金属罐铸造厂生产计划的优化模型

1、论文题目：金属罐铸造厂生产计划的优化分析模型摘 要 本文使用线性规划的方法建立了生产计划的优化模型，合理规划了该工厂的日生产计划，使其日盈利最大，最大利润为4450元。问题一通过建立线性规划模型，并利用管理运筹学软件求得结果，对工厂每天的生产计划进行了合理的安排，使日盈利达到最大。问题二根据灵敏度分析原理通过改变资源数量分析了资源投入变化对生产计划的影响；并通过对产品的资源效益和影子价格的讨论，分析了当前资源的利用情况。问题三根据灵敏度分析原理，通过改变价值系数来分析各种产品单位利润的变化对生产的影响。问题四利用灵敏度分析的方法和对偶问题的方法提出了两种B型产品（问题一中求得的不允许生产的产品

2、）的投产条件：一是提高B型产品的价格，二是降低B型产品生产的成本。问题五根据灵敏度分析原理，并通过计算知新产品E的生产无利可图，现阶段最好不要开发新产品E。最后，通过分析上述问题的结果，结合实际意义，对该工厂的生产方案提出了一些相应的意见和建议。关键字：线性规划 灵敏度分析 对偶理论 改进方案 一、问题的提出与分析问题重述北方某金属罐铸造厂的主要产品有4种，分别由代号A,B,C,D表示。近年来，产品销售情况良好，预测结果表明，需求还有进一步扩大的趋势，客户希望能有更多的不同功能的新产品问世。工厂面临着进一步扩大再生产，努力开发适销对路新产品的问题。生产A,B,C,D 4种金属罐主要经过4个阶段

3、:第1阶段是冲压：金属板经冲压机冲压，制造成金属罐所需要的零件；第2阶段是成型：在该车间里把零件制成符合规格的形状；第3阶段是装配：在装配车间，各种成型的零件按技术要求焊接在一起成为完整的金属罐；最后阶段为喷漆：装配好的金属罐送到喷漆车间被喷上防火的瓷漆装饰外表。根据工艺要求及成本核算单位产品所需的加工时间、利润以及可供使用的总工时如表1所示。表1 单位产品所需加工时间、利润及可利用工时表产品工时/件工序ABCD可利用总工时（min/天）冲 压成 形装 配喷 漆1446182412581554480240020003000单产利润（元）96118该厂仅有一台冲压机，每天工作8h，共计480mi

4、n 可供加工用。另有若干个成型中心，装配中心、喷漆中心分属各车间，除承担本厂生产任务外，还承担着科研试验，新产品开发试制等项工作，因此这些生产中心每天可利用的总计时间分别不超过2400min、2000min和3000min。考虑以下问题：1、根据当前的生产条件，工厂每天的生产计划如何安排；2、对当前资源的利用情况进行分析，并说明资源投入变化时产生的影响；3、分析各种产品单位利润的变化对生产的影响；4、如果按最优生产方案某种产品不允许生产，给出该产品投产的条件；5、为满足市场需求，开发新产品，该厂计划引进1种新型金属罐技术，生产E型金属罐。根据统计，得知生产1个E型金属罐需要1min冲压时间、1

5、min成形时间、6min装配时间、12min喷漆时间，单位产品利润为13元。在试制及制定生产计划之前，研究其投产效果，以便给出是否投产的决策。问题分析分析题目可知：问题1可建立线性规划模型，利用软件或单纯形法求解即可得到结果。问题2可根据灵敏度分析原理，通过改变资源数量分析资源投入变化对生产计划的影响；通过资源效益分析和影子价格来分析当前资源的利用情况。问题3可通过改变价值系数分析各种产品单位利润的变化对生产的影响。问题4可利用灵敏度分析的方法和对偶问题的方法找出不允许生产的某种产品的投产条件。问题5可根据灵敏度分析原理得到是否投产的决策。二、基本假设1. 不同种类的产品加工不考虑先后顺序。2

