2022年角平分线的性质

1、学习必备欢迎下载教案标题角平分线的性质教师姓名学生姓名学科数学适用年级初中二年级适用范围全国教学目标知识目标1角平分线的画法、角平分线的性质; 2. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题. 能力目标.1 掌握角平分线的性质; 2 会用尺规作一个已知角的平分线. 情感态度价值观在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神, 体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质. 知识点角平分线的定义; 角平分线的性质; 角平分线的判定. （注意 ：知识点标注要与试题库中所给知识点一致）重难点重点：利用尺规作已知角的平分线角平分线的性质难点：根据具体的条件，选用圆的一

2、般方程解决有关的实际问题.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载知识讲解1、角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。2、角平分线的性质1、角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半；2、角平分线上的点到该角两边的距离相等。3.、角平分线的判定在角的内部

3、，到该角两边距离相等的点在该角的平分线上。例题讲解考点一作角的平分线例 1 如图，已知点c为直线ab上一点，过c作直线cm，使cmab于c。【答案】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【规范解答】作法：1、以 c为圆心，适当的长为半径画弧，与ca 、cb分别交于点d 、e；2、分别以d、 e为圆心，大于12de 的长为半径画弧，使两弧交于点m ；3、作直线cm 。所以，直线cm 即为所求。【总结与反思】此题要求 “大于12de 的长为半径” 的理由是： 半径如果小于1

4、2de ，则两弧无法相交；而半径如果等于12de ，则两弧交点位于c点处，无法作出直线cm 。在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。考点二角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。角平分线性质的符号语言：p在aob的平分线上精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载pdoa于d，peob于epdpe例 2 如图，ad是

5、abc的角平分线，deab，dfac， 垂足分别是,e f 。 连接ef，交ad于点g。说出ad与ef之间有什么关系？证明你的结论。【答案】efad，且egfg.【规范解答】efad，且egfg证明：ad平分bacdeab，dfac，垂足分别是,e fdedf在rtdea和rt dfa中dedfadadrtdeartdfa（hl）adeadf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载在 dge 和 dgf中dedfgdegdfdgdgdgedgf（sas ）egfg，90d

6、gedgfefad，且egfg。【总结与反思】通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。例 3 如图，d是abc的外角ace的平分线上一点，dfac于f，debc于e，且交bc的延长线于e。求证：cecf。【答案】cecf【规范解答】cd是ace的平分线，dfac于f，debc于e90decdfc，dedf在rtdec和rt dfc中dcdcdedfrtdecrtdfc（hl ）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

7、 - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载cecf【总结与反思】 利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。小结：运用角平分线的性质时应注意以下三个问题：（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。考点三角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上。角平分线判定的符号语言：pdoa于d，peob于e且pdpep在aob的平分线上（或写成op是aob的平分线）

8、例 4 如图，becf，dfac于f，deab于e，bf和ce交于点d。求证：ad平分bac。【答案】见规范解答精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【规范解答】dfac于f，deab于e90debdfc在bde和cdf中debdfcbdecdfbecfbdecdf（aas ）dedf又dfac于f，deab于ead平分bac。【总结与反思】判定角的平分线时若题目中只给出一个条件dedf或dfac，deab，那么得出ad平分bac这一结论是错误的。例 5 如图，,f g

9、 是oa上两点，,m n 是ob上两点，且fgmn，pfgpmnss，试问点p是否在aob的平分线上？【答案】p在aob的平分线上。【规范解答】证明：过点p作pdoa于 d ，peob于 e 12pfgsfgpd ，12pmnsmnpe ，而pfgpmnss精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载1122fgpdmnpe又fgmnpdpe又pdoa于 d，peob于 e p在aob的平分线上。【总结与反思】利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优

10、势，比如它不要求考虑线段的位置关系。小结：角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。考点四角平分线的综合应用例 6 如图，在abc中，90c，ad平分bac，deab于e，f在ac上，bddf。求证：cfeb。【答案】 见规范解答【规范解答】精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载ad平分bac，90c，deabdcde在rtfcd与rt bed中dcded

11、fbdrtfcdrtbed（hl）cfeb。【反思与总结】掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。例 7 如图，已知在abc中，bddc，12。求证：ad平分bac。【答案】 见规范解答【规范解答】过点 d作deab于 e，dfac于 f 故，90bedcfd在bde与cdf中12bedcfdbdcdbdecdf（aas ）dedf精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载又deab于 e，dfac于 f ad平分bac。【反思与总结】

12、当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线。小结：用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载课后作业（注意 ：题目可以来自试题库，但注意题目选择要有层次性）a. 基础题自测1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）a. 三条中线的交点b.

13、 三条边的垂直平分线的交点c. 三条高的交点d. 三条角平分线的交点【答案】 d 【规范解答】角平分线的性质：角平分线上的点到该角两边的距离相等。2、 在r t a b c中，90c，ad平分bac， 交bc于点d， 若32bc， 且:9 : 7b d c d，则点d到ab的距离为（）a. 18 b. 16 c. 14 d. 12 【答案】 c 【规范解答】a e c d b 过 d作 de垂直于 ab ，因为 bc=32 ，且:9: 7bdcd，所以 bd=18 , cd=14 ，又因为角平分线上的点到该角两边的距离相等，所以d到 ab的距离为14。3、如图，直线123,l ll 表示三条互

14、相交叉的公路，现要修建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有（）a. 一处b. 两处c. 三处d. 四处【答案】 d 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【规范解答】 因为到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，所以可供选择的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平分线的交点处，如图，可供选择的地址有p1、p2、p3、 p4共四处，答案为四处。4、 如图，abc中，90c， 点o为abc的三条角平分线的交点，o

15、dbc，oeac，ofab，点,d e f 分别是垂足，且10abcm，8bccm，6cacm，则点o到三边,ab ac bc 的距离分别等于（） cma. 2 、2、2 b. 3 、3、3 c. 4 、4、4 d. 2 、3、5 【答案】 a 【规范解答】角平分线上的点到该角两边的距离相等，所以设od=oe=of=r，因为(6-r)，r=2，所以点o到三边,ab ac bc 的距离分别等于2cm。b.中档题演练1、如图，已知,ba ca 分别是dbc，ecb的平分线，bdde，cede，垂足分别为,d e ，则da与ea有怎样的数量关系_。【答案】daea精品学习资料 可选择p d f -

16、- - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载2、已知abc中，90c，ad平分a，2adbdcd，点d到ab的距离等于5.6 cm ，则bc的长为 _ cm。【 答案】16.8【规范解答】解 :作 de ab于点 e ad平分 a，dc ac ，de ab cd de 5.6 bd 2cd 11.2 bc bc cd 16.8 3、 8. 如图， bd 是abc的平分线，deab于 e，dfbc于 f，236abcscm，18abcm，12bccm，则 de的长是 _。【答案】125cm【规范解答】解：abd

17、cbd，deab，dfbcdedfabdcbdabcsss1118123622dedf(96)36de，125dec.难题我破解1. 如图，ab/cd，90b，e是bc的中点，de平分adc。 求证：ae平分dab。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载【答案】 见规范解答【规范解答】证明：过点e作efad于 f de平分adc，ecdc，effdceef又cebeefbe又efaf，beabae平分dab。2如图，已知在四边形abcd中，180bd，ac平分bad，cead，e为垂足。求证：2abadae。【答案】见规范解答【规范