数学建模方法详解--模糊数学

1、数学建模方法详解 -模糊数学在生产实践、科学实验以及日常生活中， 人们经常会遇到模糊概念 (或现象) 例如, 大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模 糊概念。随着科学技术的开展， 各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往 往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。模糊数学是一个较新的现代应用数学学科， 它是继经典数学、 统计数学之后 开展起来的一个新的数学学科。 统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩 大到了不确定性的领域， 即从必然现象到偶然现象， 而模糊数学那么是把数学的应 用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域， 即从精确现象到模糊现象。

2、在各科学 领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。 对于不确定性 问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。 模糊数学就是研究属于不确 定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。 本章对于实际中具有模 糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。1.1 模糊数学的根本概念1.1.1 模糊集与隶属函数1. 模糊集与隶属函数一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生， 如果将所讨论的对象限制在一 定的范围内， 并记所讨论的对象的全体构成的集合为 U ，那么称之为论域 (或称为 全域、全集、空间、话题) 。如果 U 是论域 ，那么 U 的所有子集组成的集合称之

3、为U的幕集，记作F(U)。在此，总是假设问题的论域是非空的。为了与模糊集 相区别，在这里称通常的集合为普通集。对于论域U的每一个元素X U和某一个子集A U，有x A或x A，二 者有且仅有一个成立。于是，对于子集 A定义映射A:U 0,1即A(x)1, x A,0， x A,那么称之为集合A的特征函数，集合A可以由特征函数唯一确定。所 谓 论 域 U 上 的 模 糊 集 A 是 指 ： 对 于 任 意 x U 总 以某 个 程 度a( a 0,1)属于A，而不能用x A或x A描述。假设将普通集的特征函数的 概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。定义1.1设U是一个论域，如果给定了一个

4、映射A:U 0,1 x A(x) 0,1那么就确定了一个模糊集A，其映射A称为模糊集A的隶属函数，A称为x对模 糊集A的隶属度。定义1.1说明，论域U上的模糊集A由隶属函数a来表征，A的取值范围 为闭区间0,1， a的大小反映了 x对模糊集A的附属程度，a值接近于1, 表示x附属A的程度很高，A值接近于0,表示x附属A的程度很低，使A 0.5的点X0称为模糊集A的过渡点当a的值域为0,1时，a退化为普通集的特征函数，模糊集 A蜕变为普 通集，所以模糊集是普通集概念的推广。对于一个特定论域U可以有多个不同的模糊集，记 U上的模糊集的全体为F(U)，即 F(U) A a：U 0,1，那么F(U)就

5、是论域U上的模糊幕集，显然F(U)是一个普通集，且U F(U)。2. 模糊集的表示法当论域U xj,x2, , xn为有限集时，假设A是U上的任一模糊集，其隶属度A(xJ(i 1,2, ,n )，通常有如下三种表示方法:1) Zadeh表示法:AXii 1XiAX1AX2X1X2AXnXn在论域U中，A(Xi)0的元素集称为模糊集合A的支集。2) 序偶表示法：将论域中的元素Xi与其隶属度A(Xi)构成序偶来表示aA ( X1, a(X1 ),(X2, a(X2), ,(Xn, A(Xn)此种表示方法隶属度为0的项可不写入。3) 向量表示法：A A(X1), a(X2), A(Xn)在向量表示法

6、中，隶属度为0的项不能省略。 当论域U为无限集时，那么U上的模糊集A可以表示为A 4U x3. 模糊集的运算 模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。定义1.2设模糊集A,B F(U)，其隶属函数为a(x), b(x)。1) 假设对任意x U，有b(x) a(x)，那么称a包含B，记B A ；2) 假设B A且A B，那么称A与B相等，记为B A。定义1.3设模糊集A,B F(U)，其隶属函数为a(x), b(x)，那么称 A B, A B分别为A与B的并集与交集；称A为A的补集或余集，它们的隶属 函数分别为A b(x)a(x)b(x) max( a(x) , b(x)A b(x)a(x)

