数列的综合问题

1、10 数列的综合问题突破点(一)数列求和1. 公式法与分组转化法：(1)公式法；(2)分组转化法；2 .倒序相加法与并项求和法：(1)倒序相加法；(2)并项求和法：在一个数列的前 n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an= ( 1) nf (n)2222 22 22 22类型，可采用两项合并求解.例如，$= 100 99 + 98 97 + 2 1 = (100 99 ) + (98 97 ) + (2 1 ) = (100 + 99) + (98 + 97) + (2 + 1) = 5 050. 3 .裂项相消法：(1)把数列的通项拆成两项111之差，在求和时中间的一些项可以相互

2、抵消，从而求得其和.(2)常见的裂项技巧：=-一 .n n+1n n+11 111 1 1 1 1 1 n n+ 2= 2 n_ n+ 2 . 2n 12n+ 1= 2 2n 1 2n+ 1 . ：n+. n+ 1 = ' n+1 分组转化法求和4.错位相减法例 1 已知数列an,bn满足 a1 = 5,an= 2an1+3n1( n2,n N) ,bn= an3n(nN*).(1)求数列 bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和S.解(1) an= 2an1 + 3n1(n N*, n2), an 3n= 2(an 1 3n 1), bn= 2bn1 (n N, n2). v b1

3、= a1 3 = 2工0,. bn0( n2) ,bnbn 1=2, bn是以2为首项，2为公比的等比数列.bn= 22n1= 2n.n + 13十17n n n2n2nn + 1(2)由(1)知 an= bn+ 3 = 2 + 3 , Sn= (2 + 2 + 2 ) + (3 + 3 + 3 ) = 2+ .方法技巧分组转化法求和的常见类型(1) 若an= bn± Cn，且th , Cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求 Sn的前n项和.tn, n为奇数，(2) 通项公式为an=亠仙町的数列，其中数列bn , Cn是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和.Cn, n为偶数错位

4、相减法求和例2(2016 山东高考)已知数列an的前n项和S= 3n2 + 8n, bn是等差数列，且 an= bn+ bn+1.an+1 n+1bn+ 2 n(1)求数列 bn的通项公式；(2)令Cn =，求数列 Cn的前n项和Tn.解(1)由题意知，当n2时，an= S S1= 6n+ 5,当n= 1时，a= S = 11,满足上式，a1= b1+ b2, 所以an= 6n + 5.设数列bn的公差为d.由a2= b2 + ba,11= 2b1+ d,即所以bn= 3n+ 1.17 = 2b1+ 3d,由(1)知6=63+ = 3(n+ 1)2n+1，又 Tn= C1+ C2+ Cn,3n

5、+ 3得 Tn= 3X 2 X2两式作差，得2+ 3X2 3+ (n+1) X2 n+1 , 2Tn= 3X 2 X 2 3 + 3X 2 4+ ( n+1) X2n+2, Tn= 3X 2 X 2 2+ 23+ 24+ 2n+1 ( n+ 1) X2 n+ 2 = 3n 2n+2，所以 Tn= 3n 2n+2方法技巧错位相减法求和的策略(1)如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列& bn的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列b的公比，j 然后作差求解.(2)在写“ Sn”与“ qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn qS”

6、的表达式.(3)在应用错位相减裂项相消法求和法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.例3 数列an的前n项和为 S= 2n+1 2，数列bn是首项为ai，公差为d(d0)的等差数列，且bi，b3， b9成等比数列.(1)求数列an与 bn的通项公式;2n+ 1(n N*)，求数列cn的前n项和Tn. bn(2)由(1)得 6 =2 1n +1bn= n n + 1a1= 12， 解得d= 2.4n，所以bn+1bn.n+ 144n=4.所以bn是首项为4，公比为4的等比数列.解(1)当 n2 时，3i= S Si 1= 2*1 2 = 2，又 a1= S = 2

7、1十1 一 2 = 2= 21，也满足上式，所以数列an的通项公式为an= 2n.则b1 = a1 = 2.由，b3，k成等比数列，得(2 + 2d)2 = 2X (2 + 8d)， 解得d= 0(舍去)或d= 2,所以数列bn的通项公式为bn= 2n.1 1 1 1 1n币，所以数列cn的前n项和Tn=贡+莎3+科1111111 nnx厂=12+ 2 一 3+.+ n n+7 =1n+r=帝突破点(二)数列的综合应用问题厂一?'等差、等比数列相结合的问题是高考考查的董点,主要有一综合考查等差数列与等比数列列 的定义、通项公式、前 n项和公式、等差 比 中项、等差 比 数列的性质；2重

