2022年文科专题复习—导数

1、学习必备欢迎下载一、学问点总结1. 平均变化率及瞬时变化率文科数学专题复习导数(1) fx从 x 到 x的平均变化率是：y f x2 f x1 ；12xx2 x1(2) fx在 x x0处的瞬时变化率是：limx 0y xlimx 0f x0 x f x0x；2. 导数的概念(1) fx在 x x0 处的导数就是fx在 x x0 处的瞬时变化率，记y ' |或x x0f x0 ，即 f x0 limf x0x f x0x.x 0(2) 当把上式中的x0 看作变量 x 时， f x 即为f x的导函数，简称导数，即 y ' fx limx 0f xx f xx3. 导数的几何意义

2、函数 fx在 xx0 处的导数就是曲线yfx在点 px0， fx0处的切线的斜率，即曲线y fx在点px0， fx0 处的切线的斜率 kf x0 ，切线方程为： yy0f x0 xx0'4. 基本初等函数的导数公式(1) c0 （ c 为常数） .2 xn nxn1 nq.3sin xcosx .4cos xsinx . 5ln x1；logxax 1logxea .6ex ex ; ax a x ln a .（ 7） uv'u'v' .（ 8） uv'uu'vuv 'u'vuv' .（ 9） 'v vv20 .&

3、#39;（ 10）1 x1'12（ 11）xx2x5. 导数的应用单调性：假如f ' x0 ，就f x为增函数；假如f ' x0 ，就f x为减函数求极值的方法：当函数f x 在点x0 处连续时， （注f 'x 0 ）0假如在x0邻近的左侧f x0 ，右侧f x0 ，就f x0 是极大值；（“左增右减”）假如在x0邻近的左侧f x0 ，右侧f x0 ，就f x0 是微小值 . （“左减右增”）附：求极值步骤f x 定义域'f x f ' x 零点列表：x 范畴、'f x 符号、f x增减、f x 极值求 a,b上的最值：f x 在a,b内

4、极值与f a 、f b 比较6. 三次函数f xax3bx2cxdf / x3ax22bxc图象特点：（针对导函数）a0,0a0,0（针对原函数）“”“”极值情形：0f x有极值；0f x无极值（其中“”针对导函数）备注： 1导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容，主要考查导数的基本公式和运算法就，以及导数的几何意义.2. 利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.挑选填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题, 解答题侧重于导数的综合应用, 即与函数、不等式、数列的综合应用.3. 应用导数解决实际问题, 关键是建立适当的数学模型（函数关系）, 假如函

5、数在给定区间内只有一个极值点 , 此时函数在这点有极值 , 而此时不用和端点值进行比较, 也可以得知这就是最值.二、经典例题剖析考点一：求导公式例1 f/ x 是f x1 x332x1 的导函数，就f / 1.考点二：导数的几何意义例2. 已知函数 yf x 的图象在点m 1,f 1 处的切线方程是y1 x2 ，就2f 1f / 1.考点三：导数的几何意义的应用例3. 已知曲线c : yx33x22 x, 直线l : ykx, 且直线 l 与曲线 c 相切于点x0, y0x00 , 求直线 l 的方程及切点坐标.考点四：函数的单调性例4.设函数f x2 x33ax23bx8c 在 x1及 x2

6、 时取得极值 .(1) 求a, b 的值及函数f x 的单调区间；(2) 如对于任意的x0,3 , 都有f x < c 2 成立，求 c 的取值范畴 .考点五：函数的最值例5.已知 a 为实数，f xx24xa.1 求导数f / x； 2 如f / 10, 求f x 在区间2,2 上的最值 .考点六：导数的综合性问题例 6.设 函 数f xax 3bxc a0 为 奇 函 数 ， 其 图 象 在 点1, f1处 的 切 线 与 直 线x6 y70 垂直，导函数/fx|min12. 1 求 a, b, c 的值；2 求函数f x的单调递增区间，并求函数f x 在1,3上的最大值和最小值 .

