2022年线性代数期末考试试题及答案

1、学习必备欢迎下载线性代数期末考试试题及答案a 卷一、填空题：（每空3分,共 15 分）1、在五阶行列式中，项a43a35a52a14a21 的符号取正2、 a 为一个四阶方阵，且 |a|=3, kr ， 就|ka|= 3k 43、设 a 为一个三阶方阵，其特点值为1,2,3， 就|a|=6， 就a11+a22 +a33=6ttt84、设 =（ 2,1,2 ）,（ 1,2,2 ）,（ 2,2,t） 线性相关，就 t3二、单项挑选题：（ 每道题 3分,共 15 分 ）1设行列式 d =a11 a21 a31a12 a 22 a32a13 a23 a33=3 ，d 1=a11 a21 a317a11

2、7a217 a313a123a223a32a13 a23 a33，就 d 1 的值为（c）a-21b 9c 9d212、设 n 元齐次线性方程组ax条件是（b）0 的系数矩阵 a 的秩为 r ，就 ax0 有非零解的充分必要（ a ） rn ；（ b） rn ；（c） rn ；（ d ） rn3、设 a, b 均为 n 阶矩阵，就（d）a ababb abba cr abrba d abb a4、下面的陈述中，正确的选项是d (a) 向量组中，整体向量线性相关，就部分向量必线性相关(b) 向量组中，部分向量线性无关，就整体向量必线性无关(c) 向量组中，整体向量线性无关，就部分向量必线性相关(

3、d) 向量组中，部分向量线性相关，就整体向量必线性相关5、设an n是 n 阶可逆矩阵， a 是 a 相伴矩阵，就（a） .（ a ） an 1a；（b） aa ；（ c） ana ；（ d ） aa 1 .三、（ 10 分 运算 n 阶行列式x13 x1x2xnx23xn；x1x2xn3x13解： x1x2x23xnx1x2xn=x1x2xn3xn3x2xnx23xnx1x2xn31x2x1x2 xnxn3x2xn31x2xn= x1x21x23xn3xn= xx030xn3121x2xn3003= x1x2xn313n 13n 1 xxxn3ni3n 1x3i 112101四、10 分 设

4、 a 和b 都是三阶方阵abea2b , 如 a030，求 b ；101101100001ae030010020101001100解：abea2bb1aea2eae1aea00102020100eaeae101100201030010040101001102五、（ 10分）求以下向量组的一个极大无关组和秩；t11, 1,2,4,2t0,3,1,2,3t3,0,7,14,4t1, 1,2,0,5t2,1,5,6103121031301103321725011421406022解：设12103120301121a1,2 ,3,4 ,501000214200002由上式可知： ra=3101012最

5、大无关组为：1 ,2 ,4002000x1x2x31六、（ 15 分） 取何值时，非齐次线性方程组x1x2x32x1x2x3（ 1）有唯独解；（2）无解；（3）有无穷多个解 , 并在无穷多解时求其通解；解：设11111a b110111120112211201122130022123令：2 -2 0就：1或 - 2（ 1）当1，-2时，有唯独解（； 2）当-2时，无解；（ 3）当1时，有无穷多个解；当1时 ，112111100000000a b 01120022123就： x1x2x31,令x21, x30得： x1-1，令 x20, x31得： x1-1- 1- 11通解为：xc11c200

6、c1、 c2 为任意常数010222七、（ 15 分）设实二次型f x1 , x2 , x32 x15x25 x34 x1x24 x1x38x2 x3（1） ）将二次型用矩阵形式表示；（2） ）求正交变换 xpy ，化二次型f x , x , x 2x25x25 x24 x x4 x x8x x22为标准形；1231231 21 323解：（ 1）f x1, x2 , x3 2x1222=5x25x34x1x24x1x38x2x322x12x1x22x1x35x22x1 x24x2 x35x32 x1 x34 x2 x32= x1 , x2, x3 22222x154x245x3222a254

7、24522012272322542542 1450112ae221211522121110018221,2310011当 310时， ae25421024500011x2x302 x1x20令x2x112, 就x32132， p323122- 2- 2122当 121时， ae244002440020，就 x1 022 x22 x3022令 x2 x31,就x10x22, 令x30, 就x112， 11, p1011,25010 ， p20151将 12正交化，令11，就 21， 22 -2112224101455105将 1、2正交化，得 p1211, p25021435522153 531

8、00将p1、p2、p3构成正交矩阵， pp1, p2 , p314253 530523 53，有p1 ap0100010x1于是正交变换， x2x322135342353515052353y1y2 ,y3二次型f 标准型为： f22y1y2210 y3八、（ 10 分）在线性空间 r3 中给出两组基 :11,0,0;t20,1,0;t31,0,1t及ttt12,0, 1;21,2, 2;32,1,1（ 1）求由基 1 , 2, 3 到基 1,2 ,3过渡矩阵 p ；就： pp110110010010110-1（ 2）如向量在基1,2,3下坐标为2,2, 2t， 求在基1,2 ,3 下的坐标；101