8、点考查基本量即“知三求二”，解方程组 的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题|2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方|式有： 1以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列 的通项公式或前 n项和； 2根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数 列的单调性、最值等问题.I3.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种：1判断数列问题中的一些不 ！等关系，如比较数列中的项的大小关系等 .2以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的 参数的取值范围等3考查与

9、数列问题有关的不等式的证明问题等差数列与等比数列的综合问题例1 在等差数列an中，a10= 30，a20= 50.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn= 2an 10,证明:数列 bn为等比数列；(3)求数列 nbn的前n项和Tn.a1 + 9d = 30， 解(1)设数列an的公差为d,则an= a1+ ( n 1) d，由ae= 300= 50，得方程组a1+ 19d= 50，所以 an= 12 + ( n 1) x 2= 2n+ 10. (2)证明：由(1)，得 bn= 2an 10= 210 = 2 =(3)由 nbn=nX4，得 Tn= 1 x4+2x4 + nX4，4Tn= 1

10、x4 + (n 1) X4 + nX4 ，一，得一3Tn= 4 + 42+ 4n nx4n+ 141 4n3nx4n+1.所以 Tn=n + 13n 1 x4 + 4方法技巧一一一-一一番差数列、番比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求岀通项、求通项需要先求岀首项和公差(公比)等，确定解题的顺序.(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公 比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的.数列与函数的综合问题例2

11、 设等差数列an的公差为d,点(an, bn)在函数f(x) = 2x的图象上(n N). 证明：数列bn为等比数列；(2)若ai= 1,函数f (x)的图象在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为2 厂芬，求数列anb9方法技巧数列与函数问题的解题技巧 数列与函数的综合问题主要有以下两类：已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究 数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形. 解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此 掌握递推数列的常用解法

12、有助于该类问题的解决.数列与不等式的综合问题例3(2016 郑州质量预测)已知数列an的前n项和为S,且2an 2.(1)求数列an的通项公式； 设bn=log281+ log2a2 + + log2an,求使(n 8)bn> nk对任意n N恒成立的实数k的取值范围.解(1)由 S= 2an 2 可得 日=2.因为 S= 2an 2,n*的前n项和S.In 2解(1)证明：由已知，bn= 2an> 0.当 nl 时，字=2an+1an= 2d. bn1In2所以数列bn是首项为2a1，公比为2d的等比数列. 函数f(x) = 2x在(a2,b)处的切线方程为 y 2a2 = (2

13、 a2 In 2)( x a"，它在x轴上的截距为 a21 1由题意，Q疋=2疋，解得a2=2.所以d=a2 a1=1，所以an=n，bn=2,则anbn=n'(2)由(1)知 an= 2： 则 bn= log 2a1+ log 2a2+-+ log 2an= 1 + 2+ n= nn|+.于是 S= 1 x4+ 2X4 + 3X4 + (n 1) X4 + nX4 ，4S= 1 X 4 2+ 2X 4 所以，当 n2 时，an = S1 S1 -1 = 2an 2 a-1，即 =2.所以 a = 2(n N).+ ( n 1) X4 n+ n X4n+1.因此，S 4S =

14、 4 + 42 + + 4n n 4 + 14n+1 43/ n + 1n41 3n3 4+14.所以 s =要使(n 8) bn> nk对任意n N恒成立，即n 8 n +1> k对任意n N*恒成立.n + 1,3n 14+ 4设6= !（n 8）（ n+ 1），则当n= 3或4时，6取得最小值，为一10,所以k<- 10.即实数k的取值范围为（一汽一10 方法技巧数列与不等式相结合问题的处理方法（1）如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等.如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数

15、列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了.全国卷5年真题集中演练1.(2012 新课标全国卷)数列an满足an+1+ ( 1)nan= 2n 1，则an的前60项和为()A. 3 690 B 3 660 C 1 845D 1 830解析：选 D 不妨令a1=1,根据题意，得a2= 2,a3= a5= a7=1,a4=6,a6= 10,，所以当 n为奇数时，an= 1，当n为偶数时构成以 a2 = 2为首项，以4为公差的等差数列所以前60项和为So= 30+ 2X 30+ 30X2° 一 1X 4= 1 830.(2015 新课标全国卷I) Sn为数列 an的前n项和.已知an>

