(完整版)2013年高考理科数学陕西卷word解析版

1、2013年高考理科数学陕西卷word解析版2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（陕西卷）注意事项：1 .本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题.2 .考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信 息.3 .所有解答必须填写在答题卡上指定区域内.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. （2013陕西，理1）设全集为R,函数f（x）=11 x2的定义域为 M,则心口“为（）.A. -1,1B. （-

2、1,1）C.（巴1U1 , +8）D. （ 8, 1）U（1 , +8 ）答案：D解析：要使函数f（x）=J1 x2有意义,则1-x2>0,解彳导一1<x< 1,则M = -1,1, CrM = （8, -1) U (1 , + 8).)2. (2013陕西，理2)根据下列算法语句，当输入 x为60时，输出y的值为(输入.门：；If Then：F、y 0.了廨： y 25 -F 0, 6 * (.r- 50)：HEnd If：|:输出¥:A. 25 B. 30 C. 31 D. 61答案：C05xx 50.解析：由算法语句可知y ,25 0.6 x 50 ,x 50

3、,所以当 x= 60 时，y= 25+0.6X （6050） = 25+6=31.3. （2013 陕西，理 3）设 a, b 为向量，则 “ |a b|= |a|b|" 是 “ a/ b” 的（）.A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案：C解析：若a与b中有一个为零向量，则“|ab|=|a|b|"是“a/b”的充分必要条件；若a与b都不为零向量，设a与b的夹角为0,则a b= |a|b|cos 0,由|a b|= |a|b|得|cos 0|= 1,则两向量的夹角为 0或兀，所 以a 11b.若a/b,则a与b同向或反向，故两

4、向量的夹角为0或兀，则|cos q= 1,所以|a b|= |a|b|,故"|a b|= |a|b|"是“a/b”的充分必要条件.4. （2013陕西，理4）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为（）.A . 11 B. 12 C. 13 D. 14答案：B解析：840+42= 20,把1,2,，840分成42段，不妨设第1段抽取的号码为1,则第k段抽取的号码为 1 + （k 1） 2 0,K1<20,1<k< 42.令 481 <1 +

5、 （k- 1） 2 0< 720,得 25+ 1- w kW37 - -l-.由 1 w 1W 20,2020则25wkw 36.满足条件的k共有12个.5. （2013陕西，理5）如图，在矩形区域 ABCD的A, C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围 分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的I率是（）.A . 1C. 2答案：花4花2 A花B. 12D.r l一冗，、斛析：S矩形ABCD= 1X2=2, S扇形ADE= S扇形CBF =.由几何概型可知该地点无信号的概率为rS矩形ABC

6、DS扇形ADES扇形CBFP=S矩形ABCD6. （2013陕西，理6）设Z1, Z2是复数，则下列命题中的假 命题是（）.A .若 |Z1-Z2|= 0,则 z z2B .若 z,4 ,则 z,4C.若忆11=忆2|，则 z ziz2 zD .若忆1|=|z2|,则 z12= z22答案：D解析：对于选项A ,若忆1 z2|= 0 ,则z1 = z2,故z1z2,正确；对于选项B,若z1z2,则z1z2z2, 正确；对于选项C,z1z1=|z1|2,z2 z 2=|z2|2,若忆1|=|z2|,则乙 乙z2z2,正确；对于选项D,如令z1= i + 1, z2= 1 i,满足 |z"

7、;=|z2|,而 z12=2i, z22=2i,故不正确.7. （2013陕西，理7）设4ABC的内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c,若bcos C+ ccos B = asin A,则 ABC的形状为（）.A .锐角三角形B .直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案：B解析：bcos C+ ccos B= asin A,由正弦定理得 sin Bcos C+sin Ccos B= sin2A, .sin(B+C) = sin2A,故4ABC为直角三角形.28. （2013陕西，理8）设函数f（x） =A. 20答案：AB.2061 x -xx,xC. 15,x0,解析：当x&g

