2022年无穷级数习题及答案

1、优秀学习资料欢迎下载第十一章无穷级数(a) 用定义判断下列级数的敛散性1112nnn；212221nnn；315131nnn。判断下列正项级数的敛散性41100!nnn；51nneen；6121nnn；71332nnnn；814!nnn；9nnnn113；10121nnnn。求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1111121nnnn；122ln11nnn；130001.1001.101.11.1；1414413312221222；求下列幂级数的收敛半径和收敛区间1513nnnxn；1611nnnnnx；171!nnxn；181121nnnxn；19112121nnnx；20

2、123nnnxn；求下列级数的和函数2111nnnx；22121121nnnx；将下列函数展开成0 xx的幂的级数232xxeeshx，00 x；24x2cos，00 x；25xx1ln1，00 x；26x1，30 x；将下列函数在区间,上展开为付里叶级数272cosxxa，x。28txf2，x精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载29将函数30,03,2txtxxxf展开成付里叶级数。30将函数lxlxllxxxf2,20,分别展开成正弦级数和余弦级数。(b) 用

3、定义判断下列级数的敛散性1043131nnn；21211nnnn；31222nnnn；判断下列正项级数的敛散性41n!2nnnn；5132132nnnn；6112nnnnnan，(0a)；71nnnab，其中aan(n)，na，b ，a均为正数；81111nn，(0a)；9110421nnxxx；判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛1011!212nnnn；11121111nnnnn；1211232312ln1nnnnn；求下列幂级数的收敛半径和收敛域1312!21nnnnx；141nnnnbax，(0a,0b)；1511254211nnnnnx；161123nnnnxn

4、；求下列级数的和函数1712nnnx；18nnxnn21!12；1912nnxn；20求证：1212lnnnn；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载将下列函数展开成0 xx的幂的级数2113212xxxf，00 x； 2221xxf，10 x； 2321xx，00 x；24证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25写出函数kxxf221，12,12kkx，,2, 1,0k的付里叶级数，并讨论收敛情况。26 设xf是 周 期 为 2的 周 期 函 数 ， 它 在,上

5、的 表 达 式 为xxxxxf2,222,2,2，将xf展开成付里叶级数。27将函数2xxf，(lx0)分别展开成正弦级数和余弦级数。(c) 1用定义判断下列级数的敛散性13212121nnnn2设0ia，,2 ,1i，判断级数nnaaaaaaaaa1111112121211的敛散性。判断下列正项级数的敛散性31!3nnnnn；41212lnnnnn；511112nnn；6判断级数12sin1nnn的敛散性。求下列幂级数的收敛半径和收敛区间71221nnnxnn；81n12111nnxn；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 2

6、0 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载求下列级数的和911121nnnn10展开xedxdx1为x幂级数，并推出11!1nnn。11求级数11322nnnxn的收敛区间及和函数。12设函数xxxxf2,020,2，试分别将xf展成为以 2 为周期的区弦级数和余弦级数。13将周期函数,0,10,1xf，展为付氏级数，并据此求周期函数, 0,0 ,1baxf，|2xxf，,的 付 氏 级 数 ， 求 下 面 级 数222121413114n。第十一章无穷级数(a) 1解：nknnkks12212，(n), 原级数发散。2 解 ： nknknnkkkks11412212121

7、22121212221，(n)，原级数收敛且和为41。3 解：4121511511513113113151315131111nnnkknknkkkkns43，(n) ，原级数收敛且和为43。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载4解：1001lim!100100!1limlim11nnnuunnnnnnn，由比值判别法知原级数发散。5解：1111lim1limlim11enneneenuuenennennnn，由比值判别法知，原级数收敛。6解：02121limlim

