2022年线性代数各章知识点概述2

1、1线性代数辅导东南大学数学系2006 年 11 月目录精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - -2第一部分行列式第二部分矩阵的运算第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分线性方程组第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分实对称矩阵和二次型第八部分空间解析几何第一部分行列式一定义精品学习资料 可选择p

2、 d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - -31定义设ijn naa，则121212(,)12,( 1)nnni iiiiniiiiaa aa是!n项代数和；不同行，不同列；正、负号。【例1】32241342a a a a是不是 4 阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？不是【例2】512312123122xxxxxx中34,xx的系数。345,10 xx2注： （

3、1）. 对角线法则一般地不再成立。举例。（2）. 记住上、下三角阵的行列式。二性质1 性质（1） 行列式的基本性质；（2） 按行（列）展开；（3） 乘法定理。2 需记住的结果：（1）vandermonde行列式；（2）分块上、下三角阵的行列式。3 例：【例3】 已知3 3123a，3 3122323232b，2a，求b。1232312321327277714ba【例 4】已知120200561 ,350350461ab。求31a b。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料

4、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - -44 注：（1） 矩阵的加法、数乘之后的行列式；（2） 容易出现的错误：1103272537212rr；*0*07/2,7253722112rrrr; （3） 分块矩阵的行列式 . 三计算1 典型方法：（1）化成低阶行列式；（2）化成三角形行列式。2 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。3 例【例 5】13141516；【例 6】2013312102312314；【例 7】12341111111111111111，1234,均不为零；【例 8】111222

5、aannna；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - -5【例 9】123112211132345122341nnnnnnnnnn；【例 10】nabbcabdcca；第二部分矩阵的运算一矩阵的乘法1运算规律【例 1】1221230101，312012，312102，312 102n。【例 2】假设e是n维非零列向量，taeee。证明：a是对称

6、矩阵，且21taae e。2应当注意的问题（1）矩阵记号与行列式记号的差别；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - -6（2）单位矩阵（用e或i表示）的每个元素都等于1 吗？ 不是（3）矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；【例 3】01010n。【例 4】s na满足满足什么条件时，由abac就能推出bc？s nr an（4）矩阵乘法

7、不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。【例 5】平方差公式。【例 6】二项式定理。【例 7】设100100a，求na。【例 8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵？不一定，任意方阵与单位阵都是可交换的。二可逆矩阵1可逆的条件（1）行列式不为零；（2）秩等于阶数；（3）存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵；（4）特征值全不为零。2逆矩阵的计算精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 27 页

8、 - - - - - - - - -7（1）利用伴随矩阵：一般只对低阶矩阵，如二阶矩阵用这种方法。但要注意二阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。（2）利用初等变换：要注意避免过繁的运算。【例 9】求矩阵的逆矩阵321230312a3重要性质，如（1）可逆矩阵肯定不是零因子；（2）11aa；（3）对于方阵a，若存在矩阵b使得abe，则a是可逆的，且1ab；（4）111()abba。【例 10】已知3ao，证明ea是可逆的，并求其逆。【例 11】已知223aaeo。（1）证明：a可逆，并求1a；（2）2ae可逆，并求其逆；【问题】 ：假设n阶矩阵a满足223aaeo。证明矩阵a及ae均可逆，并分别求1a

9、及1()ae；证明：若ae，矩阵3ae肯定不可逆。4伴随矩阵（1）定义；如求矩阵abacd的伴随矩阵（2）*aaa aa e；（3）若a可逆，则*1aa a。【例 12】已知123a，求*a。【例 13】假设2n，证明1*naa。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - -85矩阵方程各种类型的矩阵方程，正确化简成标准形式，正确求解。标准形式的矩

10、阵方程的求解可以先求逆矩阵，再求乘积得解，或直接有初等变换求解。可以进行验算！【例 14】设矩阵210120001a，矩阵b满足*2ababae，求b。三矩阵的分块运算（1）分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的：小矩阵间的运算要有意义，或左边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致1112111221222122aabbabaabb；110000kkknnaaaa；【例 15】求1000100n。【例 16】已知矩阵aomcb，其中,b c是可逆矩阵，求1m。（2）注意：不能滥用分块。如：行列式；伴随矩阵等。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