8、t;0时,f(x) =6Vx <0,则ff(x) =&Tr1 C6('、x)661、,x .6(1)rC6x-0,则当x>0时，ff（x）表达式的展开式中常数项为 （）.D.151)rC6x3,.令 3-r=0,得 r=3,此时 T4=(-1）3C3 = 20.9. （2013陕西，理9）在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于 300 m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是（)A . 15,20C. 10,30 答案：CB. 12,25D. 20,30 x解析：设矩形另一边长为 y,如图所本.一 404040,贝U x=40y,

9、 y=40x.由 xy>300,即 x(40 即 sin A= sin2A.又 sin A>0, sin A=1, 1- A11 / 14x) >300,解得 10<x<30,故选 C.10. （2013陕西，理10）设凶表示不大于x的最大整数，则对任意实数x, v,有（）.A. x= xB. 2x = 2xC. x + ywx + y D. x-y < x - y答案：D解析：对于选项 A,取 x=1.1,则x=1.1 = 1,而一x = 1.1 = （2） = 2,故不正确；对 于选项 B,令 x= 1.5,则2x=3 =3,2x = 21.5 = 2,

10、故不正确；对于选项C,令 x= - 1.5, y=2.5,则x+y = 4 = 4, x = 2, y = 3, x+ y = 5,故不正确；对于选项D,由题意可设 x=x +氏0w 3V 1, y=y+ 供0w 但<1,则 x-y=xy+ 3伏，由 0w 3<1, 1<-印w0,可得一1v 3 便v 1.若 0w 3 但< 1,则xy = xy+ 印一回=凶一y;若一1v e一印<0,则 0<1+ 印一但v 1, x-y = x- y+ 31- 32= x-y-1+ 1+ 印一阅=xy1 v x y,故选项 D 正确.第二部分（共100分）二、填空题：把答

11、案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.一一 一x2y2 511. （2013陕西，理11）双曲线1的离心率为一，则m等于.16 m4答案：9c 5斛析：由双曲线方程知a=4.又e - ,解得c= 5,故16 + m=25, m = 9.a 412. （2013陕西，理12）某几何体的三视图如图所示，则其体积为 .答案：-r=1, Wj SO=2,贝U V 几何体3解析：由三视图可知该几何体是如图所示的半个圆锥，底面半圆的半径13. （2013陕西，理13）若点（x, y）位于曲线y=|x1|与y=2所围成的封闭区域，则 2xy的最小值为答案：4一一、X 1,

12、x 1,解析：由y= |x- 1|=及y= 2画出可行域如图阴影部分所示.X 1,x 1令2x- y=z,则y=2x-z,画直线lo： y = 2x并平移到过点 A(1,2)的直线l,此时一z最大，即z最小 =2X (1) 2= 4.14. (2013陕西，理14)观察下列等式12= 112-22=- 312- 22+ 32=612- 22+ 32-42=- 10照此规律，第n个等式可为 .答案：12 22+ 32 42+ (-1)n+ln2=(- 1)n+1n 12解析：第n个等式的左边第n项应是(1)n+1n2,右边数的绝对值为1 + 2+3+ n= n-n-,故2有 12- 22+ 32

13、-42+ +(-1)n + 1n2=(-1)n + 1n-n.215. (2013陕西，理15)(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)A.(不等式选做题)已知a, b, m, n均为正数，且 a+b=1, mn=2,则(am+bn)(bm+an)的最小值为答案：2解析：(am+ bn)(bm+an)= abm2+ (a2+ b2)mn+ abn2= ab(m2+ n2)+ 2(a2+ b2) > 2abmn + 2(a2 + b2)= 4ab + 2(a2 + b2) = 2(a2+2ab+b2) = 2(a+b)2=2(当且仅当 m= n= J2 时等

14、号成立).B.(几何证明选做题)如图，弦AB与CD相交于e O内一点E,过E作BC的平行线与 AD的延长线 交于点P,已知 PD = 2DA = 2,则PE =.答案：6解析：ZC与人A在同一个e O中，所对的弧都是 ?D ,则/C=/A.又PE/BC,，/C=/PED.一一 PE PD 0一= /PED.又/P=/P, .妒EDs/pae,贝(J .PE2=FAPD.又 PD = 2DA = 2, .FA=PD + DAPA PE '=3, ,.PE2=3X2=6, .-.PE= 76 .C.(坐标系与参数方程选做题 )如图，以过原点的直线的倾斜角。为参数，则圆x2+y2x=0的参数