7、b(x) min( a(x) , b(x)ac(x)1 a(x)其中"",""分别表示取大运算与取小运算，称其为 Zadeh算子。并且，并 和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、 分配律等运算。隶属函数确实定方法正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的根底。隶属函数 是对模糊概念的定量描述。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合 实际的隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解 决的问题。隶属函数确实定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个 模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属

8、函数确实定又带有主观性。一般是 根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。下面仅介绍几种常用确实 定隶属函数的方法。不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准， 要用实际使用的效果来检验。1模糊统计方法模糊统计方法可以算是一种客观方法， 主要是在模糊统计试验的根底上，根 据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：1) 论域U。2) U中的一个固定元素。3) U中的一个随机变动的集合 A (普通集)。4) U中的一个以A作为弹性边界的模糊集A，对A的变动起着制约作用。 其中X。A或X。A，致使X。对A的隶属关系是不确定的。假设做n次模糊统计试验，那么可计算出

9、x。对A的隶属频率 比 A的次数n事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为x。对A 的隶属度，即/、 x。 A的次数a(xo) limnn2. 例证法例证法是Zadeh在1972年提出的，主要思想是从有限个 a的值来估计 论域U上的模糊子集A的隶属函数。3. 指派方法指派方法是一种主观方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集的 隶属函数。如果模糊集定义在实数域 R上，那么模糊集的隶属函数称为模糊分布。 所谓的指派方法就是根据问题的性质主观地选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。假设以实数域R为论域，称隶属函数为模糊分布。实际中，根据研究对象的

10、描述来选择适当的模糊分布。 偏小型模糊分布适合 描述像“小、“冷、“青年以及颜色的“淡等偏向小的一方的模糊现象，偏 大型模糊分布适合描述像“大、“热、“老年以及颜色的“浓等偏向大的一 方的模糊现象，中间型模糊分布适合描述像“中、“暖和、“中年等处于中 间的模糊现象。但这些方法所给出的隶属函数都是近似的， 应用时需要对实际问 题进行分析，逐步地进行修改完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。 常用的 模糊分布见下表：偏小型中间型偏大型矩形分布1,x aA(X)00，x a1,a x ba(x)0b0， x a,x b1,x aa(x)00，x a梯形分布1x a(x)b x a X b a x b

11、 b a a(x)/b x CA 丿d x,c x dd c0x a,x d0x a(x)x a a x bb a0x bAl入丿d入kJb a1x b正 态 分 布1,x aA(x)(2e， x a(X2a(x) e0,x aa(x)(L)21 ex ak次 抛 物 型 分 布1x aa(x)(.) a x bb a0x b/X a k()a x bb a(x)1b x cA(x),d x k.()c x dd c0x a, x d0x aa(x)(.) a x bb a1x b型分布1,x aA(x)k(x a)e， x a其中k 0k(x a)exaA(x)1a x be k(x a)x

12、b其中k 00,x aA(X)k(x a)1 e， x a其中k 0柯 西 型 分 布1,x aa(x)1x a1a(x)1 a(x a)其中k 0,0为偶数0,x aa(x)1x ax a1 a(x a)其中k 0,0x a1 a(x a)其中k 0,04. 其他方法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是多种多样的，主要是根据问题的实际意义来确定。例如，在经济管理、社会管理中，可以直接借助已有的“客 观尺度作为模糊集的隶属度。如果论域U表示机器设备，在u上定义模糊集A = “设备完好，那么可以用“设备完好率作为A的隶属度。如果u表示产品，在u 上定义模糊集A= “质量稳定，可以用“正品率作

13、为A的隶属度。如果u表示 家庭，在U上定义模糊集A= “贫困家庭，贝U可以用Engel系数=(食品消费)/ (总消费)作为A的隶属度。1.2 模糊关系与模糊矩阵1.2.1 模糊关系与模糊矩阵的概念 模糊关系是普通关系的推广，它描述元素之间关联程度的多少。定义1.4设论域U，V，称U V的一个模糊子集R F(U V)为从U到VR的模糊关系，记为 U V ，其隶属函数为映射R:U V 0,1(x, y) R(x,y) R(x, y)并称隶属度R(x，y)为(x，y)关于模糊关系R的相关程度。由于模糊关系就是直积U V的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模 糊子集的运算及性质。对于有限论域 U x