8、nnunnn，原级数发散。7解：2332lim1limnnnnnunnn，而11nn发散，由比较判别法知原级数发散。8解：0111lim!11limlim4441nnnnnnnuunnnnn，由比值判别法知，原级数收敛。9解：13113lim13limlimnnnnunnnnnnn，由比值判别法知，原级数收敛。10 解 ： 2121nnnnnun， 而2121lim21limnnnnnn， 故121l i mnnnu，由比值判别法知，原级数收敛。11解：1112|nnnnnu，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原级数绝对收敛。12解：nnun1ln1|，而21nn发散，故2ln1nn发散

9、。因此原级数非绝对收敛，又，显然nnln11ln1，,3,2n，且0ln1limnn，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。13解：0|00|lim|limnnnu，原级数发散。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载14解：此为交错级数， 111|2nnnnun，(n) 而级数11nn发散，故1|nnu发散，即原级数非绝对收敛，显然12nn单调递减且趋向于零，故原级数条件收敛。15 解： 313lim313limlim11nnnnaannnnnnn， 31r， 当31

10、x时，级数为11nn发散，当31x时，级数为111nnn收敛。故原级数的收敛区间为31,31。16解：011111111nnnnnnnnnaa，n， r，收敛区间为,。17解：0111111nnnnnaa，n，0r。18 解： 21122limlim11nnaannnnnn，2r。故 当2|1| x，即31x时收敛，当1x或3x时发散，当1x时，级数为111nnn，收敛；当3x时，级数为11nn，发散。故收敛区间为3, 1。19 解： 222222121321xxxxuunnnnnn，n， 当122x时 ， 即22x时收敛，当122x，即2x或2x时发散，2r。当2x时原级数为122n，发散，

11、故收敛区间为2,2。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载20 解：3113133122121nnnnaannnn，n， 3r， 当3x时，原级数121nnn，发散。故收敛区间为3 , 3。21解：设11nnnxxf，1| x，110101101nnnxnxnnxxxxdxnxdxnxdxxf2111xxxxf，1| x。22解：设112121nnxnxf，1| x，则22112121121121121xxxxnxnxfnnnnnnxxdxxxdxxf00221，即

12、dxxxfxfx011111210，xxxxxxfxf11ln21111ln210，1| x。23解：0200!2121!1!1212kknnnnxxxkxnxnee，x。24解：0222!2111212cos121cosnnnxnxx02!2212121nnnnxn，x。25解：11111ln1nnnnxxxx，1| x1111111111111nnnnnnnnnxnnnnxnx。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载26解：0103311331313311313

13、311nnnnnnnxxxxx133x，即60 x27解：2cosxxf为偶函数，0nb，,2, 1n0cos2cos2cos2cos1nxdxxnxdxxandxxnxn021cos21cos1xxnnxnn021sin21121sin21111211212112cos12cos21nnnnxnnxn1414121nn，,2, 1 ,0n令0n，得40a，且2cosxxf在,上连续12114cos1422cosnnnnxx，x。28解：由于xxf2是奇函数，故0na，,2, 1 ,0nxnnxxnntdttbnsin1cos12sin21nn41nxnxfnnsin141。29解：33033

14、03cos313cos2313cos31xdxnxxdxnxxdxnxfan302203223sin33cos33sin33cos6xnxnxnnxnxnxnnnn11322，kn2时，02ka。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载12kn时，2212126kak23231310330330 xdxxdxdxxfa3303303sin313sin2313sin31dxxnxxnxxdxnxfbn30033s i n33c o s13s i n3c o s3xnnx

15、nxnxnnxnxn119nn，所以110223sin119312cos121643nnnxnnxkkxf除123nx上均成立。,2, 1,0n30解：1）正弦级数，注意到00f，作奇延拓xf，llx,使在l ,0上恒有xfxf。再将xf周期延拓得xg，,x，xg是一个以l 2为周期的连续函数，xfxg，llx,，计算付氏系数如下：0na，(,2, 1 , 0n) 20sinsin2llxlndxlxnxldxlxnxlb2sin422nnl, 2, 1n122sin2sin14nlxnnnlxf,lx0. 2)余弦函数作偶延拓设xf，llx,使在l ,0上恒有xfxf。再将xf周期延拓得xg