16、;0 , an+ 2an= 4S1 + 3.(1)求an的通项公式；（2）设bn=，求数列 bn的前门项和.andn + 12 2(1)由 an+ 2an= 4S + 3,可知 an+ 1 + 2an +1 = 4Sn+ 1 + 3.一，得 an+1 an + 2( an+ 1 an) = 43n+ 1 ,22即 2( an+1 + an) = an+1 an= (an+1 + an)( an+1 又 a1+ 2a1 = 4a1 + 3,解得 a1 = 1(舍去)或解:an).由 an >0,得 an+ 1 an= 2.a1 = 3.所以 an= 2n+ 1.(1)解:1 由 an= 2

17、n+ 1 可知 bn=（2014 新课标全国卷n证明(1)数列所以1 1 1anan+12n + 12n+ 322n + 1 2n + 3)已知数列an满足 a1 = 1, an+1 = 3an + 1.an+ 1是等比数列,由 an+ 1 = 3an +1 得n.则 Tn= 32n+ 3并求an的通项公式；（2）证明：-+ - +右a1 a2an 21an+1 + 2 = 311313-an + 2 .又a1+ 2 = 2，所以an+ 2是首项为2，公比为3的等比nan+1= 32,即 an=号.(2)1 2证明：由（1）知-=尸.因为当心1时,3n 1>2X3 n一1,1 1 2 1

18、 .所以3T 2X，即3T厂于是計 苗+匸1+ 3+ 3"1131n 彳=一 13233<.(1)解:（2013 新课标全国卷I求an的通项公式；（1）设an的公差为d,）已知等差数列an的前n项和S满足Ss= 0, S = 5.1求数列 1 的前n项和.a2n 1 a2n +1n n 13a1 + 3d = 0,则 S = na1+d.由已知可得5&+ 10d= 5,解得a1= 1, d故an的通项公式为an= 2 n.1 1由(1)知 azk = F761=2( 2n-3 - 2n-1)，从而数列的前n项和为a2 n- 1a2n+ 1n1-2n.检验咼考能力、选择题

19、1. （2017 皖西七校联考）在数列an中,an=字，若an的前n项和$=畔，则264n=()A. 3 B . 4 C . 52门11解析：选D 由an= 2 = 1 £则321$盲=n-，将各选项中的值代入验证得n= 6.2. 在数列an中，a1= 1, a2= 2, an+ 2- an= 1 + ( 1)n,那么Soo的值为（）A. 2 500B . 2 600 C . 2 700 D . 2 800解析：选B当n为奇数时，an+2 an = 0,所以an= 1,当n为偶数时，an+ 2- an= 2,所以an= n,故1 n为奇数 n n为偶数是 S00= 50 +2+ 10

20、0 X 50 = 2 600.3 .已知数列an的前n项和为S, a1= 1,当n2时，an + 2S-1= n,贝y S2 017 的值为()A. 2 017.2 016 C . 1 009D. 1 007解析：选C因为 an+ 2S1= n, n2,所以 an+1+ 2S = n+ 1, n1,两式相减得 an+1 + an= 1, n2.又 a1 = 1，所以 S2 017 = a1 + (a2+ a3)+ ( a2 016 + a2 °仃)=1 009，故选 C.4设S是公差不为0的等差数列an的前n项和，S ,S,S成等比数列，且as=-号,则数列12n+1an的前n项和Tn= （）A .-鼎C2n2n+ 1解析：选C a1=-5或a1=- 1.当51a1 = -2时，公差d= 0不符合题意，舍去；当 a1 = - 2时，公差da3 a11112=- 1，所以 an=- + ( n-1) x ( - 1) =- n+ 5= ?(2 n- 1)，故选C.二、填空题5.已知数列an满足an+1 = 2+ g-a2，且a=匕 则该数列的前2 016项的和等于112解析：因为 a1 = 2, 又 an +1 =+ . an - an, 所以 a2 = 1 ,从而1a3 = 2a4 = 1 ,即得 an =n= 2k 1 k N ,故数列的前2