高等数学教学课件3.4

1、科学出版社第四节一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率三、相关变化率 隐函数和参数方程确定的 函数的导数 第三三章 科学出版社31xy一、隐函数的导数一、隐函数的导数若由方程0),(yxf可确定 y 是 x 的函数 ,由)(xfy 表示的函数 , 称为显函数 .例如例如,013 yx可确定显函数ee0yxy可确定 y 是 x 的函数 , 但不能显化 .函数f为隐函数 .则称隐函数求导方法: 0),(yxf0),(ddyxfx两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程, 解出 即可 )y y 科学出版社例例

2、1. ee0yxy)(xyy 在 x = 0 处的导数.0ddxxy解解:eyyxyyeyyyx ，因 x = 0 时 y = 1 , 01|exy 0确定的隐函数求由方程方程两边对 x 求导(e0)yx故科学出版社例例2. 191622yx在点)3,2(23处的切线方程.解解:8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2( x即03843 yx求椭圆椭圆方程两边对 x 求导科学出版社sin()yxy解解:设隐函数为sin(),yxy求.y将两端对x求导,cos()()yxy xy即cos().1 cos()xyyxy 再将 (1) 式两端对x求导,2si

3、n()(1)yxyy 于是2sin()(1) .cos() 1xyyyxy将y代入, 得2sin()cos()(1)cos()11cos()xyxyyxyxy 得3sin()cos()1xyxy例例3.cos()(1)(1)xyy得cos().xyy科学出版社例例4.4. 设0,0 ,yxxyxy求d.dyx解：解：两边都是幂指函数，yxxy两边取对数，lnln .yxxy两边对x求导,lnyyxx即d( ln)d( ln)yy xyyxx yxx故对ln,xyyy科学出版社二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数若参数方程( )( )xtyt 可确定一个 y 与 x 之间

4、的函数( ),( )tt可导, 22( )( )0,tt则( )0t 时, 有ddyx xttyddddtxtydd1dd( )( )tt ( )0t 时, 有ddxy yttxddddtytxdd1dd( )( )tt (此时看成 x 是 y 的函数 )关系, 且科学出版社若上述参数方程中( ),( )tt二阶可导,22ddyx )dd(ddxyx2( ) t ( )( )tt( )( )tt ( ) t 3( )( )( )( )( )ttttt ytxytdd)dd(ddddxtd( )d( )ytxt )(tx且( )0,t 则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数 .利用新的参数方程

5、,可得科学出版社22dd( )dd( )ytxtt( )( )tt xydd例例5. 设)(tfx, 且,0)( tf求.dd22xy ddxy)(tft )(tf , t22ddyx1)(tf 解解:)()(tftfty这里中的t 是中间变量，所以ddtxdd ( )ddtttx ddtx科学出版社例例6.6.求由摆线的参数方程(sin )(1 cos )xa ttyat所确定的函数 y = y ( x ) 的一阶导数ddyx和二阶导数22d.dyx解：解：ddyxddddytxtsin(1 cos )atatsin1 costt22ddyxdsin1()dd1 cosdtxttt22cos

6、 (1 cos )sin(1 cos )tttt1(1 cos )at21(1 cos )at (2,)tnn为整数科学出版社例例7. 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解：解：速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则2212tgtvyyxo抛射体运动轨迹的参数方程为先求速度大小:科学出版社yxo抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvt

7、ytan12vt gv 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为12arctanvv达到最高点的时刻高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向2vt g22vt g,2gvt 0ddty科学出版社三、相关变化率三、相关变化率)(, )(tyytxx为两可导函数yx ,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式，对 t 求导得相关变化率之间的关系式利用相关变化率，由已知变化率，求出未知变化率.科学出版社例例8.8. 将水注入锥形容器中，34min.m设锥形容器的高为8m, 水面上升的速率.解解:21( )(

8、) ( ),3v trt h t其中 r (t) 是水面半径.又3( )( ),8r th t所以33( )( ).64v th t上式两边对t 求导，ddvt当h=5m ,d4dvt时,5ddhht24 6495256(min).225m顶面直径为6m, 求当水深为5m时, 其速率为设时刻 t 容器内水深 h(t), 水的体积为v (t).得相关变化率：29d( ).64dhh tt科学出版社例例9. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 500h解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 ,则tan500h，两边对 t 求导，得2sectddthdd5001已知,minm140ddth h = 500m 时,1tan22sec1tan ,2sec2td 0)minrad/(科学出版社思考思考: 当气球升至5