2022年数学：第三章《统计案例》教案

1、第三章统计案例31 回归分析的基本思想及其初步应用（共计 4 课时）授课类型： 新授课一、教学内容与教学对象分析学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。二、学习目标1、知识与技能通过本节的学习，了解回归分析的基本思想，会对两个变量进行回归分析，明确建立回归模型的基本步骤，并对具体问题进行回归分析，解决实际应用问题。2、过程与方法本节的学习，应该让学生通过实际问题去理解回归分析的必要性，明确回归分析的基本思想，从散点图中点的分布上我们发现直接求回归直线方程存在明显的不足，从中引

2、导学生去发现解决问题的新思路进行回归分析，进而介绍残差分析的方法和利用r 的平方来表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，从中选择较为合理的回归方程，最后是建立回归模型基本步骤。3、情感、态度与价值观通过本节课的学习，首先让显示了解回归分析的必要性和回归分析的基本思想，明确回归分析的基本方法和基本步骤，培养我们利用整体的观点和互相联系的观点，来分析问题，进一步加强数学的应用意识，培养学生学好数学、用好数学的信心。加强与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关系。教学中适当地增加学生合作与交流的机会，多从实际生活中找出例子，使学生在学习的同时。体会与他人合作的重要性，理解处理问题的方法与结论

3、的联系，形成实事求是的严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神。培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力。三、教学重点、难点教学重点 ：熟练掌握回归分析的步骤；各相关指数、建立回归模型的步骤；通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法。教学难 点 ：求回归系数 a , b ；相关指数的计算、残差分析；了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较。四、教学策略：教学方法 ：诱思探究教学法学习方法 ：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。教学手段 ：多媒体辅助教学五、教学过程：（一）、复习引入 ：

4、回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。（二）、新课 : 探究 ：对于一组具有线性相关关系的数据：（11,xy) , (22,xy) ， (,nnxy) ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - -我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：aybx（1）121()()()niiiniixxyybxx（2）其中1111,nniiiixxyynn， （,x y）成为样本点的中心. 注：回归直线过样本中心. 你能推导出这两个计算公式吗？从我们已经学过的知识知道

5、，截距a和斜率b分别是使21(,)()niiiqybxa取到最小值时,的值 . 由于21(,)()()niiiqyxyxyx221()2()()() niiiiiyxyxyxyxyxyx2211()2()()()nniiiiiiyxyxyxyxyxn yx注意到1()()niiiyxyxyx1()()niiiyxyxyx11()()nniiiiyxyxn yx()()0yxnyn xn yx. 221( ,)()()niiiqyxyxn yx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - -222

6、2111()2()()()()nnniiiiiiixxxx yyyyn yx2222211221111()()()()()() ()()()nniiiinniiiinniiiiiixxyyxxyyn yxxxyyxxxx在上式中，后两项和,无关，而前两项为非负数，因此要使q取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即有1221niiiniixynx yyxxnx，.这正是我们所要推导的公式下面我们从另一个角度来推导的公式人教 a版选修 2-2p37 习题 1.4a 组第 4 题: 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n 个数据12,na aa . 证明 ：用这个数据的

7、平均值11niixan表示这个物体的长度，能使这n 个数据的方差211( )()niif xxan最小思考 ：这个结果说明了什么？通过这个问题，你能说明最小二乘法的基本原理吗？证明：由于211( )()niif xxan，所以12( )()niifxxan，令( )0fx, 得11niixan。可以得到，11niixan是函数( )f x的极小值点，也是最小值点精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - -这个结果说明，用n 个数据的平均值11niian表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二

8、乘法的基本原理由最小二乘法的基本原理即得定理设xr,12nxxxxn, 则2222222121211()()() ()()() nnx xx xx xx xxxx xsnn (*) 当且仅当12nxxxxxn时取等号 . (*)式说明 , 12nxxxxn是任何一个实数x与12,nx xx的差的平方的平均数中最小的数. 从而说明了方差具有最小性, 也即定义标准差的合理性. 下面借助(*) 式求2222211)()()(abxyabxyabxyqnn的最小值. 1122()()()nnybxybxybxn1212nnyyyxxxbyb xnn, 由(*) 式知 , 2221122()()()nn

