2022年考研数学一试题及答案解析,推荐文档

1、1 / 10 2007 年数学一一、选择题： (本题共 10 小题，每小题4 分，共 40 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0 x时，与x等价的无穷小量是(a) 1xe. (b) 1ln1xx. (c) 11x. (d) 1cosx.b 【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0 x时，有1(1)xxeex；1112xx；2111cos().22xxx利用排除法知应选(b). (2) 曲线1ln(1)xyex，渐近线的条数为(a) 0. (b) 1.

2、 (c) 2. (d) 3.d 【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为01limln(1)xxex，所以0 x为垂直渐近线；又1limln(1)0 xxex，所以 y=0 为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)limlim limxxxxxyeexxxx=lim11xxxee，1lim1limln(1)xxxyxexx=limln(1)xxex=limln(1)lim ln(1)0 xxxxxeexe，于是有斜渐近线：y = x. 故应选 (d). (3) 如图，连续函数y=f(x)在区间 - 3，-2，2，3上的图形分别是直径为1 的上

3、、下半圆周，在区间- 2，0，0， 2的图形分别是直径为2 的上、下半圆周，设0( )( ).xf xf t dt则下列结论正确的是(a) 3(3)( 2)4ff. (b) 5(3)(2)4ff. (c) )2(43)3(ff. (d) )2(45) 3(ff.c 【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】根据定积分的几何意义，知f(2)为半径是1 的半圆面积：1(2)2f，f(3)是两个半圆面积之差：22113(3)1( ) 228f=3(2)4f，0330)()()3(dxxfdxxff)3()(30fdxxf因此应选 (

4、c). 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -2 / 10 (4) 设函数 f(x)在 x=0 处连续，下列命题错误的是(a) 若0( )limxf xx存在，则f(0)=0. (b) 若0( )()limxf xfxx存在，则f(0)=0. (c) 若0( )limxf xx存在，则(0)f存在 . (d) 若0( )()limxf xf

5、xx存在，则(0)f存在d 【分析】本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。【详解】(a),(b)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若0( )limxf xx存在，则00( )(0)( )(0)0,(0)limlim00 xxf xff xffxx，可见 (c)也正确，故应选(d). 事实上，可举反例：( )f xx在 x=0 处连续，且0( )()limxf xfxx=0lim0 xxxx存在，但( )f xx在 x=0 处不可导。(5) 设函数 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且( )0.fx令) ,2,

6、 1)(nnfun, 则下列结论正确的是(a) 若12uu，则nu必收敛 . (b) 若12uu，则nu必发散 . (c) 若12uu，则nu必收敛 . (d) 若12uu，则nu必发散 . d 【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设 f(x)=2x, 则 f (x)在(0,)上具有二阶导数，且12( )0,fxuu，但2nun发散，排除(c)。 设 f(x)=1x, 则 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且12( )0,fxuu，但1nun收敛，排除 (b)。 又若设( )lnf xx，则 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且12( )0,fxuu，但lnnun发散，排除

7、 (a). 故应选 (d). (6) 设曲线:( , )1( , )lf x yf x y具有一阶连续偏导数)，过第ii 象限内的点m 和第 iv 象限内的点n，t为 l上从点 m 到点 n 的一段弧，则下列小于零的是(a) ( , )tf x y dx. (b) ( ,)tf x y dy. (c) ( , )tf x y ds. (d) ( , )( , )xytfx y dxfx y dy. b 【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。【详解】设 m 、 n 点的坐标分别为11221212(,),(,),m x yn xyxxyy. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：21

8、( , )0ttf x y dxdxxx。21( , )0ttf x y dydyyy。( , )0ttf x y dsdss。( , )( , )( , )0 xyttfx y dxfx y dydf x y. 故正确选项为(b). (7) 设向量组321,线性无关，则下列向量组线性相关的是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -3 / 1

9、0 (a) 133221,. (b) 133221,. (c) 1332212,2,2. (d) 1332212,2,2.a 【详解】 用定义进行判定:令0)()()(133322211xxx，得0)()()(332221131xxxxxx. 因321,线性无关，所以1312230,0,0.xxxxxx又0110011101，故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,线性相关 .类似可得 (b), (c), (d)中的向量组都是线性无关的 . (8) 设矩阵211121112a, 000010001b,则 a 与 b(a)合同 , 且相似 . (b) 合同 , 但不相似. (c)不合同