16、，,x，xg是一个以l 2 为周期的连续函数，xfxg，llx,，计算付氏系数如下：xldxxlxdxlalll22002精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载20coscos2llxlndxlxnxldxlxnxla22222222212cos22nlnlnnlln,2 ,1n0nb122cos112cos2124nnlxnnnllxf,lx0. (b) 1 解：nknknnnnnns1112143141314311313143131, n，原级数收敛且和为121

17、。2解：1121111211kknkkkkkks21112112111211211111kkkkkkkk41431，n，原级数收敛且和为41。3解：11221121nnkkkksnkn21211212112nnnn，n，原级数收敛且和为21。4解：12112!21!12111ennnnnuunnnnnnn，n由比值判别法知原级数收敛。5解：1941321321323232nnnnnnnnnnnu，n由根值判别法知原级数收敛。6 解 ： 当n充 分 大 时 有1212122nnnanunnnnnnnnn， 而精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

18、第 10 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2112lim122limnnnnnnn，故121limnnnu，由根值判别法知原级数收敛。7解：abababunnnnnn，n，当1ab，即ab时，原级数收敛；1ab，即ab，原级数发散，当ab时不定。8解：当1a时，011limnna，级数发散。当1a时，111nnnnaaau，(u) ，而11nna收敛，级数发散。9解：23102310104132321nxdxxdxxxunnnn，123132nn收敛，由比较判别法知级数收敛。10解：122!12121122nnnuunnnnn，n，故1nnu也发散，故也

19、非条件收敛。11解：nnnnnnun2211|22，而12nn发散，故级数1|nnu发散，即原级数非绝对收敛， 原级数为交错级数， 显然数列112nnn单调递减且收敛于零，故由莱布尼兹判别法知，原级数条件收敛。12解：32ln4912lnlim1|lim2nnnnunnn，而11nn发散，1|nnu发散，即原级数非绝对收敛。记原级数为111nnna为交错级数，04912lnlimlim2nnannn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载n

20、112ln12ln23235313112ln1nnnnnnnnnnnnaann，即nnaa1，故由莱布尼兹判别法知原级数收敛，故原级数条件收敛。13解：01212!2!1222121nnxxnnxuunnnn，n，故对x，原级数收敛，所以收敛半径为，收敛区间为,。14 babaannnnnnn,m a x11limlim， bar,max， 当bax,m a x时，原级数发散，故收敛区间为rr,，其中bar,max。15解：4554241252121321xxnnxuunnnnnn，n，当1452x，即37x时，原级数收敛， 当1452x，即3x或7x时，原级数发散，当7x，原级数收敛，当3x

21、时原级数也收敛。故原级数收敛半径为2，收敛区间为3,7。16 解 ： 31321322323123111nnnnaannnnnnnn，n，31r，当31|1| x，即3234x，原级数收敛。当34x时，原级数收敛，当32x时，原级数发散。故原级数的收敛区间为32,34。17解：1121222nnnnnxxnx，但1112212112xxnxnnnn2212xx，故有2222211212112222xxxxxnxxnxnnnn，1| x。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资

22、料欢迎下载18 解 ： 02!12nnxxne，x， 而012!12nnxxnxe1202012!121!12!1nnnnnnxnnxnnxn，121!12222212xxxnnexexexnn，x。19解：1111121nnnnnnnxxnnxxn，2111111xxxxnxnnnn3211111211111xxxxxxnxnnnnn，故2323121121112xxxxxxxxxnnn，1| x。20证明：考虑级数xsxnnxnnnnn11212，2| x，逐项微分得：xxxxsnn212112122111，2| x。|2|ln2ln|2|ln21000 xxdxxdxxsxfxxx， 取

