2022年数学：人教版九年级上-22.3-实际问题与一元二次方程

1、课题： 22.3 实际问题与一元二次方程一、教学目标1. 会利用一元二次方程解决简单的图形问题. 2. 培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识. 二、教学重点和难点1. 重点：利用一元二次方程解决简单的图形问题. 2. 难点：根据图形问题列方程. 三、教学过程（一）创设情境，导入新课师：前面我们学习了有关一元二次方程的知识，我们学习了什么是一元二次方程，学习了什么是一元二次方程的根，学习了如何解一元二次方程.现在，老师要同学们想这样一个问题：为什么要学习这些知识？学习这些知识的目的是什么？（稍停后再叫学生）生：（多让几名同学发表看法）师：和一元一次方程一样，一元二次方程也是解决实际问题的工具

2、. 学习一元二次方程不是为了什么，而是为了解决实际问题. 从这节课开始，我们来学习如何利用一元二次方程解决实际问题（板书课题：22.3 实际问题与一元二次方程）. 师：下面我们来看一个例子. （二）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例 扎西家有一个长方形院子，它的长比宽多3 米，面积为54 平方米，院子的长和宽各是多少米？师：大家把这个题目默读几遍. （生默读）师：题目要求院子的长和宽，我们设院子的长为x 米，则院子的宽为多少米？生： (x-3) 米（师板书：解：设院子的长为x 米，则院子的宽为(x-3) 米） . 师：读了题目，又设好了未知数，你能按题目的意思画一个图吗？大家试一试. （

3、生画图，师巡视）师：我们一起来画图. 扎西家有一个长方形的院子（边讲边画一个长方形），现在设这个院子的长为x 米（边讲边标： x 米） ，则宽为 (x-3) 米（边讲边标：(x-3) 米） ，院子的面积为 54 平方米（边讲边标：面积54 平方米，画好的图如下所示）. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - -（x-3 ）米x米面积54平方米师：根据这个图，大家列一列方程. （生列方程，师巡视）师： （板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？生： x(x-3)=54.（多让几名同学回答，

4、然后师板书：x(x-3)=54）师： （指方程）列出的方程是一个一元二次方程，大家把它整理成一般形式 . （生整理方程）师：整理后的方程是什么？生： x2-3x-54=0 （师板书：整理，得x2-3x-54=0 ）. 师： （指 x2-3x-54=0 ）大家用公式法解这个方程. （生解方程，师巡视）师：方程的两个根x1等于什么？ x2等于什么？生： x1=9， x2=-6 （师板书：解方程，得x1=9，x2=-6，如有必要师可在黑板的其它地方板演解方程过程）师： （指准 x(x-3)=54）这里的x 表示什么？（稍停）表示院子的长，院子的长不能是负数，（指准 x1=9，x2=-6）所以 x2=

5、-6 不符合题目的意思，要舍去（板书： （不合题意，舍去）. 所以院子的长为9 米（板书：答：院子的长为9 米） . 师：院子的宽为多少米？生：宽为6 米.（师板书：宽为6 米）师：这道题目做完了，做了这道题目，谁来归纳一下怎么利用一元二次方程解决实际问题？（让生思考一会儿后再叫学生）生：（让几名同学回答）师： （指准例题）利用一元二次方程解决实际问题，第一步要读题，反复地读题，有的时候还可以画一画图，通过读题画图弄清题目的意思；第二步设未知数；第三步根据题目的意思列出一元二次方程；第四步解一元二次方程，一元二次方程的根有两个，要根据题意来取舍解出的根，-6 这个根不符合题目意思，要舍去；第五

6、步答. 师：利用一元二次方程解决实际问题就这么五步，实际上与利用一元一次方程解决精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - -实际问题的步骤是一样的. 师：下面就请同学们自己来做两个练习. （三）试探练习，回授调节1. 完成下面的解题过程：一个直角三角形的两条直角边相差5cm ，面积是7cm2, 求两条直角边的长. 解：设一条直角边的长为 cm，则另一条直角边的长为 cm. 根据题意列方程，得 . 整理，得 . 解方程，得 x1= ，x2= （不合题意，舍去）. 答：一条直角边的长为 cm，则另

