课件 新人教B版必修1

1、2 2.3 3函数的应用()一二一、函数模型【问题思考】 1.在函数建模中,怎样确立两个变量是哪种函数关系?提示:通常需要先画出函数图象,根据图象来确定两个变量的关系,选择函数类型.2.函数模型在实际应用中,函数的自变量有什么特点?提示:在实际应用中,函数的自变量x往往具有实际意义,如x表示长度时,x0;x表示件数时,x0,且xz等.在解答时,必须要考虑这些实际意义.一二3.已知某商场经营一批进价为12元/个的小商品,在4天的试销中,对此商品的销售单价x(元)与相应的日销售量y(个)进行了统计,其数据如下表:你能否找到一种函数,使它反映y关于x的函数关系?若能,写出函数解析式.一二提示:观察x

2、,y的数据,可大体看到y与x是一次函数关系,令y=kx+b(k0).因为当x=16时,y=42,当x=20时,y=30,即y=-3x+90.显然当x=24时,y=18;当x=28时,y=6.对照数据,可以看出y=-3x+90即为所求的函数解析式.考虑到x的实际意义及y的取整性,所以y=-3x+90,x1,2,3,30.一二4.填空:(1)一次函数模型解析式:y=kx+b(k0).(2)二次函数模型一般式:y=ax2+bx+c(a0);顶点式:y=a(x-h)2+k(a0),其中顶点坐标为(h,k).(3)分段函数模型有些实际问题,在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同,此时我们可以选择利用分段

3、函数模型来刻画它,由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式,因此分段函数在研究条件变化的实际问题中,或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用.一二归纳提高1.在求其解析式时,应先确定分“段”,即函数分成几段,并抓住“分界点”,确保分界点“不重,不漏”.2.在求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已知函数值,求解自变量的值时,就是解方程的过程,即每段都令y取已知函数值,解出相应x的值,再判断是否属于所在区间.一二二、解决数学应用题的一般步骤【问题思考】 1.对教材例2中的“客房问题”你有什么体会?在现实问题中,有没有与它类似的问题?如果有,请举例说明.提示:“客房问题”反

4、映的规律性在实际生活中有很多典例,实际归结到最后,“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用,在现实生活中的“调价问题”与其类似,其模型为:当某类商品在销售价格为b元时,可售出a件,现欲提价,若单价每提高m元,则销售量平均减少n件,求提高多少元时销售的总收入最高?设将商品售价提高x个m元,则总收入为y=(b+xm)(a-xn)=-mnx2+(am-bn)x+ab.它是一个自变量为自然数的二次函数,且其二次项系数小于零,根据二次函数的知识知它有最大值.一二2.做一做:某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份0.50元,卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社,在

5、一个月(30天)里有20天每天可以卖出报纸400份,其余10天每天只能卖出250份.若每天从报社买进报纸的数量相同,则每天应该从报社买进多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大?并计算该销售点一个月最多可赚多少元?解:设每天应从报社买x份报纸,由题意知250 x400,设每月赚y元,根据题意得y=0.5x20+0.525010+(x-250)0.0810-0.35x30=0.3x+1 050,x250,400.因为y=0.3x+1 050是定义域上的增函数,所以当x=400时,ymax=120+1 050=1 170(元).答:每天应该从报社买进400份报纸,才能使每月所获得的利润最大,每月最多

6、可赚1 170元.探究一探究二探究三思维辨析一次函数模型的应用一次函数模型的应用【例1】 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000.而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()a.2 000套b.3 000套c.4 000套d.5 000套(2)商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠一个茶杯;(2)按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时

7、,两种办法哪一种更优惠?探究一探究二探究三思维辨析(1)解析:因利润z=12x-(6x+30 000),所以z=6x-30 000,由z0解得x5 000,故至少日生产文具盒5 000套.答案:d(2)解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且xn).由优惠办法(2)可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4,且xn).y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xn),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种办法付款相同;当4x34时,y134时,y1y2,优惠办法(2)更省钱.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.一

8、次函数模型的实际应用:一次函数模型应用时,本着“问什么,设什么,列什么”这一原则.2.一次函数的最值求解:一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或0),解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练1若一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的() 解析:蜡烛剩下的长度随时间增加而缩短,根据实际意义不可能是d,更不可能是a,c.故选b.答案:b探究一探究二探究三思维辨析二次函数模型的应用二次函数模型的应用【例2】 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹

9、果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱,价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?探究一探究二探究三思维辨析分析:本题中平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)是一个一次函数关系,虽然x50,55,xn,但仍可把问题看成一次函数模型的应用问题;平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)是一个二次函数关系