11、 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - -9第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩一概念（1）讨论什么问题可以用初等行、列变换。有时只能用行变换，不能用列变换；求相抵标准型要同时用初等行、列变换。解方程组，求逆矩阵，求极大无关组都只能用初等行变换，不能用列变换。（2）行向量组等价的矩阵一定是等价的。等价的矩阵的行向量组等价吗？等价的矩阵的行向量组不一定等价，因为等价的矩阵可能做了初等列变换。【例】讨论矩阵的秩12312323kakk二

12、初等变换与矩阵乘法（1）初等变换与初等矩阵的乘积；【例 2】已知4 4a可逆，交换其第一、三两行的得矩阵b，求1ab。（2）矩阵的等价标准形reooo；（3）若()s nr ar，则一定存在可逆矩阵,s sn npq，使得reoapqoo。【例4】证明矩阵的满秩分解定理，分解成秩为1 的矩阵的和。（4） 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，解矩阵方程。三矩阵的运算与秩精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

13、第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - -10 （1）()()tr ar a（2）()()( )r abr ar b（3）()( ), ()r abr ar b（4）()()()s nn tr abr ar bn（3）若s nn tabo，则( )()r ar bn【例 4】假设n na满足2ae，证明：()()r aer aen。【例 5】假设a是sn矩阵，且()r an。若axay，则必有xy。【例 6】假设2n，a是nn矩阵。证明*,( )()1( )10,( )1nr anr ar anr an如果，如果如果。第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩一什么叫线性相关、线

14、性无关？什么叫向量组的极大无关组，秩？重要结论。（1）定义；（2）简单性质：含零向量的向量组一定线性相关等；两个向量线性相关当且仅当其分量成比例；问题：如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例，是否线性无关？不一定，可能有某一行可以由其他两行线性表示。（3）向量组的秩与矩阵的秩的关系；（4）定理：2s时，12,s线性相关存在某个j使得j可以由其余1s个向量线性表示。（5）定理：若12,s线性无关，12,s线性相关，则可以由12,s线性表示。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - -精

15、品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 27 页 - - - - - - - - -11 （6）定理：若12,t可以由12,s线性表示，且ts，则12,t线性相关。（7）定理：12,s线性无关12(,)srs。（8）定理：假设向量组12,s线性无关，并且1122jjjsjskkk，1js记ijs skk。则12,s线性无关k可逆；二如何判别？（1）线性表示，线性相关性【例 1】设向量1124t，t5122，3210ta，tcb1. 问：当参数cba,满足什么条件时1能用321,线性表示？2不能用321,线性表示？【例 2】已知向量

16、组321,，321,之间有关系：,211322，133证明：321,肯定线性相关 . 【例 3】求k，使得向量组1231122 ,2 ,123k线性相关。【例 5】设t,21是齐次线性方程组ax的线性无关的解向量，不是其解向量。证明：t,21也线性无关 . 【例5】 设321,线性无关，112,k223l，331。问：,k l满足什么条件时123,线性无关？（2）极大无关组和秩定理：如果12,t可以由12,s线性表示，则12(,)tr12(,)sr定理：如果12(,)srr，则12,s中任意r个线性无关的向量都是其精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - -

17、- - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - -12 一极大无关组。【例6】 若向量组110,12,101321k，则当参数k取什么值时，321,线性相关；这时求这个向量组的一个极大无关组。【例7】 求给定向量组的极大无关组（3）注意辨别对错【例 7】若12,s线性相关，则1可由2,s线性表示？错，不一定【例 8】若有全为零的数12,sk kk使得1122sskkk，则12,s线性无关。错，不一定三向量空间第五部分线性方程组

18、一解的存在性、唯一性s naxb（1）s naxb有解( )()r ar ab；（2）若()()r ar abr，则s naxb有唯一解rn；（3）若()()r ar abrn，则s naxb的通解中含有nr个自由未知量。二解的结构123451102,2111,1213,1 122,1012ttttt精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - -

