数学方法在物理学上应用

1、数学方法在物理学上应用【中图分类号】g633. 5【文献标识码】a【文章编 号】2095-3089 (2013) 32-0-02数学作为工具学科，其思想、方法和知识始终渗透、贯 穿于整个物理学习和研究的过程中，为物理概念、定律的表 述提供简洁、精确的数学语言，为学生进行抽象思维和逻辑 推理提供有效的方法，为物理学中的数量分析和计算提供有 力工具.中学物理考试大纲中对学生应用数学工具解决 物理问题的能力作出了明确要求，要求考生有“应用数学处 理物理问题的能力”高考物理试题的解答离不开数学知识 和方法的应用，借助物理知识考查数学能力是高考命题的永 恒主题.所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系

2、和过程 用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对 问题的判断、解释和预测.可以说，任何物理试题的求解过 程实质上是一个将物理问题转化为数学问题再经过求解还 原为物理结论的过程。本文作者就高中物理中常用到的数学 方法和技巧作以介绍和举例。一、极值法(1) 用三角函数求极值例1：物体放置在水平地面上，物理与地面之间的动摩擦因数为？，物体重为g,欲使物体沿水平地面做匀速直线运 动，所用的最小拉力f为多大？分析：该题的已知量只有？和g,说明最小拉力的表达式中最多只含有？和g,但是，物体沿水平地面做匀速直线运动 时，拉力f可由夹角的不同值而有不同的取值。因此，可根 据题意先找到与夹角有关的关

3、系式再作分析。解：设拉力f与水平方向的夹角为0 ,根据题意可列平衡方程式，即由联立式解得:其中，所以（2）利用二次函数求极值。二次函数的通式：，当a0时，取，则y有最大值，当 a90° o求绳中张力和大球对小球的支持力（小球直径忽略 不计）【解析】选小球为研究对象，受到重力g、绳的拉力f 和大球支持力fn的作用（如图1b示）。由于小球处于平衡 状态，所以g、f、fn组成一个封闭三角形。根据数学知识 可以看出三角形aob跟三角形fgfn相似，根据相似三角形对应边成比例得f/l二g/ (d+r)二fn/r解得 f二g l/ (d+r) fn=g r/ (d+r)讨论由此可见，当绳长l减小

4、时f变小，fn不变。2.正弦定理(拉密定理)：如果在共点的三个力作用下, 物体处于平衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角 的正弦成正比。如右图2所示，表达式为：fl/sina =f2/sinb =f3/sin 0此法适用于三力构成的是锐角或钝角三角形。例4如图，船a从港口 p出发支拦截正以速度沿直线航行的船b, p与b所在航线的垂直距离为，a船启航时，b船与p的距离为，如果略去a船启动时的加速过程，认为它 一启航就做匀速运动，求：(1) a船能拦到b船的最小速率；(2) a船拦到b船时两船的位移解析：(1)设两船在c相遇 在zkpec中, ,式中当b二900时，即跟pb垂直时，最小，最小

5、速率为(2)拦到船时，a船位移为b船位移为答案：(1) (2)三、图像法中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数 学图像相结合，再恰当地引入物理图像，则可变抽象为形象， 突破难点，使解题过程大大简化。图像法是历年高考的热点， 因而在复习中要密切关注图像，掌握图像的识别绘制方法例5如图所示，一质量m=lkg的木板静止在光滑水平地 面上.开始时，木板右端与墙相距l=0. 08m,质量m=lkg的 小物块以初速度v0=2m/s滑上木板左端.木板的长度可保证 物块在运动过程中不与墙接触物块与木板之间的动摩擦因 数卩=0.1，木板与墙碰撞后以与碰撞前瞬时等大的速度反弹. 取 g=10m/s2,求

6、：(1) 从物块滑上木板到两者达到共同速度时，木板与 墙碰撞的次数及所用的时间.(2) 达到共同速度时木板右端与墙之间的距离. 解(1)物块滑上木板后，在摩擦力的作用下，木板做匀加 速运动的加速度al=ug=lm/s,方向向右物块做减速运动的加速度a2= u g=lm/s,方向向左可作出物块、木板的v-1图象如图8-5乙所示由图可知，木板在0.4s、1.2s时刻两次与墙碰撞，在 t=l. 8s时刻物块与木板达到共同速度.(2)由图8-5乙可知，在t=l. 8s时刻木板的位移为：s=xal x0. 22=0. 02m木板右端距墙壁的距离a s=l-s=0. 06m.答案(1) 1.8s (2)

7、0. 06m例6：如图所示，甲、乙两光滑斜面的高度和斜面的总 长度都相同，只是乙斜面由两部分组成，将两个相同的小球 从两斜面的顶端同时释放，不计拐角处的机械能损失，试分 析两球中谁先落地。解析：甲、乙两光滑斜面的高度相同，又不计拐角处的 机械能损失，因此两球的机械能君守恒，即落地时两球速度 大小相同。由于斜面的倾斜程度不同，对两小球进行受力分 析可知，乙图中，小球在前部分的加速度大于甲，后部分的 加速度小于甲。将乙的两部分ut图线合并后与甲相比， 则其前部分ut图线斜率比甲的斜率大，后部分ut图 线较甲斜率小。同时要使两图线与t轴围成的面积相等，则 其ut图象应如下图所示：由ut图象可知，乙图

8、中的小球先落地。四、微元法微元法就是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研 究对象上选取某一微元加以分析，从而可以化曲为直，使变 量、难以确定的量为常量、容易确定的量。例7如图2所示，某力f=10牛作用于半径r=1米的转 的边缘上，力f的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力f做的总功应为：a0焦耳b20 ji焦耳cio焦耳d20焦耳解：分析：把圆周分成无限个小元段，每个小元段可认 为与力在同一直线上，故aw-fas,则转一周中各个小元段 做功的代数和为w=fx2 nr=10x2n j=20n 故b正确。五、比例法 比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和

9、未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化应用比例法 解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，清楚公 式的物理意义，每个量在公式中的作用，所要讨论的比例关 系是否成立.同时要注意以下几点:（1）比例条件是否满足：物理过程中的变量往往有多个讨论某两个量比例关系时要注意只有其他量为常量时才 能成比例.（2）比例是否符合物理意义：不能仅从数学关系来看 物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义（例: 不能据r二认定为电阻与电压成正比）.（3）比例是否存在：讨论某公式中两个量的比例关系 时，要注意其他量是否能认为是不变量，如果该条件不成立, 比例也不能成立.（例在串联电路中，不能认为p二中，

10、p与r成反比，因为r变化的同时，u随之变化而并非常量）例8如图1所示电路中，r=10欧，滑动变阻器rw的最大阻值为20欧，u二6伏。当滑动片p从a滑至b时，电压表 示数如何变化？分析：电压表测的是r两端的电压，要知电压表示数变 化范围，首先要画出滑片p在a和b时的等效电路，分别求 出电压表在这两种情况下的示数。p在a时的等效电路如图甲所示，因rw被短路，所以 rw接入电路的电阻为零，这时电压表示数即为电源电压，p 在b端的等效电路见图乙，这时rw与r串联，rw接入电路 的电阻为它的最大值20欧。p在a端时，ur=6伏，p在b端时，因为r与rw串联， 所以r与rw两端的电压ur、uw的关系是，当u二6伏时， 因此当p从a滑至b