23、1x， 得2ln2111nnns。21解：xxxxxf112121321，012212nnnxx，21| x，011nnxx，1| x。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载01001122nnnnnnnnxxxxf，21| x。22解：022111111111nnnxxxx11111nnnxn，(1|1| x)。23解：4286427531423121111xxxx1! !2! !1211nnnxnn，1| x1212! !2! !1211nnnxnnxxx，1

24、| x。25解：nxdxnnxxxnxdxxancos21cos2sin211nn111，, 2, 1n11sin11nnnxnxf。由 于 对12,12kkx， 有32,122kkx， 所 以xfkxkxxf221122212。因此f以 2周期的周期函数，并且显然只有当12kx，,2, 1,0k时x是xf及xf第一类间断点，所以xf符合狄利克雷收敛定理的条件，故xf付氏级数在 r处处收敛，,2, 1,0k，有1112,012,sin11nnkxkxxfnxn。26解：xf奇函数，所以0na。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，

25、共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载0202sin2sin2sin2nxdxxdxxnxdxxfbn2202cos2cossin12nxnnxnxnxnnnnn122sin122所 以1s i n212s i n112nnnxnnnxf， 除12nx均 成 立 ，(,2, 1,0n) 。27解：lnxdxlnxlb02sin2xxlnnlxlnxnlxlnxnll02222cos2sin2cos2nlnxlnllnnn121221141233212nnnlnl又函数xf展成正弦级数为12312sin11212nnnxlnnnlxf，lx0又2020322ldxx

26、lallnnnlxdxlnxla0222214cos2xf展开成余弦级数为12222cos143nnxlnnllxf，lx0。(c) 1解：nknknkkkkkku1131121411213212121nkkkkk132112112112181精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载32131121181nn12132122121nnn, 故原级数收敛，且和为121。2证：11111nnnnaauu，由比较判别法知原正项级数收敛。3解：131113!31!13111

27、ennnnnuunnnnnnn，n，由比值判别法知，原级数发散。4 解： 考虑函数xxxfln21，, 0 x，23ln211xxxf， 由0 xf得2ex，易知eef22时xf的最大值，所以当1n地，132ln21nn，nnnnnu212ln21，但121nn为收敛的几何级数，原级数也收敛。5解：111ln1122nnnnena，2n有11ln02nn；而当10 x时，有xeex1，当2n时，1ln1021ln2nneenn，而级九121lnnnn可判别其是收敛的，原级数收敛。6 解：因为已知级数111211nnn条件收敛的级数。 设其部分和数ns极限为 s，则有ssnnlim，而级数171

28、051031012sin1nnn，取其前n2 项，其和与111211nnn的部分和相等且为ns，当n时， n2，故原级数收敛且和为 s。7解：222112121221212xnnnnxxnnnnuunnnn，n，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载当122x，即22| x时，收敛；当22| x时发散。故22r，当22x时，级数为11111nnnnnn发散，故原级数收敛域为22,22。8解：nann12111，由于nnnnnnna1211|11，而当1|limnn

29、na，故1r；当1x时，原级数为nnn121111，由于通项不以零为极限，故发散。所以原级数的收敛域为1 , 1。9解：当1| x时，级数nnnxnn211121收敛。设121121nnnxnnxf，1| x， 则121111212nnnxnxf，1| x，121211212nnnxxxf，1| x，两边积分得：tgxadxxxfx211202，(00f)；再积分一次201ln22xxarctgxarctgxdxxfx，(00f) ；2ln2lim011xfuxnn，即原级数的和2ln2s。10解：0!1nnxxne，2!21111xxxxedxdx1112!1!1!32!21!3!21nnnxnnxnnxxx因为当n时，11!111nnnnnxnnn0| x又当ox时，21112xexexedxdxxx故展开式对所有的x均成立，在展开式中令1x，得精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 20 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载11!1121xxxnxexenn。11解：3321132113211|2|21221xxnnxnxn