《备课参考》第4节幂函数与二次函数

1、第 4 节幂函数与二次函数考试要求1.通过具体实例，结合yx，y1x，yx2，yx，yx3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题知 识 梳 理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x 是自变量， 为常数 . (2)常见的 5 种幂函数的图象(3)幂函数的性质幂函数在 (0， )上都有定义；当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在 (0， )上单调递增；当 0)yax2 bxc(a0， 0 ，当a0， 0时，恒有f(x)0 时，幂函数yxn在(0， )上是增函数 .()

2、(3)二次函数yax2bxc(xr)不可能是偶函数.() (4)二次函数yax2bxc(xa，b)的最值一定是4acb24a.() 解析(1)由于幂函数的解析式为f(x)x，故 y2x13不是幂函数，(1)错. (3)由于当 b0 时， yax2bxcax2c 为偶函数，故(3)错. (4)对称轴 xb2a，当b2a小于 a 或大于b 时，最值不是4acb24a，故 (4)错. 答案(1)(2)(3)(4)2.(必修 1p79t1 改编 )已知幂函数f(x)k x的图象过点12，22，则 k () a.12b.1 c.32d.2 解析因为 f(x)k x是幂函数，所以k1.又 f(x)的图象过

3、点12，22，所以1222，所以 12，所以 k11232. 答案c 3.(必修 1p44a9 改编 )若函数 f(x)4x2kx8 在1，2上是单调函数，则实数k的取值范围是_. 解析由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xk8，所以要使f(x)在 1，2上是单调函数，则有k8 1 或k82，即 k 8 或 k16. 答案(， 816， ) 4.(2016全国 卷 )已知 a243，b323，c2513，则 () a.bacb.abcc.bcad.caab. 答案a 5.(2019衡水中学月考)若存在非零的实数a，使得 f(x) f(ax)对定义域上任意的x 恒成立，则函数f(x)可能是

4、() a.f(x) x2 2x1 b.f(x) x21 c.f(x)2xd.f(x) 2x1 解析由存在非零的实数a，使得 f(x)f(ax)对定义域上任意的x 恒成立，可得函数图象的对称轴为xa20.只有选项a 中， f(x)x22x1 关于 x1 对称 . 答案a 6.(2019菏泽检测 )幂函数f(x)(m24m4) xm26m8在(0， )上为增函数，则m 的值为 _. 解析由题意知m24m41，m26m80，解得 m1. 答案1 考点一幂函数的图象和性质【例 1】 (1)幂函数 yf(x)的图象过点 (4，2)，则幂函数yf(x)的图象是 () (2)若 a1223， b1523，c

5、1213，则 a，b， c 的大小关系是() a.abcb.cabc.bcad.bac解析(1)设幂函数的解析式为yx，因为幂函数yf(x)的图象过点 (4，2)，所以 24，解得 12. 所以 yx，其定义域为0， )，且是增函数，当0 xb1523，因为 y12x是减函数，所以a1223c1213，所以bac. 答案(1)c(2)d 规律方法1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx 所分区域 .根据 0，0 1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较 .

6、 【训练 1】 (1)(2019洛阳二模 )已知点a，12在幂函数f(x)(a1)xb的图象上，则函数 f(x)是() a.奇函数b.偶函数c.定义域内的减函数d.定义域内的增函数(2)(2018上海卷 )已知 2， 1，12，12，1，2， 3 .若幂函数f(x)x为奇函数，且在 (0， )上递减，则 _. 解析(1)由题意得a11，且12ab，因此a2 且 b 1.故 f(x)x1是奇函数，但在定义域(， 0)(0， )不是单调函数. (2)由题意知可取 1，1，3.又 yx在(0， )上是减函数， 0 且 a1)与二次函数y(a1)x2 x 在同一坐标系内的图象可能是() (2)设函数

7、f(x)x2xa(a0)，已知 f(m)0 d.f(m1)0 解析(1)若 0a1，则 y logax 在(0， )上是增函数，y(a1)x2x 图象开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此 b 项不正确，只有选项a 满足 . (2)因为 f(x)的对称轴为x12，f(0) a0，所以 f(x)的大致图象如图所示. 由 f(m)0，得 1m0，所以f(m1)f(0)0. 答案(1)a(2)c 规律方法1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“ 三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点； “一线 ”是指对称轴这条直线；“一开口 ”是指抛物线的开

8、口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 【训练 3】 一次函数yaxb 与二次函数yax2bxc 在同一坐标系中的图象大致是 () 解析a 中，由一次函数yaxb 的图象可得a0，此时二次函数yax2bxc 的图象应该开口向上，a 错误；b 中，由一次函数yaxb 的图象可得a0，b0，此时二次函数yax2 bxc的图象应该开口向上，对称轴xb2a0， b 错误； c 中，由一次函数yaxb的图象可得a0，b0，此时二次函数yax2 bxc 的图象应该开口向下，对称轴 xb2a0，c 正确；d 中，由一次函数yaxb 的图象可得a0，b