19、-13 （1）齐次线性方程组s nax有非零解的充分必要条件是( )r arn。a解的结构b若()r arn，则s nax的基础解系中含nr个解向量；c若()r arn，则s nax的任意nr个线性无关的解向量都是基础解系（2）非齐次线性方程组s naxb的解的结构三cramer法则，gauss消元法与通解的表达注：cramer法则只适用于方程个数与未知量个数相同的情形；用 gauss消元法求解只能对增广矩阵作初等行变换, 不能作列变换；通解有两种形式：用自由未知量表示；用向量形式表示。四例【例1】 求齐次线性方程组的基础解系123451234512345022330330 xxxxxxxxx

20、xxxxxx将系数矩阵化成行简化阶梯形矩阵，求通解，写出基础解系。【例2】 讨论解的情况并求基础解系121212(1)02(2)20()0nnna xxxxa xxnxnxnn x【例3】 问：当参数去什么值时，齐次线性方程组有非零解，有非零解时求通解12341234123412343521412307107xxxxxxpxxxxxxxxxxq【例4】 讨论解的情况并求解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - -

21、- - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - -14 123123123101xxxxxxxxx【例5】 设12,是齐次线性方程组ax的基础解系，12,线性方程组axb的特解。12,k k表示任意常数。则axb的通解是（1）11212121()()2kk（2）11212121()()2kk（3）11212121()()2kk（4）11212121()()2kk【例6】 已知12,s是齐次线性方程组ax的基础解系，1112221223121,sstttttt问：当12,t t取何值时，12,s也是ax的基础解系。【例7】 假设3 3()2r a，12,是axb的解，且1

22、2112，1233221。求ax b的通解。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - -15 第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量中心问题是矩阵的相似对角化问题。一矩阵的特征值、特征向量的概念和简单性质1计算：先求特征多项式，再求根，再解齐次线性方程组的非零解【例1】求矩阵001010100a的特征值和特征向量。2特征多项式和迹假设ijn

23、 naa。则ea是n次多项式，首一的，且11122()( 1)nnnnneaaaaa称1122nnaaa为a的迹，记为()tr a。3特征值的性质（1）如ijn naa的特征值是12,n，则12( )ntra，12na（2）a可逆特征值均不为零。 如果a可逆，0是a的特征值，则10是1a的特征值；（3）假设( )f x多项式，0是a的特征值，则0()f是()f a的特征值；（4）设( )f x是a的化零多项式，则a的特征值均是( )f x的根。【例 2】假设a是 3 阶方阵，2 ,2,2aeea ae均不可逆，求a。【例 3】假设2aa，证明：a的特征值只能是 0 和 1。注：错误做法：因为0

24、a ea，则0a或0ea。若0a，则 0是a的特征值，若0ea，则 1 是a的特征值。二相似矩阵及矩阵相似的必要条件精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - -16 定义：矩阵的相似。定理：若矩阵a与b相似，则eaeb，且a与b有相同的特征值、迹、秩、行列式。【例 4】已知矩阵11111aaabb与012b相似，求,a b。解：a，b相似，则

25、 |a|=|b|=0 。化简可得 |a|=(a-b)2=0, 所以 a=b。另外， a，b相似， a的特征值也为 0，1，2。当 =1时，|i-a|=-2ab=0 。所以 a=b=0。注：1. 逆命题不成立 2.课程中没有介绍“充分条件” ，除非对矩阵加了特定的条件（如实对称等） 。【例 5】 若a与b之一可逆，证明：ab与ba一定相似。【例 6】 若1a与1b相似，2a与2b相似，证明：12aa与12bb相似。三矩阵可相似对角化问题注：并非每个矩阵都相似于对角阵。如01010定理：nn矩阵a相似于对角阵a有n个线性无关的特征向量。定理：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。【例 7】如：1