14、1, x2, , xm ， V y1, y2, , yn ，那么 U 到 V 的模糊关系 R可用m n阶模糊矩阵表示，即R (rij )m n其中rjR(Xi，yj) 0,1表示(x'j对模糊关系r的相关程度。定义1.5 设矩阵R (rj)mn，且rij 0,1 (i 1,2, ,m; j 1,2, ,n)那么称矩阵R为模糊矩阵。假设rj 0,1，那么模糊矩阵变成布尔(Boole)矩阵。1.2.2 模糊等价关系与模糊相似关系定义1.6假设模糊关系R F(U U)满足1) 自反性： R(x,x) 1 。2) 对称性： R(x, y) R(y, x)。3) 传递性； R R R(即 RR(

15、x, y) ( R(x, z) R(z, y) R(x, y)。那么称R是U上的一个模糊等价关系。其中隶属度R(x, y)表示(X, y)的相关程度。 当论域 U x1,x2, ,xm 为有限论域时， U 上的模糊等价关系可表示为 n n 阶模糊等价矩阵1) 自反性： I R(即 rii 1; i1，2，1 ? ?,n)。2) 对称性： RTR(即rijrji ;i,j1，2 ， ,n )。)。3)传递性； R Rn R(即 k 1(rikrkj)rij ;i , j 1， 2， ,n)。那么称 R 为模糊等价矩阵。定义 1.8 设论域 Ux1, x2, ,xm ，模糊矩阵 R (rij)n

16、n， I 为单位矩阵，假设R满足：1) 自反性： I R(即 rii 1; i1，2，1 ? ?,n)。2) 对称性： RT R(即 rij rji ;i,j1，2 ， ,n )。)。那么称 R 为模糊相似矩阵。定义 1.7 设论域 U x1, x2, , xm ，模糊矩阵 R (rij)n n， I 为单位矩阵， 假设 R 满足：1.2.3 截矩阵与传递矩阵(rij )n n 为模糊矩阵，对任意的定义 1.91)如果0,1 rij ( )1,0，rijrij, (i 1, 2, ,m;1,2,n)那么称 R2)(rij (如果)mn为R的截矩阵。1, rij ( )0，rijrij, (i

17、1, 2, ,m;1,2,n)那么称 R 显然，截矩阵为布尔矩阵。 定义1.10 设R是n n阶模糊矩阵，如果满足nR R R2 R (即 k 1仏kj) rj ；i，j(rij ()m n为R的强截矩阵。1，2，那么称R为模糊传递矩阵。将包含R的最小的模糊传递矩阵称为 为 t(R) 。,n)R 的传递闭包， 记1.3 模糊聚类分析方法在科学技术、经济管理中常常需要按一定的标准 (相似程度或亲疏关系 )进行 分类。例如，根据生物的某些性状，可对生物分类；根据土壤的性质，可对土壤 分类等等。 对所研究的事物按一定标准进行分类的数学方法称为聚类分析， 它是 多元统计“物以类聚的一种分类方法。由于科

18、学技术、经济管理中的分类往往 具有模糊性，因此采用模糊聚类方法通常比拟符合实际。在进行多指标评价时，同类指标的评价效果根本上是等价的，因此，可以通(1)过对同类指标的选择，到达指标筛选的目的。其根本思想是：首先根据各指标之 间相似程度，构造评价指标的模糊相似矩阵，然后通过平方法求传递闭包，得到 模糊等价矩阵，以此为依据进行聚类。模糊聚类的步骤及其关键算法：设论域 U Xi，X2, ,Xn为待分类的指标集，用m维向量描述样本，也就是说每个指标 Xi由m个分量组成，即Xi Xli，X2i， ,Xmi，故原始数据矩阵形式如公式1所 示X11X12XmX21X22X2nXm1Xm2Xmn具体的聚类方法