10、,可看成是一个二次函数模型的应用题.解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50 x55,xn).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360 x-9 600(50 x55,xn).(3)因为w=-3x2+360 x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x500,应付y=30+0.15(1 200-500)=135(元).(3)90元已超过30元,所以上网时间超过500 min,由解析式可得上网时间为900 min.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.在刻画实际问

11、题中,变量之间的关系因自变量x取值范围的不同,对应的函数关系不能用同一个解析式表示时,常用分段函数建立函数模型解决问题.2.分段函数是指自变量在不同的范围内有着不同对应法则的函数.求解分段函数的最值问题时应注意:分段函数的最大值是各段函数最大值中较大的一个,分段函数的最小值是各段函数最小值中较小的一个.探究一探究二探究三思维辨析为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价p(单位:元/件)之间满足关系式: 该企业职工每人每月工资为1 200元,其他经营性费用为每月13 200元

12、.(1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价p为52元/件,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数;(2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款?探究一探究二探究三思维辨析解:(1)设该企业职工人数为t,依题意当p=52时,q=36,则(52-40)36100=1 200t+13 200,t=25.即该企业有25名职工.(2)设每个月的利润为f(p),则f(p)=当p=55时,(-2p+140)(p-40)max=450,当p=61时,(-p+82)(p-40)max=441,450441,当p=55时,能更早还清贷款,又(10

13、0450-1 20020-13 200)12=93 600,当定价为55元时,最早5年后能还清贷款. 探究一探究二探究三思维辨析因忽视实际问题中x的范围而致误【典例】 如图所示,在矩形abcd中,已知ab=a,bc=b(ab),在ab,ad,cb,cd上分别截取ae=ah=cf=cg=x(x0),设四边形efgh的面积为y.(1)写出四边形efgh的面积y与x之间的函数关系式;(2)求当x为何值时,y取得最大值,最大值是多少?探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你怎么防范?提示:错解过程中一是没注意实际问题中x的取值范围

14、,二是求函数最值时没有讨论对称轴与区间的关系,但从根本上错误的根源是第(1)问中没有明确定义域.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析防范措施1.对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束,养成遇到实际问题“定义域优先”的习惯.2.有时一个小细节的失误,会导致严重错误的产生.因此解决实际问题时,要充分考虑问题的背景、实际意义、隐含条件等.探究一探究二探究三思维辨析变式训练变式训练某企业实行裁员增效.已知现有员工a人,每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元,据评估,在生产条件不变的条件下,每裁员一人,则留岗人员每人每年可多创收0.01万元,但每年需付给每位下岗工人

15、0.4万元生活费,并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的 ,设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.(1)写出y关于x的函数解析式,并指出x的取值范围;(2)当140a280时,该企业应裁员多少人,才能获得最大的经济效益?(注:在保证能取得最大经济效益的情况下,能少裁员,应尽量少裁)探究一探究二探究三思维辨析1.一个等腰三角形的周长是20,则底边长y是关于腰长x的函数,其解析式为()a.y=20-2x(x10)b.y=20-2x(x10)c.y=20-2x(5x10)d.y=20-2x(5x10)答案:d2.某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为y=x2-80 x,若每件

16、产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为()a.52b.52.5 c.53 d.52或53解析:因为利润=收入-成本,当产量为x件时(xn),利润f(x)=25x-(x2-80 x),所以x=52或x=53时,f(x)有最大值.答案:d3.某商店进货单价为45元,若按50元一个销售,能卖出50个;若销售单价每涨1元,其销售量就减少2个,为了获得最大利润,此商品的最佳售价应为每个元.解析:设涨价x元,销售的利润为y元,则y=(50+x-45)(50-2x)=-2x2+40 x+250=-2(x-10)2+450,所以当x=10,即销售价为60元时,y取得最大值.答案:604.

17、已知直角梯形abcd,如图(1)所示,动点p从点b出发,由bcda沿边运动,设点p运动的路程为x,abp的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图(2)所示,则abc的面积为.解析:由题中图象可知bc=4,cd=5,da=5, 答案:16 5.南博汽车城销售某种型号的汽车,进货单价为每辆25万元,市场调研表明:当销售单价为每辆29万元时,平均每周能售出8辆,而当销售单价每降低0.5万元时,平均每周能多售出4辆.如果设每辆汽车降价x万元,每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润=销售单价-进货单价).(1)求y与x之间的函数关系式,并在保证商家不亏本的前提下,写出x的取值范围;(2)假设这种汽车平均每周的