2022年重庆中考数学24题

1、重庆中考数学24 题专题练习1、如图，等腰梯形abcd 中， ad bc，ab=dc ，e 为 ad 中点，连接be，ce （1）求证： be=ce ；（2）若 bec=90 ，过点 b 作 bf cd，垂足为点f，交 ce 于点 g，连接 dg，求证： bg=dg+cd 2、如图， 在直角梯形abcd 中， adbc，abc=90，e 为 ab 延长线上一点， 连接 ed，与 bc 交于点 h过e 作 cd 的垂线，垂足为cd 上的一点f，并与 bc 交于点 g已知 g 为 ch 的中点（1）若 he=hg ，求证： ebh gfc；（2）若 cd=4，bh=1 ，求 ad 的长3、如图，梯

2、形abcd 中， abcd，ad=dc=bc ， dab=60，e 是对角线ac 延长线上一点，f 是 ad 延长线上的一点，且ebab，efaf（1）当 ce=1 时，求 bce 的面积；（2）求证： bd=ef+ce 4、如图在平行四边形abcd 中， o 为对角线的交点，点e 为线段 bc 延长线上的一点，且过点 e efca ，交 cd 于点 f，连接 of精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - -（1）求证： ofbc；（2）如果梯形obef 是等腰梯形，判断四边形abcd 的形

3、状，并给出证明5、如图，梯形abcd 中，ad bc，abc=90，bfcd 于 f，延长 bf 交 ad 的延长线于e，延长 cd 交 ba的延长线于g，且 dg=de ，ab=，cf=6（1）求线段cd 的长；（2）h 在边 bf 上，且 hdf= e，连接 ch，求证： bch=45 ebc6、如图，直角梯形abcd 中， ad bc， b=90 ， d=45 （1）若 ab=6cm ，求梯形abcd 的面积；（2）若 e、f、g、h 分别是梯形abcd 的边 ab 、bc、cd、da 上一点，且满足ef=gh ， efh= fhg ，求证： hd=be+bf 7、已知：如图，abcd

4、中，对角线ac ，bd 相交于点o，延长 cd 至 f，使 df=cd ，连接 bf 交 ad 于点 e（1）求证： ae=ed ；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - -（2）若 ab=bc ，求 caf 的度数8、已知：如图，在正方形abcd 中，点 g 是 bc 延长线上一点，连接ag，分别交bd 、cd 于点 e、f（1）求证： dae= dce；（2）当 cg=ce 时，试判断cf 与 eg 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论9、如图，已知正方形abcd ，点 e 是 bc

5、上一点，点f 是 cd 延长线上一点，连接ef，若 be=df ，点 p 是 ef的中点（1）求证： dp 平分 adc ；（2）若 aeb=75 ，ab=2 ，求 dfp 的面积10、如图，在直角梯形abcd 中， ad bc， abc=90，bd=bc ，e 为 cd 的中点，交bc 的延长线于f；（1）证明： ef=ea ；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - -（2）过 d 作 dgbc 于 g，连接 eg，试证明： eg af11、如图，直角梯形abcd 中， dab=90，a

6、b cd，ab=ad ，abc=60 度以 ad 为边在直角梯形abcd外作等边三角形adf ，点 e 是直角梯形abcd 内一点，且 ead= eda=15 ，连接 eb、ef（1）求证： eb=ef ；（2）延长 fe 交 bc 于点 g，点 g 恰好是 bc 的中点，若ab=6 ，求 bc 的长12、如图，在梯形abcd 中， ad bc，ab=dc=ad ， c=60 ， aebd 于点 e， f 是 cd 的中点， dg 是梯形 abcd 的高（1）求证： ae=gf ；（2）设 ae=1 ，求四边形degf 的面积13、已知，如图在直角梯形abcd 中， ad bc， abc=90