19、按以下步骤进行：数据标准化不同的数据具有不同的量纲，为了使有不同量纲的量进行比拟，对数据进行 无量纲化处理，而且根据模糊矩阵的要求，需要将数据压缩在区间°，1上。数据标准化的具体算法包括两个步骤：1、平移标准差变换XikXikXk1,2,m；k 1,2,(2)Sk其中XkXikm i 1m(Xiki 1-2Xk)变换后的每个变量的均值为0,标准差为1,实现了数据的无量纲化，但是这样还不能保证Xik都在区间° ,1上2、平移极差变换(3)Xik mi%XikXikm.axXik mi nXik1 i m1 i其中i 1 , 2 , ,m；k 1 , 2 , ,n.显然所有的X

20、ik都在区间°,1上，同时也消 除了量纲的影响。标定建立模糊相似矩阵对论域U X1,X2, X而言，Xi和yj的关系可用RXi,yj来描述。建立 模糊相似矩阵的方法有很多，如距离法、相关系数法、主观打分法等。现采用相 关系数法建立模糊相似矩阵，通过计算指标之间的相关系数，以相关系数的绝对 值作为模糊相似矩阵的元素，见式4mXki XiXkj Xjk 1RXi,yj rij|m2 W24Xki Xi2. Xkj Xj 2-k 1. k 1mXki , Xj m k i矩阵形式如式其中Xi丄(5)riir211 mXkj , 1 m k i)所示：1 2 n.*11 ri2r22ri n

21、(5)rni rn2rnn由4式可知，rii i , Gj rji，故该矩阵满足自反性和对称性，满足模糊 相似矩阵的要求。聚类采用基于等价矩阵的聚类方法。首先通过平方法求传递闭包得到模糊等价矩 阵。具体算法是：从模糊相似矩阵出发，依次求平方242iR R RR 6当第一次出现Rk Rk Rk时，Rk就是传递闭包，也就是模糊等价矩阵。方 阵的自乘运算是用模糊集合运算中的交和并取代通常矩阵乘法中的乘积与求和 操作nA R RAjk i( RikRj)等价矩阵建立之后，具体的聚类过程就是从大到小依次赋给 不同的值，通 过计算 截矩阵的方法获得不同的分类。 在具体的分类选择中，通常根据实际需 要选择值

22、，换言之就是根据特定的 值选择分类i 0i.4 模糊模型识别方法己知某类事物的假设干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归 到哪一模型，这就是模型识别。这里主要介绍模糊模型识别的两种根本方法一一 最大隶属原那么和择近原那么。模型识别在实际问题中是普遍存在的。例如，学生到野外采集到一个植物标 本，要识别它届于哪一纲哪一目；投递员或分拣机在分拣信件时要识别邮政编 码等等，这些都是模型识别。它们有两个本质的特征：一是事先己知假设干标准模 型称为标准模型库，二是有待识别的对象。上述例子中，事先建立的植物标 本室、信封反面提供的iO个标准阿拉伯数字都是标准模型库，采集到的植物、 分拣的每一封信

23、都是待识别的对象。 因此，模型识别粗略地讲，就是要把一种研 究对象，根据其某些特征进行识别并分类。模糊模型识别中的最大隶属原那么 定义i.ii 设论域U Xi，X2，属函数为 axii,2,m，而 A0 0 0 0普通向量X Xi，X2,Xm，那么称Xn上有m个模糊子集A，A2 , ,Am，其隶(Ai , A2 ,(x0)mi<Am为模糊向量集合族。对于A (Xi。)为x0对模糊向量集合族义，如1 m(X0)-i1 a(x0)mi 1最大隶属原那么1设论域U X1，X2，,Xn上有m个模糊子集A的隶属度。需要指出的是，普通向量X0对模糊向量集合族的隶属度也有其他形式的定构成了一个标准模型

24、库，假设对任x。U，有A1 , A2, Am，(即 m 个模型)，ko 1,2,m，使得 ko(x)那么认为Xo相对隶属于Ak。mk 1< A(X0)最大隶属原那么U 设论域U X1，X2， ,Xn上有一个标准模型Ao，待识别 的对象有n个，Xl'X2' ，Xn U，如果有某个Xk满足mAo(Xk) i 1 Ao(N)那么应优先录取Xk 。模糊模型识别中的择近原那么下面讨论的是第二类模糊识别问题。设在论域U Xl , X2 , , Xn上有m个模 糊子集A1 ' A2 '，Am，(即m个模型)，构成了一个标准模型库。被识别的对象B也是一个模糊集，B与Ai中

