中学数学圆锥曲线中向量共线问题的处理套路

1、锥曲线中向量共线问题的处理套路A、B三点共线，形如【前言】首先要了解在圆锥曲线中向量的一些基本形式：(1)单一共线型AP = XPB混合共线型PA = PQ,PB = PQ (3)点在曲线上亦=入刃+ p西( +=l H , M30M=QA+ 203),接下来从圆锥曲线的套路出发，结合向量的一些基本形式，探讨一下圆锥曲线中向虽的处理 套路。套路一参数转化为两点的纵标之比或横标之比此策略主要解决单一共线型，用三角形相似结合韦达定理将参数转化为两点的纵标之比或横标之比【例题1】如图所示，已知圆c：(x+l)2+y2=8,定点(l,0), M为圆上动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM = 2

2、AP, NPAM=O,点N的轨迹为曲线E(1) 求曲线E的方程(2) 过定点F(0,2)的直线交曲线E于不同的两点G、HJ点G在点F、H之间),且满足FG = FH , 求九的取值范围。【分析】求九的取值范围，突破口在于将FG = XFH转化为九二巴，可以直接用向量转化，也可以用 三角相似转化。下一步关键在于如何将九和£联系，处理策略是(Al+AZ)-= + - + 22Y这样就建立了九和比联系，再利用k的取值范围就能求出的范围。【简析】(1) AM' = ?/!/,丽丽=0.WP为AM的垂直平分线，.N4 = NMXVlC/V+WI = 22, ：.CN+7V = 22&g

3、t;2动点N 的轨迹是以点C(-l,0), 4(1,0)为焦点的椭7圆，且椭圆长轴长为2t = 22 ,焦距2c = 2," = Qc = W = I。曲线E的方程y + y2=lo(3) 当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y = oc+2 ,代入椭圆方程+ /=1 ,得2* + X Jx2 +46 + 3 = 0 ,3曲 zl>0得 k2 > - o 设 G(XPyI)9(x2,y2),2一欧小、36“、X1 += =T ( I)T x.x9 = = (2) 丄+ f 1 + 2L- l + 1 + 2L2 2T FG=XHi(XPyl -2) = (x2,y2 -

4、2) A XI =x2,. =323+216l<<3,v<<l.l<<l3 33,23,3216 IC =2 3丄 + 23 :U2又当直线HG余斗率不存在方程兀=0,Fc = *77/,九=* ,*九<1,九e*,lj【练习】抛物线C:y2=4x, F是C的焦点，过点F的直线C相较于A、B两点。（1）设个的斜率为1，求丙与面夹角的余弦值;（2）设FB = XAF ,若4,9,求£在y轴上截距的变化范围。【评析】此策略本质上还是韦达定理得应用，关键在于用三角形相似将参数与坐标之比联系起来。 一般有如下处理：若用三角新相似等到x1=U,即九=H

5、 ,则利用韦达定理得到两根之和与两根之积，X2得到出叮_ =九+丄+ 2 （或巴+ r = Jl=（召+" _2XrD ,然后将九代入即可），对于纵标也 xx2X2 XA XxX2X1X2可以如此处理。套路二利用韦达定理进行整体代换把所求的量用两根之积与两根之和表示，然后利用韦达定理整体代入进行计算、化简。【例题2】设椭圆C:二+ = l（>b>O）的离心率e =丄，圆X2 + /=-与直线- + -=1相切（O为 Cr Ir27a b坐标原点）。（1）求椭圆C的方程；（2）过点0（T,O）任作一直线交于椭圆C于M , N两点，记雨O =入师，若在线段MN上取一点/?,

6、使得硕=-九丽，试判断当直线运动时，点/?是否在某一定直线上运动？若是,请求出该定直线方程; 若不是，请说明理由。【分析】先利用MQ = XQN ,把九用心禺表示出来即=Ai ,然后将 = -A±l代入到MR = -TJrn x2 +4X2 +4中，然后将/?的横标算出来，用x1x2, x1+x2表示，最后利用韦达定理代入即可。*> >【简析】（1）椭圆方程为 + y = lo （2）直线MN的斜率必存在，设其直线方程为y = UX+4）, 十'_ 并设M(j,>) V(x2,y2),联立方程43，消去 y 得(3 + 4P)X2+32Zr2x + 64Zr