26、23045006肯定相似与对角阵。如：1001有重特征值，但相似于对角阵。定理：如果12,s是矩阵a的互不相同的特征值，12,iiiik是a的属于i的特征向量，则11112112,sksssk线性无关。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - -17 【例 8】假设ijn naa是上三角矩阵。证明（1）如果1122,nnaaa互异，则a一定相

27、似于对角阵；(此时， a有n个不同的特征值1122,nnaaa，所以有n个线性无关的特征向量。) （2）如果1122,nnaaa全相等，而a不是对角阵，则a肯定不相似于对角阵。（此时， a的n个特征值相同，且0.iriannnn）定理：nn矩阵a相似于对角阵对于a的s重特征值，a有s个线性无关的特征向量。【例9】 假设1114335axy相似于对角阵， 2 是一个二重特征值。求, x y及可逆矩阵p，使得1p ap是对角阵。【例10】已知矩阵12314315aa的特征方程有一个二重根。求参数a的值，并讨论a是否可相似对角化。注：2(2)(8183 )eaa。因此，若 2 是两重根，则2a，此时

28、，特征值为2，2，6。可以证明，这时，可以相似对角化。若 2 不是两重根，则28183a为完全平方，从而可以解得23a。可以证明，这时不可以相似对角化。【例11】设nn矩阵a满足2aa。证明：（1）a相似于reooo；（2）()( )tr ar a。四同时对角化问题、矩阵相似对角化的应用精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - -18 【例1

29、2】设nn矩阵a有n个互不相同的特征值，且abba。证明：存在可逆阵p使得1p ap，1p bp均是对角阵。【例13】设3222a。求na。第七部分实对称矩阵和二次型应当注意，讨论二次型与讨论实对称矩阵本质上是同一回事。一内积、schmidt 正交化方法和正交矩阵1 内积和正交性定义：n维向量的内积（可以用矩阵的乘积表示）,t正交长度，单位向量，单位化正交向量组定理：正交向量组是线性无关的。【例1】已知向量组321,线性无关，非零向量与321,中每个向量正交。证明：321,，线性无关。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27

30、 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - -19 2 schmidt 正交化方法如果12,s线性无关，则经过正交化、单位化可以得到一个与之等价的标准正交向量组。正交化、单位化的公式。3 正交矩阵定义：正交矩阵定理：n阶实矩阵a是正交矩阵1taaa的行（列）向量组是标准正交向量组。【例2】若上三角实矩阵a是正交矩阵，则a是对角阵，且主对角元是1。【例3】若n阶实矩阵a是正交矩阵。则（1）当1a时，且n是奇数时， 1 是a的特征值；（2）当1a，-1 是

31、a的特征值；（3）若b也是n阶正交矩阵，且0ab，则0ab。二实对称矩阵1实对称矩阵的基本性质（三条） ：假设a是实对称矩阵，则（1）实对称矩阵的特征值是实数；（2）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交；（3）存在正交矩阵q，使得tq aq是对角阵。2 正交矩阵q及对角阵tq aq的计算。要注意与相似对角化的区别。【例 4】假设101000101a。求正交矩阵q，使得tq aq是对角阵。【例 5】设三阶实对称矩阵a的特征值为 3，1，1，111是a的相应于精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - -

32、- - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 27 页 - - - - - - - - -20 特征值 3 的特征向量。求a。法一. 求正交阵；法二. 用相似对角化方法。【例 6】假设a是nn实对称矩阵。证明：存在实对称矩阵b，使得3ab。【例 7】假设a是实对称矩阵。证明：若存在m使得mao，则ao。三二次型的矩阵二次型的矩阵都是对称矩阵，两者一一对应。可逆线性变换与矩阵的合同关系两者一一对应。【例 8】求二次型2221231231223(,)268f xxxxxxx xx x的矩阵。【例 9】假设m是nn矩阵（不

