2022年考研数学三必背知识点：概率论与数理统计,推荐文档

1、1 概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、 随机事件及其概率运算律名称表达式交换律abbabaab结合律cbacbacba)()(abcbcacab)()(分配律acabcba)()()(cababca德摩根律bababaab2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式)(1)(apap加法公式)()()()(abpbpapbap条件概率公式)()()(apabpabp乘法公式)()()(abpapabp)()()(bapbpabp全概率公式niiiabpapbp1)()()(贝叶斯公式（逆概率公式）1)()()()()(iijjjjabpapabpapbap伯努力概型公式nkp

2、pckpknkknn, 1 ,0,)1()(两件事件相互独立相应公式)()()(bpapabp；)()(bpabp；)()(abpabp；1)()(abpabp；1)()(abpabp精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -2 二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(bfbxp)()()(afbfbxap2、 离散型随机变量分布名称分布律0

3、1 分布), 1(pb1 ,0,)1()(1kppkxpkk二项分布),(pnbnkppckxpknkkn, 1 ,0,)1()(泊松分布)(p,2, 1 ,0,!)(kkekxpk几何分布)(pg, 2, 1 ,0,)1()(1kppkxpk超几何分布),(nmnh),min(, 1,)(mnllkccckxpnnknmnkm3.连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布),(bau其他, 0,1)(bxaabxfbxbxaabaxaxxf, 1,0)(指数分布)(e其他, 00,)(xexfx0,10,0)(xexxfx正态分布),(2nxexfx222)(21)(xttexfd21)

4、(222)(标准正态分布)1 ,0(nxexx2221)(xttexfd21)(222)(精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -3 三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布jjijjiiipyyxxpxxpp),()(iiijjijjpyyxxpyypp),()(2、离散型二维随机变量条件分布2, 1,)(),()(ippyypy

5、yxxpyyxxppjijjjijiji2, 1,)(),()(jppxxpyyxxpxxyyppiijijiijij3、连续型二维随机变量( x ,y )的分布函数xydvduvufyxf),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数分布函数：xxdvduvufxf),()(密度函数：dvvxfxfx),()(yydudvvufyf),()(duyufyfy),()(5、二维随机变量的条件分布yxfyxfxyfxxy,)(),()(xyfyxfyxfyyx,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：1)(kkkpxxe连续型随机变量：dxxxfxe)()(

6、2、数学期望的性质(1)为常数c,)(cce)()(xexee)()(xcecxe(2)()()(yexeyxebxaebaxe)()()()()(1111nnnnxecxecxcxce(3)若 xy 相互独立则：)()()(yexexye(4)()()(222yexexye3、方差：)()()(22xexexd4、方差的性质(1)0)(cd0)(xdd)()(2xdabaxd2)()(cxexd(2),(2)()()(yxcovydxdyxd若 xy 相互独立则：)()()(ydxdyxd5、协方差：)()(),(),(yexeyxeyxcov若 xy 相互独立则：0),(yxcov精品学习

7、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -4 6、相关系数：)()(),(),(ydxdyxcovyxxy若 xy 相互独立则：0xy即 xy 不相关7、协方差和相关系数的性质(1)(),(xdxxcov),(),(xycovyxcov(2),(),(),(2121yxcovyxcovyxxcov),(),(yxabcovdbycaxcov8、常见数学分布

8、的期望和方差分布数学期望方差0-1 分布), 1(pbp)1 (pp二行分布),(pnbnp)1(pnp泊松分布)(p几何分布)( pgp121pp超几何分布),(nmnhnmn1)1 (nmnnmnmn均匀分布),(bau2ba12)(2ab正态分布),(2n2指数分布)(e121五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2xdxe对于任意0 有2)()(xdxexp或2)(1)(xdxexp2、大数定律：若nxx1相互独立且n时，niidniixenxn11)(11(1)若nxx1相互独立，2)(,)(iiiixdxe且mi2则：niipniinxenxn11)(),(11

9、(2)若nxx1相互独立同分布，且iixe)(则当n时：pniixn113、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为，方差为02的独立同分布时，当n充分大时有：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -5 ) 1 ,0(1nnnxynkkn(2)拉普拉斯定理：随机变量),()2, 1(pnbnn则对任意x 有：xtnxxdtexpnpnp

10、p)(21)1(lim22(3)近似计算：)()()()(11nnannbnnbnnxnnapbxapnkknkk六、数理统计1、总体和样本总体x的分布函数)(xf样本),(21nxxx的联合分布为)(),(121knknxfxxxf2、统计量(1)样本平均值：niixnx11(2)样本方差：niiniixnxnxxns122122)(11)(11(3)样本标准差：niixxns12)(11(4)样本k阶原点距：2, 1,11kxnanikik(5)样本k阶中心距：nikikkkxxnmb13, 2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21nxxx的观察值),(21nxxx，将nxxx21,按

11、照由小到大的次序重新排列，得到)()2() 1(nxxx，记取值为)(ix的样本分量为)(ix，则称)()2()1(nxxx为样本),(21nxxx的次序统计量。),min(21)1(nxxxx为最小次序统计量；),max(21)(nnxxxx为最大次序统计量。3、三大抽样分布(1)2分布：设随机变量nxxx21,相互独立，且都服从标准正态分布) 1 ,0(n，则随机变量222212nxxx所服从的分布称为自由度为n的2分布，记为)(22n性质：nndnne2)(,)(22设)(),(22nymx且相互独立，则)(2nmyx(2)t分布：设随机变量)(),1, 0(2nynx，且 x 与 y

12、独立，则随机变量：nyxt所服从的分布称为自由度的n的t分布，记为)(ntt精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -6 性质：)2( ,2)(,0)(nnnntdnte222)(21)1 , 0()(limxnennt(3)f分布：设随机变量)(),(2212nvnu，且 u 与 v 独立，则随机变量2121),(nvnunnf所服从的分布称为自

13、由度),(21nn的f分布，记为),(21nnff性质：设),(nmfx，则),(1mnfx七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用),(21nxxx估计总体参数， 称),(21nxxx为的估计量， 相应的),(21nxxx为总体的估计值。(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、点估计中的矩估计法：（总体矩 =样本矩）离散型样本均值：niixnxex11)(连续型样本均值：dxxxfxex),()(离散型参数：niixnxe1221)(3、点估计中的最大似然估计最 大 似 然 估 计 法 ：nxxx,21取 自x的 样 本 ， 设)()(),(pxxpxfxi或则 可 得 到 概 率 密 度 ： )()(),( ),(),(1121121niiniinnniinpxxpxxxxxpxfxxxf或基本步骤：似然函数： )( ),()(11niiniipx