专题05二次函数背景下的特殊三角形存在性判定(原卷版)

1、战2019年中考数学压轴题之二次函数专题05二次函数背景下的特殊三角形存在性判定【方法综述】特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题分为固定边的 三角形计算与判定和三角形的分类讨论。直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并以此为条件利 用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆周角是直角的性质或其逆定 理。等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段为腰时，为了 找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由 勾股定理或

2、相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某一条边为等腰三角形的底边是，往往所求 第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质以构造方程，以 解决问题。【典例示范】类型一固定边的直角三角形判定（1）求这个抛物线的解析式；（2） 设（1）中的抛物线与X轴的另一个交点为 C,求出点C的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点E,使厶BCE是以BC为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点E （不写画法，保留作图痕迹）；若不存在，说明理由；（3）点P是直线BC上的一个动点（P点不与B点和C点重合），过点P做X轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上， 距离点P为一

3、个单位长度，设点 P的横坐标为t，APMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。针对训练1.在平面直角坐标系中，抛物线'与 轴的两个交点分别为A （-3，0）、B （ 1，0），过顶点C作CH丄X轴于点H.（1） 直接填写： =，b=,顶点 C的坐标为；（2） 在'轴上是否存在点D ,使得 ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）若点P为X轴上方的抛物线上一动点（点 P与顶点C不重合），PQ AC于点0，当厶PCQ与厶ACH相似时，求点 P 的坐标.-3).(1) 求抛物线的解析式；(2) 点P为对称轴右侧抛物线上一点，以 BP为斜

4、边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标.Vl3.如图，已知直线 y= x+2交X轴、y轴分别于点A、B,抛物线y = ax2+bx+c (a0的对称轴为直线 X= 过A、B两点，交X轴于另一点 C .(1) 求抛物线的解析式；(2) 点M是抛物线X轴上方一点， MBA = CBO ,求点M的坐标；-I-Z-且抛物线经(3)过点A作AB的垂线交y轴于点D ,平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结E0、FO .若 EFo为以EF为斜边7V IUl I、的直角三角形，求平移后的直线的解析式.4.如图，已知直线 y= x+2交X轴、y轴分别于点A、B，抛物线y = ax2+b x+

5、c (a0的对称轴为直线 X= 过A、B两点，交X轴于另一点 C .(1)求抛物线的解析式；-I-Z-且抛物线经(2)点M是抛物线X轴上方一点, MBA = CBO ,求点 M的坐标;21(3)过点A作AB的垂线交y轴于点D ,平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO .若 EFo为以EF为斜边(1 , 1)两点.(1) 求该抛物线的解析式；(2) 阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线H:y = ki+bi( ki,bi为常数，且ki0 ,直线12：y = k2+b2(k2,b2为常数，且k20,若|1丄|2,贝U ki? = i.y = mx+2互相垂直，则 m的值是 ;使得 P

6、AB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理解决问题： 若直线y= 2x- 1与直线 抛物线上是否存在点 P,由;(A、B),抛物线的类型二固定边的等腰三角形例2.在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A (- 1, 0), B (4, 0), C (0,- 4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 是否存在点 卩，使厶POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3) 在抛物线上是否存在点D (与点A不重合)使得 SADBC = SAABC ,若存在，求出点 D的坐标；若不存

7、在，请说明理备用囹y=+x+2一与X轴交于A、B两点，交y轴于点C,点C关于抛物线对称轴针对训练1如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称点为点D.求线段AC的长度；(2)P为线段BC上方抛物线上的任意一点，点E为(0, 1), 一动点Q从点P出发运动到y轴上的点G ,再沿y轴运动到点AE.当四边形ABPC的面积最大时，求 PG+GE的最小值；将线段AB沿X轴向右平移，设平移后的线段为 A'B',直至A'P平行于y轴(点P为第2小问中符合题意的P点),连接直 线CB'.将 AOC绕着0旋转，设旋转后 A、C的对应点分别为 A''、C',在

8、旋转过程中直线 A''C'与y轴交于点M ,与线段 CB'交于点N .当 CMN是以MN为腰的等腰三角形时，写出 CM的长度.jC卜 *Ca/A>0J OAtEE/圉1/U2积，若不存在，请说明理由C (0, 3).试确定实数p, q的值，使得当p xq P y(1) 求抛物线的解析式；(2) 点P为对称轴右侧抛物线上一点，以 BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标.X轴交于点 A(-3，0)、B (1, 0 )，顶点为C.(2) 如图，过B、C两点作直线，并将线段 BC沿该直线向下平移，点B、C分别平移到点D、E处.若点F在这个

9、二次函数的F的坐标;图象上，且 DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形类型三直角三角形的分类讨论 例3：如图，在平面直角坐标系中，一抛物线y= - a(x+1)(x - 3)( a>0)与X轴交于A、B两点，与y轴交于点C.抛物线的对称轴与X轴交于点E ,过点C作X轴的平行线，与抛物线交于点D ,连接DE ,延长DE交y轴于点F ,连接AD、AF .(1) 点 A 的坐标为 ,点 B的坐标为 ;(2) 判断四边形ACDE的形状，并给出证明；(3) 当a为何值时， ADF是直角三角形？yC/1 , > 严 针对训练Jfi + 1（k>0）与y轴交于点 F，与抛物线D，连接CF，D