25、的哪一个最贴近？这就是一个模糊集对标准模糊集 的识别问题。因此，这里涉及到两个模糊集的贴近程度问题。(1) 贴近度的概念设论域U上的模糊子集A，B F(U)，称A B (1( a(x)b(x)x U为A, B的内积；称A B U( A(x) b(x)为A, B的外积定义1.12设论域U上的模糊子集a，B F(U)，那么称1o(A, B) -A B (1 A B)2为A, B的贴近度。可见，当o(A，B)越大(亦即A B越大，A B越小)时，A,B越贴近。(2) 单个特性的择近原那么设在论域U上有m个模糊子集A1，A2 , ,Am，构成了一个标准模型库 A1 , A2 ,A0为待识别的模型.假设

26、存在ko 1,2 ,，m，使得0 (Ak0 , A0)0 (Ak , Ag)那么称Ao与宀0最贴近，或者说把Ao归并到Ax。类(3) 多个特性的择近原那么设论域U上有两个模糊向量集合族A (AA，Am ) B (B1 ，B2，Bm)那么A，B的贴近度定义为m(A,B) i1 (A,Bi)由于实际问题的需要，为了解决两个模糊向量集合族的贴近程度问题, 创造了多种贴近度。现列举如下：(A1 ，A2，Am ) B(B1 , B2 ,人们，Bm)1)(A,B)mi1 (A，B)i 1?mm2)(A,B)ai (Aj , Bj)ai 1 i /，其中 ai0,1且 i 1ai1 ；? ?mm3)(A,B

27、)i 1aj (A，Bi)，其中 ai0,1且 i1ai 1 ；mm4)(A,B)i1ai(A，即，其中ai 0,1，且 i 1ai 1设论域U上有两个模糊向量集合族 那么A，B的贴近度也可定义为可以根据实际需要，应用不同的贴近度多个特性的择近原那么：设在论域U上有n个模糊子集A1，A2， ,An，构成了 一个标准模型库A1，A2， ，An。每个模型Ai由m个特性来刻画，即待识别对象即Ai (B1 , B2 ,Ai1 , Ai2 , ,Aim ，i 1,2, ,nsij1(Aij , Bj) ，(i1, 2,n)假设有 i0 1, 2,n ，使得si0i 1si,Bm 。 先求两个模糊向量集合

28、族的贴近度的最小值，那么认为 B 隶属于 Ai0最后介绍一下模糊模型识别与模糊聚类分析的区别。 在讲完模糊模型识别以后， 再回到模糊聚类分析， 读者可能会产生一种错觉， 以为模糊模型识别与模糊聚类分析都是分类问题， 没有什么差异。 实际上， 二者 是有差异的。模糊模型识别所讨论的问题是： 假设干模型，或者一个标准模型库 优 良的作物品种， 印刷体的阿拉伯数字等都是标准模型库 ，有一个待识别的对象， 要求我们去识别对象应属于哪一个模型，即哪一类。模糊聚类分析所讨论的对象是一大堆样本， 事先没有任何模型可以借鉴， 要 求我们根据它们的特性进行适当的分类， 因此，可以这样说， 模糊模型识别是一 种有

29、模型的分类问题，而模糊聚类分析是一种无模型的分类问题。但是，在对农作物病、虫害作预报时，往往是先进行模糊聚类，把它们分成 假设干类 即假设干标准模型 ，然后将待预报的因子进行模糊识别， 如果它分到危害 重的那一类，即可作病、虫害灾情重的预报，以便及时采取防治措施。由上可见， 由模糊聚类分析进行判别、 预测预报的过程， 实际上是模糊聚类 与模糊识别综合运用的过程。 这里的模型是在聚类过程中得到的， 恰恰为模糊识 别提供了标准模型库。 因此，从某种意义上说， 模糊聚类分析与模糊模型识别又 是有联系的。1.5 模糊综合评判方法 在实际工作中，对一个事物的评价 或评估 ，常常涉及多个因素或多个指标，

