第八章 立体几何 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质课件 理

1、目 录 contents考情精解读考点1考点2a.知识全通关b.题型全突破c.能力大提升考法1考法2考法4考法3专题考情精解读考纲解读命题趋势命题规律考情精解读1考试大纲1.以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理,并能够证明相关性质定理.2.能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质、定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质考纲解读命题规律考情精解读1命题趋势 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域直线与平面垂直的判定与性质【90%】全国,1

2、9()2016浙江,17()2016北京,17()2015北京,17,14分2015江苏,16(2)2015浙江,17()2014浙江,20,15分2014山东,17,12分2014天津,17()考纲解读命题规律考情精解读3命题趋势 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质考点2016全国2015全国2014全国自主命题区域平面与垂直平行的判定与性质【90%】全国,18,12分 全国,18,12分2016江苏,16(2)2015北京,17()2014江苏,16(2)考纲解读命题规律考情精解读4返回目录1.热点预测主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质以及线面角、二面角的求法,以选择

3、题、填空题或解答题的一问呈现,分值56分.2.趋势分析以柱体或锥体为载体,考查推理论证能力和空间想象能力,关于垂直中的存在性与探索性问题在2018年高考复习时应引起重视.命题趋势 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质知识全通关知识全通关1考点一直线与垂直平行的判定与性质继续学习 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质1.直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.(2)图形语言:如图8-5-1所示. 图8-5-1(3)符号语言:a,b,ab=p,la,lbl. 知识全通关2 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习

4、2.直线与平面垂直的性质定理自然语言:垂直于同一个平面的两条直线平行.图形语言:如图8-5-2所示. 图8-5-2符号语言:a,bab. 知识全通关3 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习3.直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内,我们说它们所成的角是0角.因此,直线与平面所成的角的范围是0,90.【注意】斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段.规律总结 1.直线与平面垂直的定义常常逆用,即a,bab.2.若平行直线中一条垂直于平面,则另

5、一条也垂直于该平面.3.垂直于同一条直线的两个平面平行.4.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.5.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.知识全通关4 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习考点2平面与垂直平行的判定与性质1.二面角(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角. 图8-5-3(2)二面角的平面角:如图8-5-3,在二面角-l-的棱l上任取一点p,以点p为垂足,在半平面,内分别作垂直于棱l的射线pa和pb,则射线pa和pb构成的apb叫作二面角-l-的平面角.二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.我们规

6、定,二面角的取值范围是0,180.平面角是直角的二面角叫作直二面角.知识全通关5 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习(3)找二面角的平面角的方法垂面法:由二面角的平面角的定义知,只需作与棱垂直的平面,则该平面与两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角.平移法:先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线,然后平移到一起,两射线的夹角即二面角的平面角.知识全通关6 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习2.平面与平面垂直的判定定理(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角,那么就说这两个平面互相垂直.平面与垂直,记作.(2)两个平面垂直的判定定理自然语

7、言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.图形语言:如图8-5-4所示. 图8-5-4符号语言:ab,ab.【注意】平面和平面垂直的判定定理的两个条件:l,l,缺一不可.知识全通关7 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习3.平面与平面垂直的性质定理自然语言:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.图形语言:如图8-5-5所示. 图8-5-5符号语言:,=cd,ab,abcdab.知识全通关8返回目录 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质【名师提醒】1.两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况,正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的;2.由定理可知

8、,要证明平面与平面垂直,可转化为从现有直线中寻找平面的垂线,即证明线面垂直;3.面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.题型全突破考法1线面垂直的判定与性质继续学习 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质题型全突破1考法指导证明直线与平面垂直的方法:(1)定义法:若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,则这条直线垂直于这个平面(不常用);(2)判定定理(常用方法);(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面(客观题常用);(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面(客观题常用);(5)若两平面垂直,则在一个平面内

9、垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法);(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用). 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破2考法示例1如图8-5-10,在abc中,abc=90,d是ac的中点,s是abc所在平面外一点,且sa=sb=sc.(1)求证:sd平面abc;(2)若ab=bc,求证:bd平面sac.【思路分析】找相交直线证线线垂直 得线面垂直图8-5-10 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质【解析】继续学习题型全突破3(1)因为sa=sc,d是ac的中点,所以sdac.在rtabc中,ad=bd,又

10、sa=sb,sd=sd,所以ads bds.所以sdbd.又acbd=d,所以sd平面abc.(2)因为ab=bc,d为ac的中点,所以bdac.由(1)知sdbd,又sdac=d,所以bd平面sac.【点评】证明本题的关键是设法在平面内找到两条相交直线与所证直线垂直. 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破4考法示例2 如图8-5-11所示,在正方体abcd-a1b1c1d1中,efa1d,efac,求证:efbd1.(1)证明:ghef;(2)若eb=2,求四边形gefh的面积.图8-5-11【思路分析】由于直线ef与ac和a1d都垂直,因此可考虑利用平面a1c1d,