10、, 但相似 . (d) 既不合同 , 又不相似 .b 【详解】由0|ae得 a 的特征值为0, 3, 3, 而 b 的特征值为0, 1, 1,从而 a与 b 不相似 . 又 r(a)=r(b)=2, 且 a、b 有相同的正惯性指数, 因此 a 与 b合同 . 故选 (b) . (9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p(0p1),则此人第4 次射击恰好第2 次命中目标的概率为(a) 2)1(3pp(b) 2)1 (6pp. (c) 22)1 (3pp(d) 22)1(6ppc 【详解】“ 第 4 次射击恰好第2 次命中 ” 表示 4 次射击中第4 次命中目标 , 前 3 次

11、射击中有1 次命中目标 , 由独立重复性知所求概率为：2213)1(ppc. 故选 (c) . (10) 设随机变量 (,)服从二维正态分布，且与不相关，)()(yfxfyx分别表示，的概率密度，则在y 的条件下，的条件概率密度)|(|yxfyx为(a) )(xfx(b) )(yfy(c ) )()(yfxfyx. (d) )()(yfxfyxa 【详解】 因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是)|(|yxfyx=)(xfx. 因此选 (a) . 二、填空题 ：(1116 小题，每小题4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上) (11) 12311xe dxx=121.2

12、e精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -4 / 10 【分析】 先作变量代换，再分部积分。【详解】111213213211211()txttxe dxt edtte dtxt=111121112221.2ttttdetee dte(12) 设 f(u,v)为二元可微函数，(,)yxzf xy，则zx=112ln.yxfyxfyy【详解】利用

13、复合函数求偏导公式，有zx=112ln.yxfyxfyy(13) 二 阶常 系 数 非齐次线 性 微 分方 程2432xyyye的 通 解为32122.xxxyc ec ee其 中21,cc为任意常数 .【详解】 特征方程为2430， 解得121,3.可见对应齐次线性微分方程430yyy的通解为312.xxyc ec e设非齐次线性微分方程2432xyyye的特解为*2xyke，代入非齐次方程可得k= - 2. 故通解为32122.xxxyc ec ee(14) 设曲面:1xyz，则dsyx|)|(= 43.3【详解】由于曲面关于平面x=0 对称，因此dsx=0. 又曲面:1xyz具有轮换对称

14、性，于是dsyx|)|(=dsy |=dsx |=dsz |=dszyx|)|(|31=ds3123831=43.3(15) 设矩阵0000100001000010a, 则3a的秩为 1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得00000000000010003a,故 r(3a)=1. (16) 在区间 (0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于21的概率为43【详解】 这是一个几何概型, 设 x, y 为所取的两个数, 则样本空间 1,0|),(yxyx, 记21| ,),( | ),(yxyxyxa. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

15、- 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -5 / 10 故ssapa)(43143，其中ssa,分别表示a与的面积 . 三、解答题 ：(1724 小题，共86 分. ) (17) (本题满分11 分)求函数2222( ,)2f x yxyx y在区域22( , )4,0dx y xyy上的最大值和最小值。【分析】由于 d 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为2( , )22xfx y

16、xxy，2( , )42yfx yyx y，解方程：22220,420 xyfxxyfyx y得开区域内的可能极值点为(2,1). 其对应函数值为(2,1)2.f又当 y=0 时，2( ,)f x yx在22x上的最大值为4，最小值为0. 当224,0, 22xyyx，构造拉格朗日函数222222( , , )2(4)f x yxyx yxy解 方 程 组22222220,4220,40,xyfxxyxfyx yyfxy得 可 能 极 值 点 ：53(0,2),(,)22， 其 对 应 函 数 值 为537(0, 2)8,(,).224ff比较函数值72,0,4,8,4，知 f(x, y)在区

17、域 d 上的最大值为8，最小值为0. (18) (本题满分10 分)计算曲面积分23,ixzdydzzydzdxxydxdy其中为曲面221(01)4yzxz的上侧。【分析】 本题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】补充曲面：221:1,04yxz，取下侧 . 则123ixzdydzzydzdxxydxdy123xzdydzzydzdxxydxdy=(2 )3dzz dxdydzxydxdy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - -

18、 - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -6 / 10 其中为与1所围成的空间区域，d 为平面区域2214yx. 由于区域d 关于 x 轴对称，因此30dxydxdy. 又(2 )3zz dxdydzzdxdy=1100332 (1).zdzdzdxdyzz dz其中zd22:14yxz. (19) (本题满分11 分) 设函数 f(x), g(x)在a, b上连续，在 (a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：