7、一条直角边的长为 cm. 2. 一个菱形两条对角线长的和是10cm，面积是12cm2， (1)求菱形的两条对角线长； (2)求菱形的周长. （提示：菱形的面积=两条对角线积的一半）（四）归纳小结，布置作业师： （指例题）本节课我们学习了一个例题，大家再看一看这个例题，回顾一下利用一元二次方程解决问题有哪几个步骤. （作业： p48习题 1(1)(2)2.3.）四、板书设计（略）课题： 22.3 实际问题与一元二次方程（第2 课时）一、教学目标1. 会利用一元二次方程解决传播问题. 2. 培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识. 二、教学重点和难点1. 重点：利用一元二次方程解决传播问题. 2

8、. 难点：根据传播问题列方程. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1. 填空：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - (1)有一人得了流感，他把流感传染给了10 个人，共有人得流感；第一轮传染后， 所有得流感的人每人又把流感传染给了10 个人，经过两轮传染后， 共有人得流感 . (2)有一人得了流感，他把流感传染给了x 个人，共有人得流感；第一轮传染后，所有得流感的人每人又把流感传染给了x 个人，经过两轮传染后，共有人得流感 . （(1) 题答案为11，121，(2) 题答案为1+x，

9、1+x+x(x+1) ，先让生自己做，然后师进行讲解）（二）创设情境，导入新课师：和一元一次方程一样，利用一元二次方程可以解决实际问题，上节课我们做了一个例题，本节课我们再来看一个例题.（三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例 有一人得了流感，经过两轮传染后，共有121 人得了流感，每轮传染中平均每一个人传染了几个人？师：大家把这个题目好好默读几遍. （生默读）师：谁能不看黑板说出题目的意思？生：（让几名同学说）师：这个题目怎么设？生：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人 .（师板书：解：设每轮传染中平均一个人传染了x 个人）师： （在黑板的其它地方板书：第一轮后）设平均一个人传染了x

10、个人，那么第一轮后，共有多少人得了流感？生： 1+x. （多让几名同学回答，然后师板书：1+x）师： （在黑板的其它地方板书：第二轮后） 那么第二轮后， 共有多少人得了流感？（让生思考一会儿再叫学生）生： 1+x+x(1+x).（多让几名同学回答，然后师板书：1+x+x(1+x) ）师：下面大家根据题目的意思列一列方程. （生列方程，师巡视）师： （板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - -生： 1+x+x(1+x)=121 （生答师板书：1+x+

11、x(1+x)=121 ） . 师： （指方程）这是一个一元二次方程，怎么解这个方程？大家试着解一解. （生解方程）师：解出来的结果是什么？生： x1=10，x2=-12（生答师板书：x1=10，x2=-12 ）. 师： （指方程）解这个方程是有讲究的，很多同学用公式法解，发现数字比较大，解起来比较麻烦. 实际上我们可以用直接开平方法来解. 怎么用直接平方法来解？（稍停）师： （指准 1+x+x(1+x)=121 ）1+x+x(1+x) 有公因式1+x，我们把 1+x 提取出来，得到(1+x)(1+x)（边讲边在其它地方板书：(1+x)(1+x)） ，可见方程可以化成(1+x)2=121 （边

12、讲边在其它地方板书：(1+x)2=121） ，用直接开平方法解这个方程，容易求出x1=10，x2=-12. 师：方程中的x 表示每个人传染的人数，所以 x2=-12 不符合题目的意思，要舍去（板书： （不合题意，舍去） ）. 师：最后还要答. （板书：答：每轮传染中平均每个人传染了10 个人）师：下面请大家自己来做一个练习. （三）试探练习，回授调节2. 完成下面的解题过程：有一个人知道某个消息，经过两轮传播后共有49 人知道这个消息，每轮传播中平均一个人传播了几个人？解：设每轮传播中平均一个人传播了x 个人 . 根据题意列方程，得 . 提 公因式，得 ( )2= . 解方程，得 x1= ，x

