振动最优控制问题的优化

1、振动最优控制问题的优化3张巍"，应祖光(1 浙江工程学院 管理工程系，杭州310012;2.浙江大学 力学系，杭州310027)摘 要:本文提出系统振动最优控制问题的优化方法。首先给出最优线性二次控制的控制力,然后根据实际 控制目标建立矢于权值的约束条件，优化控制性能指标，以达到最优控制效果。最后，通过一个简单例子加以说 明。尖键词:振动系统;最优控制;优化中图分类号:tb535文献标识码:aoptimization of optimal vibration controlzhang wei' , ying zii2giicm(1 dept .of management en

2、gineeri ng、zhqjiang institute of science and technology , hangzhou 310012 ,china ;2. dept.of mechanics ,zhejiang university .hangzhou 310027 ,china)abstract: i n this paper ,an optimizatio n met hod for optimal vibration control is proposed. the opti2 mal control force accrdi ng to lq con t rol tech

3、nique is give n. then the con st raint equatio ns of weight pa2 rameters are obtai ned in terms of act ual co nt rol object so as to optimize t he perfo r mance index and to get better control results finally ,a simple example is analyzed to illustrate the proposed methodkey words :vibration system

4、;optimal control optimization引 言振动控制是结构工程 机械工程 电子通讯等许 多领域中的一个重要课题，特别是结构工程中，由于 强台风与地震等环境作用难以避免，许多建筑结松 因吐而遭受严重破坏，故正日益受到重视。以动态 规划原理为基础的最优控制方法，能够有效地控制 系统振动，成为一大研究热点'-4 。近年来，智能材 料的发展，智能材料阻尼器的研制，为最优控制的实 施提供了基础5。最优控制首先需要建立能合理斑 描述控制目标暈的性能拒标，然后导出相应的动态 规划方程,求解该方程确定最优控制律。显然，动衣 规划方程的形式依赖于性能指标的选取，解析地求 解该非线性的

5、偏微分方程通常是困难的。最优线性 二次(lq)控制方法是其中最常用的一种简便方 法。对于无限长时问问隔的控制问题，如果性 能指标中的拉格朗日函数为系统状态与控制力的二收稿日期:2001201205基金项目：浙江省自然科学基金资助(101046)作者简介:张巍(1965)女，江苏南通人，学士，高级工程师,研究方 向为信息系统与自动化控制。次型,它确定了最优控制律的一个形式解，最优控制 力为系统状态的线性函数，是一种线性阻尼力和弾 性力，相应动态规划方程中的值函数也为系统状态 的二次型，其中系数由代数黎卡堤(riccali)方程决 定。然而，实际振动问题首先需要控制的目标可能 是系统某几个自由度相

6、应的位移或加速度幅值，逖 与最优线性二次控制的性能指标的泛函形式不相一 致；而且，最优线性二次控制律中没有直接地计及潴 励部分，也导致与实际控制目标间的差异，从而使最 优线性二次控制效果受到一定的影响。考虑到最优 控制律与性能指标相另，而性能抬标中权系数的遥 取具有一定的随意性。于是，如何寻找到确定性能 指标中权系数的一个依据，使最优线性二次控制爪 性能指标最接近于实际问题的控制目标，从而达至！ 最优控制效果。本文提出系统振动最优控制问题於 优化方法，以最优线性二次控制方法为基础，用该受 控系统的响应表示实际问题的首要控制目标，根据 其目标的极值化建立选取性能指标权系数的约束条 件,优化性能指

7、标，从而达到最优控制效果。1系统方程系统的线性振动方程可表示为m治 ct+ kx = f(r) + pu (1) 式中x表示“维的系统位移向量,f表示n维的外 激励向量，m、c、k分别为,2维对称的质量阻尼 与刚度方阵，矩阵m与k正定，"表示加维的控 制力向量m为« x加维的位置矩阵，由控制力作用 位胃决定。用位移x与速度对描述系统的状态，则 方程(1)可改写成尖于状态向量丫的一阶微分形 式，即厂二 a y + g(f) + 3u(2)式中各量分别为 0i= .) .1 l - m k - m g2最优控制对于无限长时间间隔的控制问题最优控制性 能指标可表不为tj = li

8、m + 弘 5 "(4)式中l为拉格朗日函数。根据动态规划原理，可得 控制问题对于性能指标的动态规划方程5 v rmin l ( y, u) + (ay + bu) = 0 (5)式中v为相应于性能指标最优值的一个值函数。 最优线性二次(lq)控制选取二次型函数l =ytsy+ utru ,权系数矩阵s为2 维对称半正 定的方阵，r为加维对称 正定的方阵;相应的值函 数v二y'qy,。为2 维对称方阵,则动态规划方 程(5)成为min yrs y + utru+ y1 (qa + a1 q) y + 2 y1 qbu = 0 u(6) 由式(6)左边取极小值，可得最优控制力3