9、qaybxaybxaybx2221122()()()()()()nnyb xybxyb xybxyb xybx2221122()()()()()()nnxx byyxx byyxx byy222111()2()()()nnniiiiiiixxbxxyy byy222211221111()()()()() ()()()nniiiinniiiinniiiiiixxyyxxyyxxbyyxxxx222211221111()()()()() ()()()nniiiinniiiinniiiiiixxyyxxyyxxbyyxxxx221211()()()()niiniiniiixxyyyyxx222111

10、21()()()()()nnniiiiiiiniixxyyxxyyxx精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - -当且仅当ayb x, 且1122211()()()nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnx时, q达到最小值22211121()()()()()nnniiiiiiiniixxyyxxyyxx. 由此得到 ,，xbyaxnxyxnyxxxyyxxbniiniiiniiniii2121121)()(其中b是回归直线的斜率,a是截距 . 借助| | |ababab

11、和配方法 , 我们给出了人教a 版必修3 的第二章统计第三节变量间的相关关系中回归直线方程ybxa的一个合理的解释1、回归分析的基本步骤：(1) 画出两个变量的散点图. (2) 求回归直线方程. (3) 用回归直线方程进行预报. 下面我们通过案例，进一步学习回归分析的基本思想及其应用2、举例 ：例 1. 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数据如表编号1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为 17

12、2 cm 的女大学生的体重解：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量 x ，体重为因变量 y . 作散点图 ( 图 3 . 1 一 1) 从图 3. 1一 1 中可以看出，样本点呈条状分布，身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来近似刻画它们之间的关系根据探究中的公式（1）和（ 2 ) ，可以得到?0.849,85.712ba. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - -于是得到回归方程084985.712yx. 因此，对于身高172 cm 的女大学生，由回

13、归方程可以预报其体重为0849 17285.71260.316y ( kg ) . ?0.849b是斜率的估计值，说明身高 x 每增加 1 个单位时，体重y 就增加 0.849 位，这表明体重与身高具有正的线性相关关系如何描述它们之间线性相关关系的强弱？在必修 3 中，我们介绍了用相关系数；来衡量两个变量之间线性相关关系的方法本相关系数的具体计算公式为12211()()niiinniiiixxyyrxxyy当 r0 时， 表明两个变量正相关；当 r0 正相关 . r6 . 因此有 99 的把握认为“秃顶与患心脏病有关” . 例 2为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系, 在某城市的某校

14、高中生中随机抽取 300 名学生，得到如下列联表：表 3 一 12 性别与喜欢数学课程列联表喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男 37 85 122 女 35 143 178 总计 72 228 300 由表中数据计算得2k的观测值4.514k能够以95的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐明得出结论的依据解：可以有约95以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程如下：分别用a , b , c , d 表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数如果性别与是否喜欢数学

15、课有关系，则男生中喜欢数学课的比例aab与女生中喜欢数学课的人数比例ccd应该相差很多，即0k0.455 0.708 1.323 2.072 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 22 页 - - - - - - - - -| |()()acadbcabcdab cd应很大将上式等号右边的式子乘以常数因子()()()()()abcdab cdac bd, 然后平方得22()()()()()n adbckabcdac bd, 其中nabcd因此2k越大，

16、“性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大另一方面，在假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”的前提下，事件a =2k3. 841的概率为p (2k3. 841) 0.05, 因此事件 a 是一个小概率事件而由样本数据计算得2k的观测值k=4.514 ，即小概率事件 a发生因此应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可能性约为 5 %所以，约有95 的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. 补充例题1：打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？患心脏病未患心脏病合计每一晚都打鼾30 224 254 不打鼾24 1355 1379 合计54 1579 1633 解：略。补充例题2： 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和196 个接受血管清障手术的病人进行3 年跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：又发作过心脏病未发作过心脏病合计心脏搭桥手术39 157 196 血管清障手术29 167 196 合计68 324 392 试根据上述数据比较两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别。解略精品学习资料 可选择p d f - - - - -