7、，deac 于点 f，交 bc 于点 g，交 ab 的延长线于点 e，且 ae=ac ，连 ag （1）求证： fc=be ；（2）若 ad=dc=2 ，求 ag 的长精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - -14、如图，直角梯形abcd 中， ad bc， abc=90，点 e 是 ab 边上一点， ae=bc ，deec，取 dc 的中点 f，连接 af、 bf（1）求证： ad=be ；（2）试判断 abf 的形状，并说明理由15、 （2011?潼南县）如图，在直角梯形abcd 中，

8、 ab cd，ad dc，ab=bc ，且 ae bc（1）求证： ad=ae ；（2）若 ad=8 ，dc=4，求 ab 的长16、如图，已知梯形abcd 中， ad cb，e，f 分别是 bd ，ac 的中点， bd 平分 abc （1）求证： aebd ；（2）若 ad=4 ，bc=14 ，求 ef 的长精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - -17、如图，在梯形abcd 中， ad bc， d=90 ，beac， e 为垂足， ac=bc （1）求证： cd=be ；（2）若 ad

9、=3 ，dc=4，求 ae18、如图，在梯形abcd 中， ad bc，abac， b=45 ， ad=1 ，bc=4，求 dc 的长19、已知梯形abcd 中， ad bc，ab=bc=dc ，点 e、f 分别在 ad、ab 上，且（1）求证： bf=efed；（2）连接 ac，若 b=80 ，dec=70 ，求 acf 的度数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - -20、如图，梯形abcd 中， ad bc ，点 e 在 bc 上， ae=be ，且 afab ，连接 ef（1）若

10、efaf，af=4 ，ab=6 ，求ae 的长（2）若点 f 是 cd 的中点，求证：ce=be ad21、如图，四边形abcd 为等腰梯形， ad bc，ab=cd ，对角线 ac、bd 交于点 o，且 acbd ，dhbc（1）求证： dh=（ad+bc ） ；（2）若 ac=6 ，求梯形abcd 的面积22、已知，如图，abc 是等边三角形，过ac 边上的点 d 作 dgbc，交 ab 于点 g，在 gd 的延长线上取点 e，使 de=dc ，连接 ae，bd （1）求证： age dab ；（2）过点 e 作 efdb ，交 bc 于点 f，连 af，求 afe 的度数精品学习资料 可

11、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - -23、如图，梯形abcd 中， ad bc ，de=ec，efab 交 bc 于点 f，ef=ec ，连接 df（1）试说明梯形abcd 是等腰梯形；（2）若 ad=1 ，bc=3 ，dc=，试判断 dcf 的形状；（3）在条件（ 2）下，射线bc 上是否存在一点p，使 pcd 是等腰三角形，若存在，请直接写出pb 的长；若不存在，请说明理由24、如图，在梯形abcd 中， ad bc， abc= bcd=60 ，ad=dc ，e、f 分别在 ad 、dc 的延长

12、线上，且de=cf af 交 be 于 p（1）证明： abe daf ；（2）求 bpf 的度数25、如图，在梯形abcd 中， ad bc，ab=ad=dc ，bd dc，将 bc 延长至点f，使 cf=cd （1）求 abc 的度数；（2）如果 bc=8，求 dbf 的面积？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 34 页 - - - - - - - - -26、如图，梯形abcd 中， ad bc，ab=dc=10cm ，ac 交 bd 于 g，且 agd=60 ，e、f 分别为 cg、ab的中点（1）求证： agd 为正

13、三角形；（2）求 ef 的长度27、已知， 如图，ad bc，abc=90，ab=bc ，点 e 是 ab 上的点， ecd=45 ，连接 ed，过 d 作 dfbc于 f（1）若 bec=75 ，fc=3，求梯形 abcd 的周长（2）求证： ed=be+fc 28、 （2005?镇江）已知：如图，梯形abcd 中， ad bc，e 是 ab 的中点，直线ce 交 da 的延长线于点f（1）求证： bce afe；（2）若 ab bc 且 bc=4 ，ab=6 ，求 ef 的长精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 34 页 -