10、F，请你判断 CDF的形状，并说明理由.相交于A, B两点，过点 A, B分别作X轴O1 .如图，动直线 y= kx+2的垂线，垂足分别为点C，（1）若抛物线的解析式为 y=- 求点M、N的坐标； 是否存在点P,使四边形MNPD为菱形？并说明理由;（2）当点P的横坐标为2时，是否存在这样的抛物线，使得以 条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.B、P、D为顶点的三角形是直角三角形？若存 在，求出满足2 .如图，已知直线 y=-X+4分别交X轴、y轴于点A、B,抛物线过y = ax+bx+c与X轴交于点A，B ,点A的坐标为（-1, 0）,与y轴交于点C （ 0，2），点D与点CP的坐标为（

11、m, O）,过点P作X轴的垂线I交抛物线于点Q,交直线+bx+c经过A , B两点，点P是线段AB上一动 点，过点P作PCX轴于点C,交抛物线于点 D.2x2+x+4 ,设其顶点为 M ,其对称轴交 AB于点N .3 .如图，已知抛物线 y=-关于X轴对称，点P是X轴正半轴上的一个动点，设点 BD于点M .求该抛物线所表示的二次函数的表达式；(1)(2)若 m = 3,3）已知点F一1 一 2 一O,是直角三角形；m为何值时，四边形 DMQF是平行四边形?RP/dC K JTA, B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与X轴交于H点，分别以OC、(1) 求直线AC的解析式；(2) 如图2，P为直

12、线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M ,当四边形AOCP面积最大时，求IPM - OMl 的最大值.(3)如图3，将厶AOC沿直线AC翻折得 ACD ,再将 ACD沿着直线AC平移得 A'C'D'.使得点A'、C'在直线AC上，是否存在这样的点D',使得 A'ED '为直角三角形？若存在，请求出点 D'的坐标；若不存在，请说明理由.5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2+bx+4与X轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点 D ,且3OC = 4OB，对称轴为直线X =

13、GI,点E叵画，连接CE交对称轴于点F ,连接AF交抛物线于点G.图匱(1)求抛物线的解析式和直线CE的解析式;(2)如图，过E作EP丄X轴交抛物线于点P,点Q是线段BC上一动点，当QG+LQB最小时，线段MN在线段CE上移动，点M在点N上方，且MN,请求出四边形 PQMN周长最小时点N的横坐标;(3)如图，BC与对称轴交于点 R,连接BD ,点S是线段BD上一动点，将 DRS沿直线RS折叠至 D'RS,是否存在点S使得 D'RS与厶BRS重叠部分的图形是直角三角形？若存在，请求出BS的长，若不存在，请说明理由.(参考数据：tanDBC = I6.已知：如图，一次函数y=Ux+

14、1的图象与X轴交于点A,与y轴交于点B ;二次函数yx2+bx+c的图象与一次函数 的图象交于B、C两点，与X轴交于D、E两点且D点坐标为（1, 0）（1）求二次函数的解析式;（2）求四边形BDEC的面积S；（3） 在X轴上有一动点P,从O点出发以每秒1个单位的速度 沿X轴向右运动，是否存在点 P使得 PBC是以P为直角顶 点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由.（4） 若动点P在X轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿X轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点 Q以 每秒a个单位的速度沿射线 AC运动，是否存在以 A、P、Q为顶点的三角形与 ABD相似，

15、若存在，求 a的值，若不存在，B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，- 3），点D为顶点，连结 BC、BD、CD.（1）求抛物线的表达式；试判断 BCD的形状，并说明理由.ZX2+y连接BD .52X-3与X轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，9.如图1,在平面直角坐标系中， 抛物线连接AC、BC，点D（0，2日）在y轴上，（1）请求出直线AC、BD的解析式；（2） 如图1 ,点P为第三象限内抛物线上一动点，过点 P作PE/ y轴交直线AC于点E,连接OE .当 AOE= BDO时， 点M为直线X轴上一点，点N为y轴上一点，连接EM、NP ,当四边形MNPE周长最小时，请求出点

16、 N的坐标并直接写出 此时四边形MNEP的周长；（3）如图2,在（2）的结论下，连接 OP,将厶OEP绕点O旋转，点E旋转后对应点为E1 ,点P旋转后对应点为 P ,直线E1P1与y轴交于点F,与直线BD交于点Q.在旋转过程中， DQF能否为直角三角形，若能，请求出DF的长度；若不能，请说明理由.10 如图，直线与抛物线分别交于点 A、点B ,且点A在y轴上，抛物线的顶点 C的坐标为1)(1) 求抛物线的解析式；(2) 点P是线段AB上一动点，射线匝回轴并与直线BC和抛物线分别交于点 M、N ,过点P浦陀丄诃轴于点E ,当PE与 PM的乘积最大时，在y轴上找一点Q，使IPQ-CQI的值最大，求

