数列解题技巧归纳总结

1、数列解题技巧归纳总结等差数列与等比数列:等差数列等比数列文 字 疋 义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符 号 疋 义an*一 an= d邑=q(q式0)an分类递增数列：d > 0递减数列：d < 0常数数列：d = 0递增数列：ar > 0, q=1 或 ar < 0,0 < : 1 递减数列：ar <0, q< 1 或 a!>0,0

2、<:q<:1 摆动数列：q < 0常数数列：q = 1通 项an =印 十(n _ 1)d = pn +q = am + (n _m)d其中 p =d,q = ar _dn-1n-man = ag二 amq(0)刖n项 和cn(q+an)丄 n(n1)d2 丄Sn -2_n& +2_卩门十4门卄dd其中p=2，q=ar刁S =a1(qn)：(qf1 -qW(q=1)中 项a, b, c成等差的充要条件：2b = a +ca,b, c成等比的必要不充分条件：b2 = ac主 要 性 质等和性：等差数列an若 m + n = p + q 则 am + an = ap +

3、aq 推论：若 m + n = 2p则 am +a. =2apan "an -k 2anQ= O+ O= O+ Oa1ana2anda3an-2即:首尾颠倒相加，则和相等等积性：等比数列an若 m * n = p + q 则 am an = ap aq2推论：若 m+n = 2p则am，an = (ap)an+k ' an-k = (an )a1 an a2 an-1 a3 an-2即:首尾颠倒相乘，则积相等苴丿、1、等差数列中连续 m项的和，组成的新数列 是等差数列。即：Sm , S2m Sm , S3m S2m ,等差，么差为1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数

4、列。即：Sm, s2m 一 Sm, %m 一 s2m,'''等比， 公比为qm。m2d则有= 3（勺皿一 Sm）2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列 是一个等比数列。2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是 一个等差数列。如: a1,a4,a7,a10-（下标成等差数列）如：印厶耳®。，（下标成等差数列）3、aJXb等比，则a?,a2nj，ka.3、a, bn等差，则牯2,，也等比。其中k式04、等比数列的通项公式类似于 n的指数函数，它kq +b, pan +qbn也等差。即：a. =cqn，其中cq等比数列的前 n项和公式是一个平移加振4、等差数列a

5、n的通项公式是n的一次函数，即：an =dn +c( d 式 0)幅的n的指数函数，即：片=cqn - c（q鼻1）等差数列an的前n项和公式是一个没有常5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数 列是等比数列。数项的n的二次函数，性即：Sn = An2 + Bn( d 式 0)5、项数为奇数2n-1的等差数列有：s奇n=s奇- Sf禺ana中s偶n -1S2n a = (2 n -1)an项数为偶数2n的等差数列有：质蹈an人,s偶s奇-ndS偶andtS2n = n(an *anHf)6、an =m,am = n则 am+ =0Sn =Sm 则 Sm4n =0( n 式 m)Sn =m,Sm

6、 =门则 SmHn =-(m+ n)证证明一个数列为等差数列的方法：证明一个数列为等比数列的方法：明 方仁定义法：an十-an =d（常数）1、定义法：弘比q（常数）an法2、中项法：an 斗+an 十=2an（ n2）2、中项法：'an卅=(an) (n 2,a0)设三数等比： ,a, aq或a, aq, aq2q元 技三数等差：ad,a,a+d巧四数等差：a _3d,a _d,a+d,a+3d四数等比： a, aq, aq2,aq3联 系1、若数列laj是等差数列，则数列ICa4是等比数列，公比为Cd ,其中C是常数，d是a. 的公差。2、若数列an是等比数列，且a. >0，

7、则数列 是常数且a >>0,a式1 , q是an的公比。logaan是等差数列，公差为logaq，其中a数列的项an与前n项和Sn的关系:（2）lSn_Sn（n >2）数列求和的常用方法：1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法：适用于差比数列(如果 订鳥等差，仏？等比，那么aA?叫做差比数列)即把每一项都乘以bn?的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列（其中祐鳥等差） an an d I j :'an '