15、方程为.由 x2+y2x=0 得，x2 + x2tan20 x=0, x=时，x= 0, y=0也适合题意，故参数方 2（本大题共6小题，共75分）.16. （2013陕西，理16）（本小题满分12分）已知向量a=数 f（x） = a b.（1）求f（x）的最小正周期；1cosx 一 , b=(V3sin x, cos 2x), xCR,设函 22上 x cos , 答案：（。为参数）y sin cos解析：由三角函数定义知 =tan 0（xw0）, y= xtan 0, x17 = cos 0,贝U y= xtan 0= cos2 Otan 0= sin Qcos 0, 又1 tan22一

16、x cos ,程为,（0为参数）.y sin cos三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(2)求f(x)在0,一上的取大值和取小值.21 斛：f(x)= cosx, (百sin x, cos 2x)2= 33 cos xsin x- cos 2x=-sin 2x一工 cos 2x22冗冗=cossin 2x sin cos 2x66=sin 2x .6 2兀2兀(1)f(x)的取小正周期为 T 九,即函数f(x)的最小正周期为兀.一 一冗(2) /0<x< 一 ,兀兀 5兀. 2x .由正弦函数的性质，666_ 冗 冗冗.当2x ，即x 时，f(x)取得最大值1.62

17、31当 2x -,即 x= 0 时，f(0)=，662“入 九 5 rr冗 -冗 1当2x 冗，即x 时，f ,66222，f(x)的最小值为1.2因此，f(x)在0,上最大值是1,最小值是 一.2217. (2013陕西，理17)(本小题满分12分)设an是公比为q的等比数歹U.(1)推导an的前n项和公式；(2)设qw1,证明数列an+1不是等比数列.(1)解：设an的前n项和为Sn,当 q = 1 时，Sn= a1 + a1 + + a1 = na1 ；当 q w 1 时，Sn= a1 + a1q+ aq2+ + a1qn1,qSn= aq+aq2+ a1qn, 一得，(1 - q)Sn

18、= a1 - a1qn,Sn,Snna1 ,q1,a1 1 qnd-,q 1.1 q(2)证明：假设an+1是等比数列，则对任意的kC N+,(ak+1+ 1)2= (ak+ 1)(ak+2 +1), 2 ,ak 1 + 2ak+ 1+1 = akak+ 2+ ak+ak+2+ 1,a12q2k+ 2aqk= aqk 1 a1qk+1 + a1qk 1 + a1qk+1,/a10, .-.2qk= qk 1+qk+1. qw0, .q2-2q+ 1 = 0, q= 1,这与已知矛盾，假设不成立，故an+1不是等比数列.18. (2013陕西，理18)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD A

19、1B1C1D1的底面ABCD是正方形, 面中心，AC平面 ABCD, AB=AAi= 72 .。为底2013年高考理科数学陕西卷word解析版证明：AC平面BBiDiD;(2)求平面 OCBi与平面BBiDiD的夹角。的大小.证法一：由题设易知OA, OB, OAi两两垂直，以 。为原点建立直角坐标系，如图. AB= AAi = 21 ,.QA=OB=OAi = i, .A(i,0,0), B(0,i,0), C(-i,0,0), D(0, - i,0), Ai(0,0,i). umuruur由 AB = AB ，易得 Bi(-i,i,i). uuruuur. AP =(-i,0, i), B

20、D=(0, 2,0), uuurBBi = (-i,0,i), uur uuiruuir uuir .AP BD =0, AC BR =0,. AiCXBD, AiC± BBi, .AiC,平面 BBiDiD.证法二：.Ai。，平面 ABCD, .-.AiOlBD.又. ABCD 是正方形，BDXAC,，BD，平面 AiOC, .-.BDlAiC.又,OAi是AC的中垂线，.工心=人£= J2 ,且AC= 2, ,.AC2= AAi2 + AiC2,AiC是直角三角形, AAiXAiC.又 BB1/AA1, .1.AiCXBBi,AiC，平面 BBiDiD.(2)解：设平面