9、 = - r ' b1 qy(7)该控制力与系统状态向量丫成比例，是一个线性控 制力。其中系数矩阵q由下列riccati方程决定s + qa + arq - qb” brq = 0(8)设性能指标的权系数矩阵及相应控制力的系数式中s,与q.i = ,2 ,3)均为n维的常数方阵，si、 s3与0、。3对称。则由方程(8)可得51 cia/' k km ' 02 02 a/' pr ' hm' q2 = 0(10a)52 + e. - qy k- cm'' q2 - q3 .w'1 pr' plm' g2 =

10、 0(10b)53 + 02 + qi qx m * c cm'1 qi m' * pr1 ptm' *0=0 (10c) 方程(10a)确定qi，从而方程(10c)可确定q.，方程 (10b)也就确定0。于是撮优控制力(7)可进一 步表示成u3 = r ' ptm' qi x r ptm' 03(id 显然，它由线性弹性力与阻尼力两部分组成。选择 不同的性能指标权值s、s?和s3，由方程(10a 10c)可得不同值的系数阵0、0和©，导致不同 的控制力，从而可产生不相同的控制效果。3优化按照最优线性二次(lq)控制，受控系统的运动 方

11、程(1)成为m 知(c + pr '' pt m ' )对+(k + pr'1 ' qi) x = f(r) (12) 将其表示成状态方程形式为r= (a +y + g(t) (13)方程(13)的解可以表示为y = exp t(a + br ' b 'q) d + $p (7 - 0x(a 4- br'1 btq) g® d(14)式中d为2 维常数向量,由系统初始状态确定。 设实施振动控制问题的目标可以表示成如下形 式y1 n(t) ydt(15)式中n(”为2维的吋问函数方阵。则控制问题的优化条件为5jo5 qun

12、(/) r 4- yrn(t)dt = 0矩阵为s s10(9)s 二,q 二 s2 s02(16) 式中为方阵q的第i行第丿列元素。向量5 y/5 qu由方程(13)可得© 1994-2013 china academic journal electronic publishing house. all rights reserved, 5 q = exp t(a + br b1 q) d()+ fxp t - i)x(a + br'1 btq) br 1 bte式中6为相应于d的常数向量，e.是第/个元素 为1的单位向量，人为状态向量r的第j个元素 由式(14)确定。条件

13、(16)可导出一组尖于常数( 的方程，从而约朿性能指标的权系数s，使二次型性 能指标最接近于实际振动控制目标，从而达到最仗 控制效果。为了说明上述最优控制问题的优化方法，不妨 以便于解析分析的单自由度系统为例。受控系统的 运动方程为mx + cjt + kx = fsinc/jt + u(18)写成式(2)的状态方程形式,其中系数矩阵与向量、 激励向暈分别为4 =(19)由式(11)可得最优线性控制力x = asinctr +4cosctr(23a)式中系数_k + q2i 号 r -诫 21' (k + qj mr nt3)2 + (e+ q0 rnr)2(23b)_- (0 0,0

14、/ mr> t今 少7(k + q2/ mr - trio )+ (a+ q3c0/ m(23c) 如果振动控制的目标为位移响应幅值，则可取权函 数n在一个响应周期内为1而其余时间为零， 由式(15)可得70jo = lim ovi x2 d/r = + 腐(24)ro 0j2在控制力一定，应为常数时，根据优化条 件(16)，并注意到qi与q,的尖系(21a21b)可碓 定一个极值条件6 =(),从而得到性能抬标的一个 权值s. =0,s3将根据控制力的水平來定。此时最 优控制力为一个线性阻尼力，通过消耗系统能量，有 效地控制振动。稳态加速度响应与位移表达式札 似,其幅值控制可得类似的结

15、果。参考文献：i g w. housner ,et al. structural contn)l:past ,present ,and future j asce j en grg. meeh. , 1997,123 (9) : 8972 971.m rx tn r”(20)mx +其中系数qi与通过解方程(10a) 10c)得到qi = r j( fnk)2 + ni2 si/ r - mk (21a)03 = r j( me)" + m ( s3 + 2 qi) / r - me (21b) 当取权系数s0时，02=0,控制力成为一个线性阻尼力。受控系统的 运动方程为x = /s

16、inctr(22)2t. t. song. active structural control: theoiy and practice mohn wile y & sons ,new wrk,19903 w. q. zhuand z. g. ying. optimal nonlinear feedback con2 trol of quasi2hamillonian systems j sci. china ?series a、 1990 ,42(11) :121321219.4w.q zhu,z g. ying ,ct al. optimal nonlinear stochastic control of hysteretic systems j asce j. en grg. meeh. 2000,126(10) : 1027210325 b . f spencer ,et al smart danpers lor seismic protection o st ruct urcs : a full2scalc stud y. pioc 2n world conf. st ruct conirol j998 ,kyoio japan ,41724266r. f stengel.