2的解也是不等式组2 x42(x3) x8a b ca b cb c a或 -26.若bk ，则 K= 1ca欢迎下载12ab 1，bc1，ac1。求abc7.（倒数求值） ：已知a b 3 b c 4 a c 5ab bc ac8. 若 b 1 1,c11 ，求 ab1 的值。9.求分式 3x26x5 的

19、最小值。cab0.5x2x110. 若xa,yb,zc, 且 xy z 0 ，求abc 的值y zz xx y1 a 1 b 1 c11、先阅读下面的材料, 然后解答问题 :通过观察，发现方程111x2的解为 x1 2, x2;x22欢迎下载131313, x21x的解为 x13x31414, x21x的解为 x1;x44151(1) 观察上述方程的解 , 猜想关于 x 的方程 x的解是 _;x5(2) 根据上面的规律 , 猜想关于x 的方程 x11c的解是 _;xc(3) 把关于 x 的方程 x2x1 a111变形为方程xxc的形式是 _, 方程的解是 _,1a1xc解决这个问题的数学思想是

20、_;12阅读下列材料：欢迎下载141111，132331111，523551111，72571 11 1，1719 217 19 13151119135717=11111111111(1)2()2()()2335572 1719=1(11111111 )2335571719=1 (11 )921919解答下列问题：（ 1）在和式111中，第 6 项为 _，第 n 项是 _133557（ 2）上述求和的想法是通过逆用_法则，将和式中的各分数转化为两个数之差，使得除首末两项外的中间各项可以 _，从而达到求和的目的（ 3）受此启发，请你解下面的方程：1113x(x3)(x3)(x6)( x6)( x

21、 9)2x1812（ 1）1,1（2）分式减法，对消1)(2n11 13(2 n1)（ 3）解析：将分式方程变形为11111133 x x 3 x 3 x 6 x 62x 18整理得 119，方程两边都乘以2x（ x+9），得 2（ x+9） -2x=9x，解得 x=2xx 92( x 9)经检验， x=2 是原分式方程的根点评：此方程若用常规方法来解，显然很难，这种先拆分分式化简后再解分式方程的方法不失是一种技巧欢迎下载1513某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价 1000 元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10 万元，今年销售额只有8 万元（ 1）今年三月份甲种