8、; . an 11 1 1 1可裂项为：_（_ 一），an an + d an a+1等差数列前n项和的最值问题:1、若等差数列 春的首项a10，公差d : 0，则前n项和Sn有最大值。(i) 若已知通项 an，则Sn最大=一0©n十乞0(ii)若已知Sn二pn2qn，则当n取最靠近-且 的非零自然数时Sn最大;2p2、若等差数列；£和的首项31 : 0 ,公差d 0，则前n项和Sn有最小值(i)若已知通项 an,则Sn最小=a* 02q(ii)若已知 Sn = pn qn，则当n取最靠近 的非零自然数时Sn最小;2p数列通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公

9、式。已知Sn (即ai a2 |( a* = f (n)求an,用作差法：a ；S,( n = 1) an 一 S -需of(1),( n=1)已知 aiLa2“_an = f (n)求 an,用作商法：a* = f (n) (n * 2)。-)已知条件中既有 Sn还有an，有时先求Sn，再求 务；有时也可直接求a.。若 an 1 -an =f (n)求an 用累加法：a(aanj) - (a. d - an_2 )丨1( g -印) a1 (n _ 2)。已知也 =f( n)求an，用累乘法：an二旦也川宅a1 (n _ 2)。anan d an_2a1已知递推关系求 an，用构造法(构造等

10、差、等比数列)特别地，(1)形如akanj b、akanj bn( k,b为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化 为公比为k的等比数列后，再求an ；形如a. =kan-kn的递推数列都可以除以 kn得到一个等差数列 后，再求an。a(2) 形如an口 的递推数列都可以用倒数法求通项。kanJL +bk(3) 形如an 1 -an的递推数列都可以用对数法求通项。(7) 数学归纳法。(8) 当遇到an1 -anj二d或 也 =q时，分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段。an一、典型数列的技巧解法1、求通项公式(1 )观察法。(2)由递推公式求通项。对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递

11、推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 递推式为an+i=an+d及an+i=qan (d, q为常数)【例1】 已知an满足an 1二a* 2，而且ai = 1,求an。1【例2】已知a*满足an 1二尹.，而a2，求a*。 递推式为an+1=an+f ( n)1 1【例3】 已知an中, an1 “n牙，求an。24n -1 递推式为an+1=pan+q (p, q为常数)【例 4】an中，=1，对于 n> 1 (n N)有 an = 3an2，求 an 。 递推式为an+1=p an+q n (p, q为常数)【例5】己知仏中，餌二了 g+i二耳+ ()叫求蛰(5)递推式为 a

12、* 2 二 pan 1 qan思路：设 an 2 = pan 1 - qan,可以变形为：an .2 -an 1 =7(an .1an),(CL + 6 :p解得a,厂“卩“想于是a n+1- a 是公比为3的等比数列，就转化为前面的类型。21【例 6】an中，c =1,a2 =2,an .-an 1 -an,求a.。33(6)递推式为S与an的关系式】(n = l)n -S Cn>2)【例门1丄卜关系;此类型可利用弧(2)试用n表示ano2 .数列求和问题的方法(1 )、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前._-口(11+1)1 + 2 + 3+n二 ' 、&#

13、39;21 + 3+ 5+ (2n-1)=nn项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。F+NF+宀 g)(加+1),6F+夕+爭+¥二匹孚儿【例 8】 求数列 1, (3+5), (7+9+10), (13+15+17+19),前 n 项的和。(2 )、分解转化法对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1 (n2-1 ) + 2 (n2-2 2) +3 ( n2-32) + +n ( n2-n 2)(3 )、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。【例 10】求和：Sn =3

14、C： 6C： III nC；(4) 、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和.【例11】 求数列1, 3x, 5x2,(2n-1)x n-1前n项的和.、裂项法把通项公式整理成两项(式多项)差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法：1 1n + kJl1 1ti(n +k) k n1 _ 1n(n + l)(n + 2) 2n n + 1 n + 2 + k -Jn 十 Jn + k kL111 1例 12】 求和'11|1 *5 3 *759(2n1)(2n+3)注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用二、常