11、只需证明bd1平面a1c1d即可. 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质【解析】继续学习题型全突破5如图8-5-12所示,连接a1c1,c1d,b1d1,bd.因为aca1c1,efac,所以efa1c1.又efa1d,a1da1c1=a1,所以ef平面a1c1d.因为bb1平面a1b1c1d1,a1c1平面a1b1c1d1 ,所以bb1a1c1.因为四边形a1b1c1d1为正方形,所以a1c1b1d1.又b1d1bb1=b1,所以a1c1平面bb1d1d.又bd1平面bb1d1d,所以a1c1bd1.同理,dc1bd1,dc1a1c1=c1,所以bd1平面a1c1d.由可知efbd1.

12、【点评】线面垂直的性质定理是证明两条直线平行的一种重要方法,本题证明efbd1的关键是寻找与直线ef,bd1都垂直的平面图8-5-12 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破6【突破攻略】 应用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直是证明直线与平面垂直的主要方法.充分利用条件寻找平面中的两条相交直线与已知直线垂直是解决问题的关键.证明时注意分析几何图形,寻找隐含的和题干中能推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.等腰三角形底边上的中线,菱形的对角线,勾股定理等都可以用来寻找线线垂直.考法2面面垂直的判定与性质继续学习 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质题型全突破7考

13、法指导 1.证明面面垂直的思路(1)利用面面垂直的定义(不常用);(2)可以考虑证线面垂直,即设法先找到其中一个平面的一条垂线,再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行.一般方法:先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中存在这样的直线,则可通过线面垂直来证明面面垂直;若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决(常用方法);(3)性质:,(客观题常用). 2.空间垂直关系之间的转化 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破8考法示例3 如图8-5-14,在三棱柱abc-a1b1c1中,aa1平面abc,ab=2aa1=2ac=2,abc=30.(1)求证:平

14、面a1bc平面aa1c1c;(2)若点d是棱ac的中点,点f在线段ac1上,且ac1=3fc1,求证:平面b1cf平面a1bd.【思路分析】(1)欲证平面a1bc平面aa1c1c,只需证明bc平面aa1c1c,转化为证明在平面aa1c1c中寻找两条相交直线与bc垂直;(2)欲证平面b1cf平面a1bd,只需在平面b1cf中寻找两条相交直线与平面a1bd平行.图8-5-14 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破9【解析】1)在三棱柱abc-a1b1c1中,因为aa1平面abc,bc平面abc,所以aa1bc.在abc中,因为ab=2ac=2,且abc=30,根据正弦定理,

15、得所以sinacb=1,因为0acb180,所以acb=90,即acbc.又acaa1=a,所以bc平面aa1c1c,因为bc平面a1bc,所以平面a1bc平面aa1c1c.sinacbsinabacabc 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破10【解析】(2)设a1d与ac1交于点e,连接ab1交a1b于点g,连接eg,如图8-5-15所示,因为ada1c1,所以ade=c1a1e,dae=a1c1e,所以adec1a1e,又点d是棱ac的中点,所以因为ac1=3fc1,所以ae=ef=fc1,所以cfde.因为cf 平面a1bd,de平面a1bd,所以cf平面a1b

16、d.因为点g为ab1的中点,所以b1fge.又b1f 平面a1bd,ge平面a1bd,所以b1f平面a1bd.因为b1fcf=f,所以平面b1cf平面a1bd.图8-5-1511112aeadc ec a 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破11【突破攻略】面面垂直问题,可转化为线面垂直问题,进而转化为线线垂直问题,当题干中给出的几何体不是规则的,且数据型条件较多时,比如线段长度、三角形的内角度数等,一般要通过计算证明几何图形中隐含的垂直关系.若给出的几何体是比较规则的,如正方体,正四棱锥等,一般要用几何体的性质找出其中的垂直关系.考法3求直线与平面所成的角继续学习 数

17、学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质题型全突破12考法指导 求直线与平面所成角的方法(1)定义法:作,在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在这一步上确定垂足的位置是关键;证,证明所作的角为直线与平面所成的角,其证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;求,构造角所在的三角形,利用解三角形的知识求角.(2)公式法: (其中h为斜线上除斜足外的任一点到所给平面的距离,l为该点到斜足的距离,为斜线与平面所成的角). sinhl 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破13考法示例4 如图8-5-17,在四棱锥p-abcd中,底面abcd是矩形,pa平面abcd,pa=ad=2,a