17、Q-CQII的最大值和此时Q的坐标；(3)在抛物线上找一点 。，使厶ABD为直角三角形，求 D点的坐标.图1S2I备用團类型四等腰三角形的分类讨论例4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax2+bx- 3交X轴于点 A(3，0)、B (1，0)，在 y 轴上有一点E （0， 1），连接AE.(1) 求二次函数的表达式；(2) 若点D为抛物线在X轴负半轴下方的一个动点，求 ADE面积的最大值；(3) 抛物线对称轴上是否存在点卩，使厶AEP为等腰三角形？若存在，请直接写岀所有P点的坐标；若不存在，请说明理针对训练1.如图，已知二次函数y= ax2+bx - 3a经过点A ( - 1，0)，

18、C (0，3)，与X轴交于另一点B ,抛物线的顶点为 D.(1) 求此二次函数解析式；(2) 连接DC、BC、DB ,求证： BCD是直角三角形；(3) 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使得 PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在,终点冏运动.作Mef二砧与边国求动点LJ从点LJ出发沿线段 丄向终点运动的过程中点LJ的运动路线长.2 .如图，二次函数y= ax2+bx+4的图象与X轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C,点A的坐标为(2, 0), 它的对称轴是直线 x=- 1.(1) 直接写岀点B ,点C的坐标.(2) 求这个二次函数的解析式.(3)

19、若点P在X轴上，且 PBC为等腰三角形，请求岀线段 BC的长并直接写岀符合条件的所有点P的坐标.,点：为I边上一点， 且AD=3cm ,动点因从点间出发沿线段回向相交于点L.找出图中的一对相似三角形，并说明理由；当"为等腰三角形时，求的长；4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与X轴交于A, B两点，与y轴交于点C,直线I经过坐标原点 0,与抛物线的一个交点为 D ,与抛物线的对称轴交于点E,连接CE ,已知点A , D的坐标分别为(-2, 0) , (6, -8).(2)若点P是y轴负半轴上的一个动点, 是等腰三角形.(1)求抛物线的函数表达式，并分别求岀点B

20、和点E的坐标；设其坐标为(O, m),直线PB与直线I交于点Q,试探究：当m为何值时， OPQIVt)叭1 X¥5 .已知抛物线(1) 将该抛物线向上平移 2个单位，分别交X轴于A、B两点，交y轴于点C,则平移后的解析式为 _ .(2) 判断 ABC的形状，并说明理由.(3) 在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不-3, O),与y轴交于点C,点D (-2, - 3)在抛物线上.(1)(2)(3)求抛物线的表达式；抛物线的对称轴上有一动点 P,求出 若抛物线上有一动点 M ,使 ABMQ,PA+PD的最小值；的面积等于

21、 ABC使得 BCQ为等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.的面积，求M点坐标.7.在平面直角坐标系中， 经过点丄，与抛物线交于另一点(1) 求抛物线与直线的解析式；(2) 如图1,若点 是轴下方抛物线上一点，过点作*于点,过点乍 轴于点 回，国为直线囤 上一点，且 逊=2、TPQl.点D为第四象限内一点，且在直线I = P/J - -P(i24 £二次函数.的图象与LJ轴交于LL _两点，与LI轴交于点Ll,直线阿已知(疋=20外PD = JOAl.j = kx + -( 0)4-5过点作上方，连接、二、丄.记轴交抛物线于点,; J .当N取得最大值时， 求岀点

22、_的坐标，并求岀此时(3)如图2,将点一沿直线 连接、一，再将 沿直线 翻折为 为等腰三角形时，请直接写岀点 匚I的坐标.方向平移13个长度单位到点(点Ll的最小值.凹乍匝马轴，交抛物线于点应!动点囚为M轴上一点,过点_、_、在同一平面内)，连接、二、，当二*rJ(1 ,8.如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c (a0经过 A个单位/秒的速度向终点 O运动，过点D作OC的垂线交(1) 求此抛物线的解析式；(2) 小明在探究点D运动时发现，当点D与点C重合时，EF长度可看作O;当点D与点O重合时, 作O,于是他猜想：设点 D运动到OC中点位置时，当线段 EF最长，你认为他猜想是否正确，为什么？

23、 CDF为等腰三角形时所有t的值.0)、B (3, 0)、C (0, 3)三点.点 D 从 C 出发, BC于点E,作EF/OC ,交抛物线于点 F.沿线段Co以1EF长度也可以看9 .如图，已知二次函数ax2+bx+c的图象与X轴相交于(1) 求这个二次函数的表达式并直接写岀顶点坐标；(2) 若P是第一象限内这个二次函数的图象上任意一点, t 求线段PM的最大值； S PBM ： S MHB = 1: 2时，求t值； 当 PCM是等腰三角形时，直接写点 P的坐标.A (- 1 , 0) , B ( 3, 0)两点，与y轴相交于点C (0, 3)PH丄X轴于点H ,与BC交于点M ,连接PC.设点P的横坐标为(1 , 0), B (4,