14、 - - - - - - - -29、已知：如图，在梯形abcd 中，ad bc，bc=dc ，cf 平分 bcd ，dfab，bf 的延长线交dc 于点 e求证：（1）bfc dfc；（2）ad=de ；（3）若 def 的周长为6，ad=2 ，bc=5 ，求梯形abcd 的面积30、如图，梯形abcd 中， ad bc c=90 ，且 ab=ad 连接 bd，过 a 点作 bd 的垂线，交bc 于 e（1）求证：四边形abed 是菱形；（2）如果 ec=3cm，cd=4cm ，求梯形abcd 的面积精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

15、10 页，共 34 页 - - - - - - - - -参考答案1、如图，等腰梯形abcd 中， ad bc，ab=dc ，e 为 ad 中点，连接be，ce （1）求证： be=ce ；（2）若 bec=90 ，过点 b 作 bf cd，垂足为点f，交 ce 于点 g，连接 dg，求证： bg=dg+cd 证明：（1）已知等腰梯形abcd 中， ad bc，ab=dc ，e 为 ad 中点，ab=dc ， bae= cde ，ae=de ， bae cde，be=ce ；（2）延长 cd 和 be 的延长线交于h，bfcd， hec=90 ， ebf+ h=ech+h=90 ebf= ec

16、h，又 bec= ceh=90 ，be=ce （已证）， beg ceh，eg=eh ，bg=ch=dh+cd ， bae cde（已证）， aeb= ged，hed= aeb ， ged= hed，又 eg=eh（已证），ed=ed ， ged hed，dg=dh ，bg=dg+cd 2、如图， 在直角梯形abcd 中， adbc，abc=90，e 为 ab 延长线上一点， 连接 ed，与 bc 交于点 h过e 作 cd 的垂线，垂足为cd 上的一点f，并与 bc 交于点 g已知 g 为 ch 的中点（1）若 he=hg ，求证： ebh gfc；（2）若 cd=4，bh=1 ，求 ad 的

17、长（1）证明： he=hg ， heg= hge， hge= fgc， beh= heg ， beh= fgc，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - -g 是 hc 的中点，hg=gc ，he=gc ， hbe= cfg=90 ebh gfc；（2）解： ed 平分 aef， a= dfe=90 ，ad=df ，df=dc fc， ebh gfc，fc=bh=1 ，ad=4 1=33、如图，梯形abcd 中， abcd，ad=dc=bc ， dab=60，e 是对角线ac 延长线上一点

18、，f 是 ad 延长线上的一点，且 ebab ，ef af（1）当 ce=1 时，求 bce 的面积；（2）求证： bd=ef+ce （2）过 e 点作 emdb 于点 m，四边形fdme 是矩形， fe=dm ， bme= bce=90 ， bec= mbe=60 ，bme ecb，bm=ce ，继而可证明bd=dm+bm=ef+ce（1）解： ad=cd ， dac= dca ，dcab ， dca= cab ，dcab ，ad=bc ， dab= cba=60 ， acb=180 （ cab+ cba ）=90 ， bce=180 acb=90 ，beab， abe=90 ， cbe=

19、abe abc=30 ，在 rtbce 中， be=2ce=2 ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 34 页 - - - - - - - - -（5 分）（2）证明：过e 点作 emdb 于点 m，四边形fdme 是矩形，fe=dm ， bme= bce=90 ， bec=mbe=60 ， bme ecb，bm=ce ，bd=dm+bm=ef+ce（10 分）4、如图在平行四边形abcd 中， o 为对角线的交点，点e 为线段 bc 延长线上的一点，且过点 e作 efca ，交 cd 于点 f，连接 of（1）求证： of

20、bc；（2）如果梯形obef 是等腰梯形，判断四边形abcd 的形状，并给出证明解答：（1）证明：延长ef 交 ad 于 g（如图），在平行四边形abcd 中， ad bc，ad=bc ，efca，egca ，四边形aceg 是平行四边形，ag=ce ，又，ad=bc ，ad bc， adc= ecf，在cef 和dgf 中， cfe=dfg， adc= ecf，ce=dg ， cef dgf（aas ） ，cf=df ，四边形abcd 是平行四边形，ob=od ，ofbe精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 34 页 - -