9、x k 在区间 3， 1上恒成立，试求k 的取值范围 . 解(1)由题意知a0，b2a 1，f（ 1） ab10，解得a 1，b 2.所以 f(x)x22x1，由 f(x)(x1)2知，函数f(x)的单调递增区间为 1， )，单调递减区间为(， 1. (2)由题意知， x22x1xk 在区间 3， 1上恒成立，即kx2x1 在区间 3， 1上恒成立，令 g(x)x2x1，x3， 1，由 g(x) x12234知 g(x)在区间 3， 1上是减函数，则g(x)ming( 1)1，所以 k0 时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升 ”；0 时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限

10、的部分“下降 ”，反之也成立. 2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)ax2 bxc(a0)中 a，b，c 的值 .应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值. 3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题. 4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定. 易错防范 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

11、2.对于函数yax2bxc，要认为它是二次函数，就必须满足a 0，当题目条件中未说明a0 时，就要讨论a0 和 a0 两种情况 . 基础巩固题组(建议用时： 40 分钟 ) 一、选择题1.(2019济宁联考 )下列命题正确的是() a.yx0的图象是一条直线b.幂函数的图象都经过点(0， 0)，(1，1) c.若幂函数yx是奇函数，则yx是增函数d.幂函数的图象不可能出现在第四象限解析a 中，点 (0，1)不在直线上，a 错； b 中， yx，当 0 时，图象不过原点， b 错； c 中，当 0，所以f(x)在(， 2上是递减的，在2， )上是递增的. 答案a 3.(2019北京朝阳区模拟)已

12、知函数f(x) x24xa，x0，1，若f(x)有最小值 2，则 f(x)的最大值为 () a.1 b.0 c. 1 d.2 解析f(x) x24xa (x2)2a4，函数 f(x) x24x a 在0，1上单调递增，当 x0 时， f(x)取得最小值，当x 1 时， f(x)取得最大值，f(0)a 2， f(1)3a321. 答案a 4.(2019岳阳一中 )已知函数yax2bx1在(， 0是单调函数，则y2axb的图象不可能是() 解析当 a0，b0 时， y2axb 的图象可能是a；当 a0 时，b2a0? b0，y2axb 的图象可能是c；当 a0 时，b2a0? b0，y2axb 的

13、图象可能是d. 答案b 5.已知 p：|m1|1，q：幂函数y(m2m1)xm在(0， )上单调递减，则p是 q 的() a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析p：由 |m1|1 得 2m0，幂函数y(m2m 1)xm在 (0， )上单调递减，m2m11，且 m0，且 14ab0， 4ab 1，且 b0. 故 a 4b24ab2，当且仅当a4b，即 a1，b14时等号成立 . 所以 a4b 的取值范围是2， ). 答案2， ) 8.已知二次函数f(x) 满足f(2 x) f(2 x)，且f(x) 在 0 ， 2 上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a 的

14、取值范围是_. 解 析由 题 意 可 知 函 数f(x) 的 图 象 开 口 向 下 ， 对 称 轴 为x 2( 如 图 ) ， 若f(a)f(0)，从图象观察可知0a4. 答案0，4 三、解答题9.已知幂函数 f(x)(m1)2xm24m2 在(0， )上单调递增，函数g(x)2xk. (1)求 m 的值；(2)当x1，2)时，记f(x) ， g(x)的值域分别为集合a，b，设p： xa， q：xb，若 p 是 q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围 . 解(1)依题意得：(m1)21? m0 或 m2，当 m2 时， f(x)x2在(0， )上单调递减，与题设矛盾，舍去，m0. (2)由

15、(1)得， f(x)x2，当 x1，2)时， f(x)1，4)，即 a1，4)，当 x1，2)时， g(x)2k，4k)，即 b2 k，4k)，因 p 是 q 成立的必要条件，则b? a，则2k1，4k4，即k 1，k 0，得 0k1. 故实数 k 的取值范围是0，1. 10.已知奇函数yf(x)定义域是r，当 x0 时， f(x)x(1x). (1)求出函数yf(x)的解析式；(2)写出函数yf(x)的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可) 解(1)当 x0，所以 f(x) x(1 x). 又因为 yf(x)是奇函数，所以 f(x) f(x)x(1x). 综上 f(x)x（ 1

16、x）， x0，x（ 1x）， x0)，当 1x1 时， |f(x)|1 恒成立，则f23_. 解析当 x1，1时， |f(x)| 1 恒成立 . |f（0）|1? |n| 1? 1n1；|f（1）|1? |2n|1? 3n 1，因此 n 1， f(0) 1，f(1)1. 由 f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x0，2m0，m 2，f(x)2x21， f2319. 答案1914.已知二次函数f(x)满足 f(x1)f(x)2x，且 f(0)1. (1)求 f(x)的解析式；(2)当 x 1，1时，函数 yf(x)的图象恒在函数y2xm 的图象的上方，求实数 m 的取值范围. 解(1)设 f(x)ax2bx1(a0)，则 f(x1) f(x)2x，得 2axab2x. 所以， 2a2 且 ab0，解得 a1，b 1，又 f(0)1，所以c 1，因此 f(x)的解析式为f(x)x2x1. (2)因为当 x1，1 时， yf(x)的图象恒在y2xm 的图象上方，所以在 1，1上， x2x12xm 恒成立；即 x23x1m 在区间 1，1上恒成立 . 所以令 g(x)x23x1 x322