13、2= （不合题意，舍去）. 答：每轮传播中平均一个人传播了个人 . 3. 一个人知道某个消息，设每轮传播中一个人传播了x 个人，填空： (1)经过一轮传播后，共有人知道这个消息； (2)经过两轮传播后，共有人知道这个消息； (3)经过三轮传播后，共有人知道这个消息； (4)请猜想，经过十轮传播后，共有人知道这个消息. （五）归纳小结，布置作业师：本节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题. 俗话说：一传十，十传百.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - -这一传十，十传百是怎么么传的？（指

14、准方程）用方程来表示就是(1+x)2=121. 如果传了三轮，就成了(1+x)3；如果传了十轮，就成了(1+x)10. （作业： p48习题 1(3)(4)4，4 题中 91 改为 81）四、板书设计（略）课题： 22.3 实际问题与一元二次方程（第 3 课时 ）一、教学目标1. 会利用一元二次方程解决增长问题. 2. 培养分析问题解决问题的能力，发展应用意识. 二、教学重点和难点1. 重点：利用一元二次方程解决增长问题. 2. 难点：根据增长问题列方程. 三、教学过程（一）基本训练，巩固旧知1. 填空： (1)扎西家 2006 年收入是2 万元，以后每年增长10，则扎西家 2007 年的收入

15、是万元， 2008 年的收入是万元； (2)扎西家 2006 年收入是2 万元，以后每年的增长率为x，则扎西家2007 年的收入是万元， 2008 年的收入是万元 . （(1) 题答案为2.2 ，2.42 ，(2) 题答案为2(1+x) ，2(x+1)2，先让生自己做，然后师进行讲解，并写出过程）（二）创设情境，导入新课师：上节课我们学习了利用一元二次方程解决传播问题. 什么是传播问题？就是像“一传十，十传百”这样的问题. 与传播问题类似的还有一种问题，叫什么问题？叫增长问题 . 师：下面我们就来看一个增长问题. （三）尝试指导，讲授新课（师出示下面的例题）例 扎西家 2006 年收入是2 万

16、元， 2008 年的收入是2.6 万元，求扎西家收入的年平精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - -均增长率 . 师：大家把这个题目好好看几遍. （ 生默读）师：谁能不看黑板说出题目的意思？生：（让几名同学说）师：这个题目怎么设？生：设扎西家收入的年平均增长率为x. （师板书：解：设扎西家收入的年平均增长率为 x）师： （指准板书）扎西家2006 年收入是2 万元（板书： 2006 年 2万元） ，年平均增长率为 x，那么， 2007 年扎西家的收入是多少万元？（板书： 2007 年）生：

17、2(1+x). （生答师板书：2(1+x) 万元）师： （指准板书） 2007 年收入是2(1+x) 万元，年平均增长率x，那么， 2008 年扎西家的收入是多少万元？（板书：2008 年）生： 2(1+x)2. （生答师板书：2(1+x)2万元）师：知道了扎西家2008 年的收入可以表示成2(1+x)2，下面大家根据题目的意思列一列方程 . （生列方程，师巡视）师： （板书：根据题意列方程，得）列出的方程是什么？生： 2(1+x)22.6 （生答师书：2(1+x)22.6 ）. 师：接下来解方程（板书：解方程，得）用什么方法解这个方程比较简单？（稍停）用直接开平方法. （以下师在其它地方板书

18、解方程过程）师：得到x10.14 ，x2-2.14 （生答师板书：x10.14 ，x2-2.14 ）. 师：扎西家的收入是增加的，所以增长率应该是正数，x2-2.14 不符合题目的意思，要舍去（板书： （不合题意，舍去） ）. 师：扎西家收入的年平均增长率约为0.14 ，也就是 14（板书：答：扎西家收入的年平均增长率约为14） . 师：下面请大家自己来做一个练习. （三）试探练习，回授调节2. 完成下面的解题过程：某公司今年利润预计是300 万元，后年利润要达到450 万元，该公司利润的年平精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - -均增长率是多少？解：设该公司利润的年平均增长率是x. 根据题意列方程，得 . 解方程，得 x1，x2（不合题意，舍去）. 答：该公司利润的年平均增长率是