7、-12 = O 则y = k(x + 4)zl=144(l-42)>0,x1 +x2 = ,xl 2上， 由 MQ=XQN , 得-4-x1 =入(2+4)故设点R的坐标为(X(Pyo)，3 + TKS + TK则由 MR = -XRN ,得 )-XI=-(x2-x0),解得(此处，同学会问，我怎么会想到此问题转化为求/?的X1 +4 x1-U2 _ Al x2+4°2 2x1x2+4(x1+x2)1 J + A' ÷4(XI+兀)+ 8X2 +4横标呢，这就属于点在直线上的套路了)X 2x1x2 +4(x1 +x2) = 2×64Zc2-12 彳

8、一32 疋3 + 4 疋 * X3 + 4F-24"3+4F(Xl +x2) + 8 =-32”3 + 4F8=i-?1=-1故点R在定直线 = -l±o【练习】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在X轴上，它的一个顶点切好是抛物线y = x2的焦点,离心率为芈。(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C右焦点作直线£交椭圆C于A, B两点, 交 y 轴于 M 点，若 MA = lAF , MB = X2BF ,求证：1+2=-10 (提示A C XlX7 2(x1 +x.)-2xix7 1+, = +=)2-xl I-X2 4-2(x +x2 +xx2【评析】直线与曲

9、线方程联立利用韦达定理，把两根之和，两根之积整体代入相应的表达式中进行 计算与化简，这是最常见的套路，关键在于把研究的问题转化到坐标上来，与韦达定理挂钩。套路三紧扣点在曲线上利用曲线方程及相关的表达式进行整体代换此套路也是我们经常用的利用点的坐标系解决圆锥曲线问题。若点P能够用曲线上的两点A , B 表示(或能用已知点表示)，如果点P在曲线上，则将点P的坐标表达式代入曲线方程，如果点P不 在曲线上，则必须把点P的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理，最后将曲线方程以及相关 的式子整体代入。*> 1【例题3】设椭圆C:务+右=l(d>b>0)过点m(,1),且着焦点为 (-2

10、,)(1) 求椭圆C的方程；为二(2) 当过点P(4,l)的动直线£与椭圆C相交于两不同点A , B时，在线段AB ±取点Q,满足 网国IT码*|丙|，证明：点。总在某定直线上【分析】先把网国卜驱H岡转换成向量形式，利用向量关系把A, B两点的坐标用P, Q两点的坐标表示出来，抓住A, B在曲线上，将A, B两点的坐标表达式分别代入曲线方程中，然后进 行整理，整体代式，化简等，问题也随之解决。【简析】(1) 题意:解得宀4八2,所求椭圆方程疙+首“机PBAQQB且 设Qay), A(XPyI), BCW2)，由题设,网W 码国|均不为零。XP, , Qy B 四点共线，可设

11、P = -A, PB = -BC(O,±l),于是4- l-y 八、4 + rl + y “、Xl=J=-(1)坨=,”=-(2)l- l- l+ l+由于A(xp>'1), B(X2*2)在椭圆C上，将(1), (2)分别代入C的方程+2 =4,整理得 (x2+2y2-4)2-4(2x + y-2) + 14 = 0 (3)(x2+2y2-4)2+4(2x+y-2)+14 = O (4)由(4) 一 (3)得8(2x+y-2)九=0V0 2x+y-2 = Q即点C(XOT)总在定直线2x+y-2 = 0±o【例题4】设动点P满足可5 + 2师,其中M, N是

12、椭圆Cp戶上的点，直线OM与ON的斜率之积为-丄，求点P的轨迹方程2【分析】利用向量关系把点P的坐标用M, N两点的坐标表示出来，由于P不在曲线上，所以把点 P的坐标表达式构造成曲线方程的形式进行处理，最后将曲线方程以及相关的式子整体代入。【简析】设点 P(X,y)' M(AIj), N(x2iy2),由 OP = OM+20N 得 <：二二 J 乂彳+2>f=4,X； + 2)弓=4 且 koM 気=-BP AT1X2 + 2y1y2=0X卅 +2y； =(XI +2x2)2 +4(X +2y2 =(# +2y：)+4(x； +2y； )+4(XlA +2必旳) = 2019故点P的轨迹为"【练习】1.已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在X轴