6、. 所有机器均能正常使用。3. 在生产期间无次品出现。三、符号说明：每天的产品总利润（元）：产品的日产量（件）：产品生产过程中所需要的各工序加工工时向量（其中=1，2，3，4分别对应产品A，产品B，产品C，产品D）四、模型的建立与求解1分析题目知，这是一个线性规划问题，可用线性规划模型求解。 此模型可用管理运筹学软件和单纯形法求解，用管理运筹学软件求解结果见附录1。若用单纯形表求解，加入松弛变量，初始表如下：表2 初始表961180000048011111000024004825010002000425500100300064840001961180000表3 最终表（最优表）96118000

7、09400130050-100610000-18100-01-0-11700-10-044500-00-0-由表3可知，计算所得的最优解为：=（400，0，70，10，0，610，0，0）目标函数最大值为： 4450这就是说，为了使日产利润最大，每天的生产计划应安排如下：生产A型产品400个，C型产品70个，D型产品10个，而不生产B型产品，这样日生产的总利润可达4450元。2对当前资源的利用情况的分析： 可利用软件直接求出当前资源的利用情况和资源投入的范围（见附录1的常数项数范围），或通过灵敏度分析的方法求解（如下）。假设冲压工序可利用的工时为，若该工厂不想改变生产计划，则计算令 解得 即在

8、其他条件不变的情况下，当冲压工序可利用的工时在400，500分钟内变动时，不改变生产计划；否则该工厂将改变生产计划。同理，在其他条件不变的情况下：假设成型工序可利用的工时为，则当，即当成型工序可利用的工时至少为1790分钟时，不改变生产计划；否则该工厂将改变生产计划。假设装配工序可利用的工时为，则当，即当装配工序可利用的工时在1980，2400分钟内变动时，不改变生产计划；否则该工厂将改变生产计划。假设喷漆工序可利用的工时为，则当，即当喷漆工序可利用的工时在2720，3040分钟内变动时，不改变生产计划；否则该工厂将改变生产计划。而由表3（最终表）可看出，其中，而，这说明冲压，装配和喷漆三个工

9、序可利用的工时都已经全部用完，而成形工序剩余610分钟时间未被利用。根据附录1的结果分析相应的影子价格（机会成本）知：冲压时间的影子价格是2.5元，装配时间的影子价格是0.5元，喷漆时间的影子价格是0.75元，其经济意义是上述三种工序的工时每增加（或减少）1分钟，分别会使总利润上升（或下降）2.5元、0.5元、0.75元。而成形时间的影子价格为0，即无论时间增减对总利润均不产生影响。冲压时间的影子价格为2.5元，在所有工序中最高，这说明冲压工序是生产的关键，因此该工厂应设法增加冲压工时，从而能较大程度的提高产品总利润。3分析各种产品单位利润的变化对生产的影响 可利用软件直接求出各种产品单位利润

10、的变化对生产的影响（见附录1的目标函数系数范围），或通过灵敏度分析的方法求解（如下）。假设A产品的单产利润由9元变为元，则对应的最终单纯型表变为：表4 修改表61180000400130050-100610000-18100-01-0-11700-10-00000-则当 ，即当 时，生产方案不变（在其他条件保持不变的情况下）。若超出此范围，则会影响生产方案。同理，在其他条件保持不变的情况下：假设B产品的利润由6元变为元，当时，生产方案不变。假设C产品的利润由11元变为元，则当时，生产方案不变。假设D产品的利润由8元变为元，当时，生产方案不变。4B型产品投产的条件 由上述最优生产计划可知，B型产

11、品的日生产量为0（），但若市场上对B型产品是有需求的，则需要生产B产品。下从灵敏度分析角度讨论B型产品投产的条件，主要考虑两种途径：一是提高B产品的单位利润（增大），二是减少B型产品生产加工的工时资源（降低成本）。 （1）提高B产品的单位利润 假设是B产品新的单位利润，由，可得 因此 令，即，说明只要B型产品的利润由原来的6元提高到6.5元以上，那么，生产B型产品就有经济效益。另外，从用管理运筹学软件求解的输出结果中（见附录1），最优解，对应的相差值等于0.5，说明当利润为6元时产品B不利于生产，只有当其单位利润增加0.5元时，生产该产品才有利可图。 （2）减少B型产品生产加工的工时 可从原问