18、b=1,bmpd于点m.(1)求证:ampd;(2)求直线cd与平面acm所成角的余弦值.【思路分析】(1)先证pd平面abm 由此得出ampd(2)作出线面角构造一个直角三角形通过三角函数计算大小图8-5-17 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破14【解析】(1)因为 pa平面abcd,ab平面abcd,所以paab.因为abad,adpa=a,ad平面pad,pa平面pad,所以ab平面pad.因为pd平面pad,所以abpd.因为bmpd,abbm=b,ab平面abm,bm平面abm,所以pd平面abm.因为am平面abm,所以ampd. 数学 第五讲 直线、平

19、面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破15【解析】(2)由(1)知,ampd,又pa=ad, 则m是pd的中点.在rtpad中,知am=2,在rtcdm中,知mc=所以设点d到平面acm的距离为h,由vd-acm=vm-acd,得解得h= 设直线cd与平面acm所成的角为,则 ,所以即直线cd与平面acm所成角的余弦值为【点评】在计算线面角的时候,关键是求出斜线上的某点到平面的距离,当这个距离难以计算时,可利用“等积变换”法求解.223mddc1622acmsam mc1622acmsam mc636sin3hcd3cos333 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破16

20、【突破攻略】找直线与平面所成的角,关键是找直线上一点到该平面的垂线,要善于利用“若平行直线中的一条垂直于一平面,则另一条也垂直于该平面”.如果直线在已知图形中没有斜足时,可以转化成找与该直线平行的另一条直线(斜足明显)与该平面所成的角.考法4求二面角继续学习 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质题型全突破17考法指导求二面角的方法(1)定义法:在二面角的棱上找一特殊点,过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,如图8-5-18(1),aob为二面角-l-的平面角;(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面的交线所形成的角即二面角的平面角,如图8-5-18(2),a

21、ob为二面角-l-的平面角;(3)垂线法(三垂线定理法):过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线,从垂足出发向棱引垂线,利用三垂线定理(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角,如图8-5-18(3),aob为二面角-l-的平面角;(4)利用射影面积公式:cos =s射/s原 ,该法主要用来解决无棱二面角大小的计算,关键在于找出其中一个半平面内的多边形在另一个半平面内的射影.图8-5-18 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破18考法示例5 如图8-5-19,已知三棱锥p-abc中,acb=90,bc=4,ab=20,d为ab的中点,且pdb是

22、等边三角形,papc.(1)求证:平面pac平面abc;(2)求二面角d-ap-c的正弦值.【思路分析】对于(1),只要证明bc平面pac即可;对于(2),关键在于找出二面角d-ap-c的平面角.图8-5-19 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破19【解析】(1)在rtacb中,d是斜边ab的中点,所以bd=da.因为pdb是等边三角形,所以bd=dp=bp,则bd=da=dp,因此apb为直角三角形,即pabp.又papc,pcbp=p,所以pa平面pcb.因为bc平面pcb,所以pabc.又acbc,paac=a,所以bc平面pac.因为bc平面abc,所以平面p

23、ac平面abc. 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质继续学习题型全突破20【解析】(2)由(1)知papb,又papc,故bpc即二面角d-ap-c的平面角.由(1)知bc平面pac,则bcpc.在rtbpc中,bc=4,bp=bd=10,所以sinbpc= , 即二面角d-ap-c的正弦值为, 42105bcbp25返回目录 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质题型全突破21【突破攻略】 求二面角的大小的关键是作出二面角的平面角,这就需要紧扣它的三个条件,即这个角的顶点是否在棱上,角的两边是否分别在两个平面内,这两边是否都与棱垂直.在具体作图时,还要注意掌握一些常用的作二面角的

24、平面角的方法与技巧.能力大提升 专题探究 平面图形的翻折问题继续学习 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质能力大提升1【示例6】如图8-5-21,四边形abcd中,ab=ad=cd=1,bd=,bdcd.将四边形abcd沿对角线bd折成四面体abcd,使平面abd平面bcd,则下列结论正确的是a.acbdb.bac=90c.ca与平面abd所成的角为30d.四面体abcd的体积为1/3图8-5-13解决平面图形翻折为空间图形问题的关键是看翻折前后线面位置关系的变化,根据翻折的过程厘清翻折前后位置关系中没有变化的量是哪些、发生变化的量是哪些,这些不变的量和变化的量反映了翻折后的空间图形的结构特征,求解问题时要综合考虑翻折前后的图形.一般地,翻折后还在同一平面上的线面位置关系不发生变化,不在同一个平面上的线面位置关系发生变化【思路分析】翻折前abad，bdcd翻折后垂直关系不变结合有关知识判断各选项得出结论继续学习 数学 第五讲 直线、平面垂直的判定及其性质能力大提升2取bd的中点o,连接ao,oc.因为ab=ad,所以aobd.又平面abd平面bcd,平面abd平面bcd=bd,所以ao平面bcd.因为cdbd,所以oc不垂直于bd.假设acbd,因为oc为ac在平面bcd内的射影,所以o