33、一定是对称的） 。求二次型()tf xx mx的矩阵。四标准形、惯性定理与规范形1 标准形的计算配方法：【例 10】二次型2221231231223(,)222f xxxxxxx xx x注：应是可逆线性变换，故，变换前后变量个数相同。正交变换的办法：完全化成矩阵问题【例 11】 已知实二次型22212312323(,)34f x xxxaxxx x在一正交变换下可以变成22212333yyby。求,a b及一个合适的正交变换。2 惯性定理，正、负惯性指数定理：惯性定理定义：二次型的秩和正、负惯性指数命题：二次型的秩和正、负惯性指数可以由其矩阵的特征值确定。精品学习资料 可选择p d f -

34、- - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 27 页 - - - - - - - - -21 【例 12】假设a是nn实对称矩阵，且2ae，()r aes。求a的秩和正、负惯性指数。3 分类每个实对称矩阵a均与prpeeo合同，称此矩阵为a的规范形。于是，两个nn实对称矩阵合同它们有相同的秩和正惯性指数。【例14】若将nn实对称矩阵按合同关系分类，共可分成多少合同类？解：秩的取值为0，1，2，3，4，, n 合同类的个数

35、为1，2，3，4，5，,n+1 共有(n+1)(n+2)/2. 五正定性定义：实对称矩阵、二次型的正定性、负定性定理：假设a是nn实对称矩阵，则下述命题是等价的：1a是正定的2a的各个顺序主子式大于零3a的所有特征值均大于零4存在实可逆矩阵p，使得tap p。【例13】设2221231231223(,)244f x xxxxtxtx xx x。求t，使之为正定二次型。【例14】设,a b都是正定矩阵。 证明：1*,maaaab都是正定的。 问：ab是不是正定的？【例15】假设nn实对称矩阵a是正定的，b是ns实矩阵。证明：tb ab正定()r bs。【例16】假设nn实对称矩阵a是正定的。证明

36、：1ae。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 27 页 - - - - - - - - -22 第八部分空间解析几何一矢量代数1数量积几何定义：是一数量，cos坐标表达：31iiix y几何意义：正交0，2向量积几何定义：是一向量，方向：,符合右手则；sin精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - -

37、 - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - -23 坐标表达：123123ijkxxxyyy几何意义：/；一般地，是平行四边形面积3混合积定义：( , )()坐标表达：123123123( , )xxxyyyyyy几何意义：( , )=平行六面体的体积；四面体的体积；共面(, )0。简单性质：轮回。二平面、直线1平面方程（3）确定平面的基本方法：点 +法向量【例1】 三点确定平面【例2】 两相交直线确定平面【例3】 两平行直线确定平面（4）截距式方程1xyzabc

38、（5）特殊形式的方程（缺项）【例4】缺常数项表示过原点，缺x项时表示与x轴平行。【例5】缺, x y时表示与xoy平面平行。【例6】求过点(3,2,1)且通过直线13213xyz的平面2直线方程精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - -24 （1）确定直线的基本方法：点 +方向向量对称方程（标准方程）参数方程【例7】 两点确定一条直线。【例

39、8】 两相交平面确定一条直线。【例9】 求过点(3,2,1)p且与方向(1,1,1),(2,1,0)都正交的直线。（2）直线的一般方程：视直线为两平面的交线一般方程与标准方程的互换【例10】化一般方程为标准方程2122xyzxyz。3位置关系：理解几何含义（1）夹角【例8】求直线13112xyz与平面25xyz的夹角。（2）距离【例9】点到直线的距离：利用平行四边形的面积公式（底与高的积，向量积的模）。如：13213xyz与321213xyz间的距离。【例10】点到平面的距离：利用在法向上的投影的绝对值。【例11】异面直线间的距离： 公垂线与两直线的交点间的距离 （公垂线的方向是很容易得到的）

40、（3）平面束【例12】求直线41432xyz在平面380 xyz上的投影直线方程。三一般曲线、曲面：曲面是由一个方程给定的，曲线是由两个方程给定的。由此也可看出，通常精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - -25 地，曲线被看成是两个曲面的交线。必须弄清楚它们的定义（几何上是如何确定的）；特定位置的曲面方程的特点；图形特征（会画简单图形的草图） 。1