19、存在( , )a b，使得( )( ).fg【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令( )( )( )f xf xg x，则问题转化为证明( )0f, 只需对( )fx用罗尔定理，关键是找到( )fx的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)， 而利用 f(a)=f(b)=0, 若能再找一点( , )ca b， 使得( )0f c， 则在区间 , , a cc b上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对( )fx用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数( )( )( )f xf xg x，由题设有f(a)=f(b)=0. 又 f(x), g(x)

20、在(a, b)内具有相等的最大值 , 不妨设存在21xx, ),(,21baxx使得12 , , ()max( ),()max ( )a ba bf xmf xg xmg x，若21xx，令1xc, 则( )0.f c若21xx，因111222()()()0,()()()0f xf xg xf xf xg x，从而存在12,( , )cx xa b，使( )0.f c在区间 , , , a cc b上分别利用罗尔定理知，存在12( , ),( , )a cc b，使得12()()0ff. 再对( )fx在区间12,上应用罗尔定理，知存在12(,)( , )a b，有( )0f， 即( )( )

21、.fg(20) (本题满分10 分) 设幂级数0nnna x在(,)内收敛，其和函数y(x)满足精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -7 / 10 240,(0)0,(0)1.yxyyyy(i) 证明：22,1,2,;1nnaannl(ii) 求 y(x)的表达式 . 【分析】先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系

22、。【详解】(i)记 y(x)=0nnna x, 则1212,(1),nnnnnnyna xyn na x代入微分方程240,yxyy有2210(1)240,nnnnnnnnnn na xna xa x即2000(2)(1)240,nnnnnnnnnnnaxna xa x故有2(2)(1)240,nnnnnanaa即22,1,2,;1nnaa nnl(ii) 由 初 始 条 件(0)0,(0)1yy知 ，010,1.aa于 是 根 据 递 推 关 系 式22,1nnaan有22110,.!nnaan故y(x)=0nnna x=21212001!nnnnnaxxn=2201().!nxnxxxen

23、(21) (本题满分 11 分 ) 设线性方程组04,02,03221321321xaxxaxxxxxx与方程12321axxx有公共解，求a 的值及所有公共解【分析】两个方程有公共解就是 与 联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将 与 联立得非齐次线性方程组: .12, 04, 02, 03213221321321axxxxaxxaxxxxxx若此非齐次线性方程组有解, 则 与 有公共解 , 且 的解即为所求全部公共解. 对 的增广矩阵a作初等行变换得 : 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - -

24、 - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -8 / 10 112104102101112aaaa11000) 1)(2(0001100111aaaaa. 于是 1当 a=1时，有)()(arar=23，方程组 有解 , 即 与 有公共解 , 其全部公共解即为 的通解，此时0000000000100101a，此时方程组 为齐次线性方程组，其基础解系为: 101, 所以 与 的全部公共解为101k，k 为任意常数 . 2当 a =2 时，有)()(arar=3，方程组 有唯一

25、解 , 此时0000110010100001a，故方程组 的解为 : 011,即 与 有唯一公共解 : 为123011xxxx. (22) (本题满分11 分) 设3 阶对称矩阵的特征值,2,2, 1321t)1 ,1, 1(1是的属于1的一个特征向量,记eaab354其中e为 3 阶单位矩阵 . (i) 验证1是矩阵的特征向量，并求b 的全部特征值与特征向量(ii) 求矩阵【分析】 根据特征值的性质可立即得b 的特征值 , 然后由 b也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量 . 【详解】 (i) 由11a得1112aa, 进一步113a, 115a，故1351)4(eaab113154

26、aa111412，从而1是矩阵的属于特征值 - 2 的特征向量 . 因eaab354, 及的 3 个特征值,2,2, 1321得b 的 3 个特征值为1, 1, 2321. 设32,为 b 的属于132的两个线性无关的特征向量, 又精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -9 / 10 为对称矩阵，得b 也是对称矩阵 , 因此1与32,正交 ,

27、 即0,03121tt所以32,可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1 , 1, 1 (321xxx,其基础解系为: 011, 101, 故可取2=011, 3=101.即 b 的全部特征值的特征向量为: 1111k, 10101132kk, 其中01k,是不为零的任意常数, 32,kk是不同时为零的任意常数. (ii)令),(321p=101011111, 则1121bpp，得1112ppb=10101111111221112111131=10201211221112111131011101110. (23) (本题满分11 分) 设二维随机变量(x, y)的概率密度为2,01,01,( , )0,xyxyf x y其它.(i) 求yxp2；(ii) 求 z+的概率密度)(zfz.【详解】 (i) yxp2yxdxdyyxf2),(12210)2(ydxyxdy247. (ii) 先求 z