12、题的对偶问题考虑。假设该工厂打算把冲压、装配、成型、喷漆四道工序的设备出租（或用于其它用途），设（）分别为决策变量（）的对偶变量，即设（）分别表示产品A、B、C、D出租的底价，则可把原线性规划问题转化为对偶问题： min 由管理运筹学软件可求得对偶问题的最优解为：（附录2）假设分别为B型产品在冲压、成形、装配、喷漆四道工序所用的工时的减少量，则把它们代入对偶问题的第2个约束条件中， 且令 再将代入，可求出因此，只要B型产品冲压时间由1分钟降低到（1-0.2）=0.8分钟以下，或装配时间由2分钟降低到（2-1）=1分钟以下，或喷漆时间由4分钟降低到（4-）=分钟以下，则生产B型产品可带来经济效益

13、。且由上述结果知，B型产品对成型时间没有要求。5开发新产品E的条件设为E型产品生产过程中所需要的各工序加工时间向量，则，所以有这说明，如果安排E型产品生产，则每生产一件就会使总利润降低1.5元，即产品E的生产不具有价值，无利可图。因此，在现阶段最好不要投产产品E。五、结论分析及现实意义1.如果不考虑产品品种是否齐全的问题及B型产品的市场需求，则原始最优生产计划是可行的，即只需要安排生产A型产品400个，C型产品70个，D型产品10个，即可使该工厂的日总利润达最大，为4450元。2.当冲压、成型、装配、喷漆工序可利用的总工时在一定的范围内变动时，即当 ， （单位：分钟）时，将不会影响生产计划。而

14、由表3（最终单纯形表）或附录1的求解结果可知，成形工序有610分钟工时未被利用，造成资源的浪费。因此建议该工厂对资源的分配进行合理的调整，例如可以将多余的成形设备用于开发新产品或出租出去。3.当产品A，产品B，产品C，产品D的利润值在一定的范围内变动时，即当 或 或 或 （单位：元）时，将不会影响生产计划。若想改变生产方案，可改变产品的价格。4.假设市场上对B型产品有需求，则需要生产B型产品，这时应该设法改进B型产品的生产条件：第一可考虑提高单位产品的利润，使其达到6.5元以上，这点可以通过开发产品的新功能实现；第二考虑减少单位产品的加工工时，即减少资源的消耗，从而可以降低成本，由上面的计算过

15、程知，当冲压时间减少0.2分钟，或装配时间减少1分钟，或喷漆时间减少分钟时，生产B型产品是有利可图的。5.现阶段，新开发的E型产品投产的条件还不成熟，由于生产E型产品会使总利润下降，因此目前情况下不应该盲目投产E型产品。建议该工厂先对产品进行深入的研究与实验，并做市场调查，然后再考虑投产的问题。六、模型分析 本文用的是线性规划模型，同时运用灵敏度分析和对偶理论的方法。线性规划模型的优点是模型简单，易于理解，容易接受，运算也较为简单；不足之处在于它不适用于非线性和较为复杂的情况。灵敏度分析可方便、准确地讨论数据的变化对线性规划问题最优解的影响。对偶理论则应用于产品资源效益和影子价格的分析。参考文

16、献：1运筹学教材编写组，运筹学，北京：清华大学出版社，2009。2邓成梁，运筹学的原理和方法，武汉：华中科技大学出版社，2002。3韩中庚，实用运筹学 模型、方法与计算，北京：清华大学出版社，2007。4附录1：利用软件求得的结果为：*最优解如下* 目标函数最优值为 : 4450 变量 最优解 相差值 - - - x1 400 0 x2 0 .5 x3 70 0 x4 10 0 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 - - - 1 0 2.5 2 610 0 3 0 .5 4 0 .75 目标函数系数范围 : 变量 下限 当前值 上限 - - - - x1 8.833 9 9.5 x2 无下限 6 6.5 x3 10 11 11.333 x4 7 8 9 常数项数范围 : 约束 下限 当前值 上限 - - - - 1 400 480 500 2 1790 2400 无上限 3 1980 2000 2400 4 2720 3000 3040附录2：对偶问题的解： *最优解如下* 目标函数最优值为 : 4450 变量 最优解 相差值 - - - x1 2.