7、例 7已知f xax3bx2cx在区间0,1上是增函数 ,在区间,0 , 1,上是减函数， 又 f13 222（）求f x 的解析式；（）如在区间0，mm0上恒有f x x 成立，求 m 的取值范畴例 8设函数f xx xa （ xr ），其中 ar （）当 a1 时，求曲线yf x 在点2， f2处的切线方程；（）当a0 时，求函数f x 的极大值和微小值；（）当 a3 时，证明存在 k1，0，使得不等式f kcosx f kcos x对任意的 xr 恒成立例 9已知f xax3x2bxca,b,cr 在,0 上是增函数 ,220,3上是减函数 ,方程f x0 有三个实根，它们分别是三、 方

8、法总结（一）方法总结,2,. 1求 b 的值，并求实数 a 的取值范畴； 2 求证：5.2导数是中学限选内容中较为重要的学问，由于其应用的广泛性，为我们解决所学过的有关函数问题供应了一般性方法，是解决实际问题强有力的工具导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的对象要牢记导数公式，娴熟应用导数公式求函数的导数，把握求导数的方法（二）高考题1.2021已知函数f xexax2bx1，其中a, br ， e2.71828为自然对数的底数；（）设g x是函数f x 的导函数，求函数gx 在区间 0,1 上的最小值；（）如f 10 ，函数f x在区间 0,1内有零点，证明：e2a1；2.20

9、21已知函数 f xx22 xa, x0 ，其中 a 是实数；设a x1,f x1 ， b x2 , f x2 为该函数图象上的两点，且ln x, x0x1x2 ；（）指出函数f x 的单调区间；（）如函数f x 的图象在点a, b 处的切线相互垂直，且x20 ，证明： x2x11 ；（）如函数f x 的图象在点a, b 处的切线重合，求 a 的取值范畴；2an3.（ 2021）已知 a 为正实数， n 为自然数，抛物线该抛物线在点 a 处的切线在 y 轴上的截距；yx与 x 轴正半轴相交于点a，设2f n 为（）用 a 和 n 表示 f n ；（）求对全部 n 都有f n1f n1n成立的

10、a 的最小值； n1（）当 0a1时，比较1f 1f 21f 2f 4f n1与f 2 n6f 1f n1的大小，并说明理由；f 0f 14.2021全国大纲版 21.函数 f（ x） =ax3+3x 2+3x （ a0）；（ 1）争论函数 f（ x）的单调性；（ 2）如函数 f（ x）在区间（ 1，2）是增函数，求 a的取值范畴；1a25. （ 2021 全国 1）21.设函数切线斜率为 0（ 1）求 b;fxa ln xxbx a 21 ，曲线yfx在点 1，f1处的（ 2）如存在 x01, 使得fx0a，求 a 的取值范畴；a16.（ 2021全国 2） 21.已知函数 f（ x） =

11、x3点的横坐标为 -2.（ i）求a；3x2ax2 ，曲线yf x 在点（ 0,2）处的切线与 x 轴交（ ii）证明：当时，曲线yf x 与直线ykx2 只有一个交点四、强化训练1. 已知曲线 y2x的一条切线的斜率为1 ，就切点的横坐标为（）42a 1b 2c 3d 42. 函数f xx3ax 23 x9, 已知f x 在 x3 时取得极值，就 a（）（ a） 2（ b ）3（ c） 4（ d ）53. 函数f x2 x21 x3 在区间30,6上的最大值是（）32a 3b 163c 12d 94. 三次函数 yax 3x 在 x,内是增函数，就（）a. a0b a0c a11d a35.