21、 - - - - - - -（2）解：如果梯形obef 是等腰梯形，那么四边形abcd 是矩形证明： ofce，efco，四边形ocef 是平行四边形，ef=oc，又梯形obef 是等腰梯形，bo=ef ，ob=oc ，四边形abcd 是平行四边形，ac=2oc ，bd=2bo ac=bd ，平行四边形abcd 是矩形5 、 如 图 ， 梯 形abcd中 ， ad bc ， abc=90， bfcd于f， 延 长bf交ad的 延 长 线 于e，延长 cd 交 ba 的延长线于g，且 dg=de ，ab=， cf=6（1）求线段cd 的长；（2）h 在边 bf 上，且 hdf= e，连接 ch，

22、求证： bch=45 ebc（1）解：连接bd，由 abc=90 ，ad bc 得 gad=90 ，又 bfcd， dfe=90 又 dg=de ， gda= edf， gad efd，da=df ，又 bd=bd ，rt bad rtbfd （hl） ，bf=ba=， adb= bdf 又 cf=6，bc=，又 ad bc ， adb= cbd， bdf= cbd ，cd=cb=8 （2）证明： ad bc，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 34 页 - - - - - - - - - e=cbf， hdf= e， hd

23、f= cbf ，由（ 1）得， adb= cbd， hdb= hbd ，hd=hb ，由（ 1）得 cd=cb ，cbdcdbcbdhdfcdbcbh即bdh= hbdhb=hd cdh cbh， dch= bch， bch=bcd=6、如图，直角梯形abcd 中， ad bc， b=90 ， d=45 （1）若 ab=6cm ，求梯形abcd 的面积；（2）若 e、f、g、h 分别是梯形abcd 的边 ab 、bc、cd、da 上一点，且满足ef=gh ， efh= fhg ，求证： hd=be+bf 解： （1）连 ac ，过 c 作 cm ad 于 m，如图，在 rtabc 中， ab=

24、6 ，sinacb=，ac=10 ，bc=8 ，在 rtcdm 中， d=45 ，dm=cm=ab=6，ad=6+8=14 ，梯形 abcd 的面积 =?（8+14）?6=66（cm2） ；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 34 页 - - - - - - - - -（2）证明：过g 作 gnad ，如图， d=45 ， dng 为等腰直角三角形，dn=gn ，又 ad bc ， bfh= fhn ，而 efh= fhg ， bfe= ghn ，ef=gh ，rt befrtngh，be=gn ，bf=hn ，da=an+

25、dn=an+dg=bf+be7、已知：如图，? abcd中，对角线ac ， bd相交于点o，延长cd 至 f，使df=cd ，连接bf 交ad于点 e（1）求证： ae=ed ；（2）若 ab=bc ，求 caf 的度数（1）证明：如图四边形abcd 是平行四边形，ab cd，ab=cd df=cd ，ab dfdf=cd ，ab=df 四边形abdf 是平行四边形，ae=de （2）解：四边形abcd 是平行四边形，且ab=bc ，四边形abcd 是菱形ac bd cod=90 四边形abdf 是平行四边形，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - -

26、- 第 16 页，共 34 页 - - - - - - - - -afbd caf= cod=90 8、已知：如图，在正方形abcd 中，点 g 是 bc 延长线上一点，连接ag，分别交bd 、cd 于点 e、f（1）求证： dae= dce；（2）当 cg=ce 时，试判断cf 与 eg 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论（1）证明：在 dae 和 dce 中，ade= cde （正方形的对角线平分对角），ed=de （公共边），ae=ce （正方形的四条边长相等）， dae dce （sas） ， dae= dce（全等三角形的对应角相等）；（2）解：如图，由（1）知， dae dce，