21、OCBi的法向量n=(x, v, z), uuuruuir.OC =(-i,0,0), O4=(i,i,i),UULTn OCx 0,x 0,uuurn OBix y z 0, y 乙取 n = (0,i , i),LUIT由(i)知，AC =(-i,0, i)是平面BBiDiD的法向量, .cos 0= |cosn ,uuuriAC" |=7TV2一一九冗又.0W 陛 一，. 一23i9. （20i3陕西，理i9）（本小题满分i2分）在一场娱乐晚会上，有 5位民间歌手（i至5号）登台演唱，由现 场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是

22、i号歌手的歌迷，他必选i号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱， 因此在i至5号中随机选3名歌手.（i）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.解：（i）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，口C22c2则 P（A）=W-，P（B）= 73C33C5事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A B ) = P(A) P(B ) = P(A) i P(B)=24.或 P AB5 i5C2 c4C2 c54_i5（2

23、）设C表示事件“观众丙选中C23号歌手”，则P(C)= -3c5X可能的取值为0,i,2,3,且取这些值的概率分别为P(X = 0)= P(ABC)i 2 2 j43 5 5 75P(X=i)= P(ABC)2 2 2 i 3=-一3 5 5 3 5P(ABC)P(ABC)2i2320一一一一一,5355752 3 2P(X = 2)=P(ABC)+P(ABC) + P(ABC)= 3 5 53375'2 3 3 i8P(X = 3)= P(ABC)=- 一一 一, 3 5 5 75. X的分布列为X0i23P42033i875757575X的数学期望EX = 02033i8i4028

24、i -2 -3 -75757575i547520. (2013陕西，理20)(本小题满分13分)已知动圆过定点 A(4,0),且在y轴上截得弦 MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹 C的方程；(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点 P, Q,若x轴是/ PBQ的角 平分线，证明直线l过定点.(1)解:如图，设动圆圆心 O1(x, v),由题意，|O1A|=|O1M|,当。1不在y轴上时，过O1作O1HLMN交MN于H,则H是MN的中点, .O1M | . x2 42 ,又 101A|x 4 2 y2 ,x 42 y2化简得 y2 = 8x(xw0).又当01在

25、y轴上时，01与。重合，点01的坐标(0,0)也满足方程y2=8x, ，动圆圆心的轨迹C的方程为y2= 8x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为y=kx+b(kw0), P(x1，y1)，Q(x2, y2),将y=kx+b代入y2=8x中, 得 k2x2+ (2bk-8)x+b2=0, 其中= 32kb+64>0.13 / 142013年高考理科数学陕西卷word解析版由求根公式得，xi+x2= 8 2bk , C k2b2exix2= -2-,k2因为x轴是/PBQ的角平分线，所以y ,为 1x2 1即 y1(x2+ 1) + y2(x1+ 1)= 0,(kx1 + b)(x2+ 1

26、)+ (kx2+ b)(x1+ 1)=0,2kx1x2+ (b+ k)(x1 + x2) + 2b= 0,将，代入得 2kb2+(k+ b)(8-2bk) + 2k2b = 0,，k= b,此时 A> 0,，直线l的方程为y=k(x1),即直线l过定点(1,0).21. (2013陕西,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ex, xC R.(1)若直线y= kx+ 1与f(x)的反函数的图像相切，求实数 k的值；(2)设x>0,讨论曲线y= f(x)与曲线y= mx2(m>0)公共点的个数；(3)设avb,比较 U"与“一匚土的大小，并说明理由.2ba解：

27、(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x.设直线y= kx+ 1与g(x) = ln x的图像在 P(x。，y0)处相切，1则有 y0=kx0+1 = ln xo, k=g(x0)=一,xe ,2"与y = m的公共点个数.xx0(2)曲线y= ex与y = mx2的公共点个数等于曲线17 / 14x人e 令 x2，则xx、 e x 2(x) 3，x,飞'(2) = 0.当 xC (0,2)时，。(x)<0, (f(x)在(0,2)上单调递减;当 xC(2, +8)时，。(x)>0, &x)在(2, +8)上单调递增,2e.(f(x)在(0, +8)上的最小值为(2) .2, e 当0vmv