12、 在函数 yx38x 的图象上 , 其切线的倾斜角小于的点中 , 坐标为整数的点的个数是（）4a 3b 2c 1d 06. 已知函数f xx 3ax 2bxc, 当 x1时，取得极大值 7 ；当 x1时，取得微小值求这个微小值及a, b, c 的值7. 设函数f xx 3bx 2cxxr. 已知g xf xf / x 是奇函数 .（ 1）求b, c 的值；（ 2 ）求g x的单调区间与极值.8. 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体外形的框架，要求长方体的长与宽之比为2 ：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？9. 已知函数fxx33ax1, g xfxax5

13、，其中 f 'x 是的导函数 .(i) 对满意1a1 的一切 a 的值，都有 gx0 ，求实数 x 的取值范畴；(ii) 设 am2 ，当实数 m 在什么范畴内变化时，函数yfx 的图象与直线 y3 只有一个公共点.10. 设函数f xtx 22t 2xt1 xr， t0 i 求f x的最小值ht ；ii 如 ht2tm 对 t0，2恒成立，求实数 m 的取值范畴11. 设函数f x3xa1) x24axba,br.i 如函数f x 在 x33 处取得微小值1 , 求 a,b 的值； ii 求函数2f x的单调递增区间；iii如函数f x 在 1,1 上有且只有一个极值点，求实数a 的

14、取值范畴12. 已知二次函数1f x2ax 2bxca, b, cr 满意： 对任意 xr ，都有f x x, 且当 x1,3时，有f x x 82) 成立 i 试求f 2的值； ii 如 f 20, 求f x的表达式；iii 在 ii 的条件下，如x0,a31m时， f x >x 221 恒成立，求实数 m 的取值范畴4213. 已知函数f xx 33a22x6 x, g xax4 xma, mr.(i) 当 a1, x0,3时，求f x的最大值和最小值；(ii) 当 a <2 且 a0 时，无论 a 如何变化，关于 x 的方程f xg x 总有三个不同实根，求m 的取值范畴例题

15、参考答案例 13；例 23；例 3y1 x, 43 , 328；例 4 1a3,b4, 增区间为,1 , 2,；减区间为1,2 ，2, 19,；例 5 1f / x3x22ax4, 2f xmaxf 19 , f x 2min4f 350.；27例6 1a2,b12, c0. 2,2 ,2,; f xmaxf 318, f xminf 28 2. ；例 7 解：（）f x3ax22bxc ，由已知f 0f 10 ，c0，即c0，解得33a2bc0，ba2f x3ax23ax ，f13a3a3 ，a2 ，fx2 x33x2 2422（）令f x x ，即2 x33x2x 0 ，x2 x1x1 0

16、 ，0 x 12或 x 1 又 f x x 在区间0，m上恒成立，0m 1 2例 8 解：（）当 a1 时，f xx x12x32x2x ，得f 22 ，且f x3x24x1 ， f25 所以，曲线yx x12 在点 2，2 处的切线方程是y25 x2 ，整理得 5 xy80 （）解：f x2xxa32x2ax2a x ， f2 x3 x24axa3 xa xa 令 f x0 ，解得 xa 或 xa 3由于 a0 ，以下分两种情形争论（ 1）如 a0 ，当 x 变化时， fax x 的正负如下表：aaa a， ，a333f x00因此，函数f x 在 xa处取得微小值 fa，且 fa4 a3

17、；33327函数 fx在 xa 处取得极大值f a ，且f a0 （ 2）如 a0 ，当 x 变化时，f x 的正负如下表：x， aaaaaa， 333f x00因此，函数f x 在 xa处取得微小值f a ，且f a0 ；函数 fx 在 xa处取得极大值fa，且 fa4 a 3 233327（）证明：由 a3 ，得 a31 ，当 k1，0时， kcosx 1， kcos2x 1 2由（）知，f x 在，1上是减函数，要使f kcos x f k22cosx ， xr只要 kcos x k 2cos2xxr 即 cos xcos x k 2k xr 设 gxcos2 xcosxcosx21 1

18、 ，就函数24g x在 r 上的最大值为 2 要使式恒成立，必需k 2k 2 ，即k 2或 k 1所以，在区间1，0上存在 k1 ，使得f kcos x f k 2cos2x 对任意的 xr 恒成立例 9 解： 1f / x3ax 22 xb,f x 在,0 上是增函数，在0,3上是减函数，所以当 x0 时，f x 取得微小值，f / 00,b0.f 20,8a4c0.又方程f x0 有三 实根，a0.f / x3ax 22 xb0 的两根分别为x120, x2.3a又 f x 在,0 上是增函数， 在0,3上是减函数，f / x>0 在,0 上恒成立，f / x<0 在0,3上恒