30、这时就要求根据这多个因素对事物作出综合评价， 而不能只从某一因素的情况去 评价事物，这就是综合评判。在这里，评判的意思是指按照给定的条件对事物的 优劣、好坏进行评比、判别；综合的意思是指评判条件包含多个因素或多个指 标因此，综合评判就是要对受多个因素影响的事物作出全面评价。综合评判的方法有许多种，这里介绍最常用的两种.1. 评总分法即根据评判对象列出评价工程，对每个工程定出评价的等级，并用分数表示。 将评价工程所得分数累计相加，然后按总分的大小排列次序，以决定方案的优劣。 例如，我国高考成绩的评分方法就是如此。总分一般表示为，nS Sji 1其中S表示总分，s表示第i个工程得分，n为工程数。2

31、. 加权评分法这种方法主要是考虑诸因素或诸指标在评价中所处的地位或所起的作用 不尽相同，因此不能一律平等地对待诸因素或诸指标。于是，就引进了权重的 概念，它表达了诸因素或诸指标在评价中的不同地位或不同作用。这种评分法 显然较评总分法合理。加权评分法一般表示为nE i iaiSi 1其中E表示加权平均分数，ai红1,2 , , n是第i个因素所占的权重，且要求ni 1ai 101n假设取权重3i -,那么由式EaiS求出的就是平均分。n° 1模糊综合评判方法1模糊综合评判的提法设U Us, ,Un为n种因素或指标，V V1，V2， ,Vm为m种评判，它 们的元素个数和名称均可根据实际问

32、题需要由人们主观规定。 由于各种因素所处 的地位不同，作用也不一样，当然权重也不同，因而评判也就不同. 人们对m种 评判并不是绝对地肯定或否认，因此综合评判应该是 V上的一个模糊于集B bib, ,bm FV其中bjj 1,2，m反映了第j种评判Vj在综合评判中所占的地位即Vj对模糊集B的隶属度：BVj bj。综合评判B依赖于各个因素的权重，它应该是Un上的模糊子集A，,3n FU，且i 1ai 1，其中ai表示第i种因素的 权重。因此，一旦给定权重 A，相应地可得到一个综合评判 B。1.模糊综合评判的一般步骤1) 确定因素集u U1，U2， ,Un；2) 确定评判集V V1，V2， ,Vm;

33、3) 确定模糊评判矩阵R (rj)nm ；首先，对每一个因素Ui做一个评判f (Ui) (i 1,2， ，n),那么可以得u到V的 一个模糊映射f，即f ：U F(V),山f(uj (MG, ,rm) F(V)然而，由模糊映射f可以诱导出模糊关系Rf F(U V)，即Rfgy) f(Uj )(Vj) rj (i 1,2, ,n ; j 1,2,m)因此，可以确定出模糊评判矩阵 R (rj)nm。而称(U，V，R)为模糊综合评判 模型，u ,V,R称为该模型的三要素。4) 确定权重集A (a1 , a2 ,，办)F(U)；关于评判集V的权重A (a1 , a2 , ,an)确实定，通常情况下可以

34、由决策人凭 经验给出，但往往带有一定的主观性。要从实际出发，或更客观地反映实际情况， 可采用专家评估、加权统计法和频率统计法，或更一般的模糊协调决策法、模糊 关系方程等来确定。4)综合评判。模糊综合评判B是V上的模糊子集BARan) F(U)借助权重集A与模糊评判矩阵R的合成运算，可得模糊综合评判B，一般有 以下四种模型运算。模型M(,)法(主因素决定型)：对于权重A (a1,a2 模糊评判矩阵为R (rj)nm，那么用模型M(,)运算得综合评判为BAR (b1,b2,bm) F(V)n6 怡 G j 1,2, ,m由于i 1，对于某些情况可能会出现ai rj，即ai rj ai。这样可能导i 1致模糊评判矩阵R中的许多信息丧失，即人们对某些因素 Ui所做的评判信息在因此对权系数ai加以修决策中未得到充分的利用。从而导致综合评判结果失真。 正，即n3i nai /mai