19、成立由二次函数的性质知，a >0 且23,3a0 < a2 .9故实数a 的取值范畴为0, 2 .932,2,是方程f x0 的三个实根，就可设f xax x2 xaxa2 x 2a 22x2a.又 f xax3x 2bxca,b, cr 有 a21,12,a250 < a , .92强化训练答案：a d a a d6解：f / x3x 22axb .据题意， 1， 3 是方程3x 22 axb0 的两个根，由韦达定理得132 a313b3 a3,b9,f xx33x 29xc ，f 17,c2微小值f 3333329322532237解：（ 1）fxxbxcx ， fx3x

20、2bxc ；从而g xf xf xx3bx2cx3x22bxc xb3x2c2bxc 是一个奇函数，所以 g 00 得 c0 ，由奇函数定义得 b3 ；32（ 2）由（）知g xx6x ，从而g x3x6 ，由此可知，,2 和 2, 是函数g x 是单调递增区间；2,2 是函数g x 是单调递减区间；g x 在 x2 时，取得极大值， 极大值为 4 2 ， g x 在 x2 时，取得微小值， 微小值为42 ；8. 解：设长方体的宽为x （m），就长为h2x m ，高为1812x44.53xm0 x 32.v x2x24.53x9x 26x 3 m30x3故长方体的体积为2从而 vx18x18x

21、 2 4.53x18x1x.令v' x0 ，解得 x0 （舍去）或 x1x1，因此 x1 .3当 0x1 时， v' x0 ；当2 时， v ' x0 ，故在 x1处vx 取得极大值，并且这个极大值就是v x 的最大值；从而最大体积 vv' x9161 m，此时长方体的长为 2 m ，高为 1.5 m.233答：当长方体的长为 2 m 时，宽为 1 m ，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3m3 9. 解：（）由题意g x3x2ax3a5 ，令x3 x a3x25 ，1a1对 1a1，恒有 g x0 ，即a0103x2即103x2x202解得x1x803

22、2故 x,13时，对满意1a1 的一切 a 的值，都有 g x0（） f 'x3x23m2当 m0 时，fxx31 的图象与直线 y3 只有一个公共点当 m0 时，列表：x,| m |mm , mmm ,f 'x00fx极大微小 f x |微小f | m |2m2| m |1<1，又 fx 的值域是 r ，且在m ,上单调递增当 xm 时函数 yfx 的图象与直线 y3 只有一个公共点；当 xm 时，恒有 fxfm由题意得 fm3即 2m2 m312 m13解得 m3 2,00, 3 2综上， m 的取值范畴是32, 3 2.10解：（）f xt xt 2t 3t1 xr

23、 ， t0 ，当 xt 时，f x取最小值f tt3t1 ，即ht t 3t1 （）令gtht2tmt33t1m ，由 g t 3t 230 得t1， t1（不合题意，舍去）当 t 变化时g t， g t 的变化情形如下表：t0，111，2g t0gt 极大值递增递减1mgt在 0，2 内有最大值g 11m ht2tm 在 0，2 内恒成立等价于 gt0 在 0，2 内恒成立，即等价于 1m0 ，所以 m 的取值范畴为/m12/3111解： if xx2a1) x4a,f 396a14a0,a,f 3,b4.22iif / xx22a1) x4ax2a x2, 令f / x0.x2 a,2当 a >1 时，由f / x >0 得f x的单调递增区间为,2 ,2a,；当 a =1 时，f / x x2 2 0，即f x的单调递增区间为,；当 a <1 时，由f / x >0 得/f x/的单调递增区间为1,2a , 2,11 1(iii) 由题意知 a <1 且 f 1 f1 <0，解得< a <, 即实数 a 的取值范畴为 22,.2 21212（）由条件知f 22，