27、ae=ec ， eac= eca （等边对等角） ；又 cg=ce（已知）， g=ceg（等边对等角） ；而 ceg=2eac （外角定理） ，ecb=2 ceg（外角定理） ，4eac eca= acb=45 ， g=ceg=30 ；过点 c 作 chag 于点 h， fch=30 ，在直角 ech 中， eh=ch，eg=2ch，在直角 fch 中， ch=cf，eg=2cf=3cf9、如图，已知正方形abcd ，点 e 是 bc 上一点，点f 是 cd 延长线上一点，连接ef，若 be=df ，点 p 是 ef的中点（1）求证： dp 平分 adc ；（2）若 aeb=75 ，ab=2

28、，求 dfp 的面积精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 34 页 - - - - - - - - -（1）证明：连接pcabcd 是正方形， abe= adf=90 ，ab=ad be=df ， abe adf （sas） bae= daf ，ae=af eaf= bad=90 p 是 ef 的中点，pa=ef， pc=ef，pa=pc又 ad=cd ，pd 公共， pad pcd， （sss） adp= cdp，即 dp 平分 adc ；（2）作 phcf 于 h 点p 是 ef 的中点，ph=ec设 ec=x由（ 1）知

29、 eaf 是等腰直角三角形， aef=45 ， fec=180 45 75 =60 ，ef=2x， fc=x，be=2x在 rtabe 中， 22+（2x）2=（x）2解得x1= 22（舍去），x2=2+2ph= 1+， fd=（ 2+2） 2=2+4s dpf=（ 2+4）=3510、如图，在直角梯形abcd 中， ad bc， abc=90，bd=bc ，e 为 cd 的中点，交bc 的延长线于f；（1）证明： ef=ea ；（2）过 d 作 dgbc 于 g，连接 eg，试证明： eg af精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18

30、页，共 34 页 - - - - - - - - -（1）证明：ad bc， dae= f， ade= fcee 为 cd 的中点，ed=ec ade fceef=ea （5 分）（2）解：连接ga ，ad bc， abc=90 ， dab=90 dgbc，四边形abgd 是矩形bg=ad ，ga=bd bd=bc ，ga=bc 由（ 1）得 ade fce，ad=fc gf=gc+fc=gc+ad=gc+bg=bc=ga由（ 1）得 ef=ea ，egaf （5 分）11、如图，直角梯形abcd中， dab=90， abcd， ab=ad ， abc=60度以ad为边在直角梯形abcd外作等

31、边三角形adf ，点e 是直角梯形abcd内一点，且ead= eda=15 ，连接 eb、ef（1）求证： eb=ef ；（2）延长 fe 交 bc 于点 g，点 g 恰好是 bc 的中点，若ab=6 ，求 bc 的长（1）证明：adf 为等边三角形，af=ad ， fad=60 （1 分） dab=90 ， ead=15 ，ad=ab （2 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 34 页 - - - - - - - - - fae= bae=75 ，ab=af ， （3 分）ae 为公共边 fae bae （4 分）ef

32、=eb （5 分）（2）解：如图，连接ec （ 6 分）在等边三角形adf 中，fd=fa ， ead= eda=15 ，ed=ea ，ef 是 ad 的垂直平分线，则efa=efd=30 （ 7 分）由（ 1）fae bae 知 eba= efa=30 fae= bae=75 ， bea= bae= fea=75 ，be=ba=6 fea+ bea+ geb=180 ， geb=30 ， abc=60 ， gbe=30 ge=gb （8 分）点 g 是 bc 的中点，eg=cg cge=geb+ gbe=60 ， ceg 为等边三角形， ceg=60 ， ceb= ceg+geb=90 （9

33、 分）在 rtceb 中， bc=2ce ，bc2=ce2+be2ce=，bc=（10 分） ；解法二：过c 作 cqab 于 q，cq=ab=ad=6 ， abc=60 ，bc=6 =412、如图，在梯形abcd中， ad bc ， ab=dc=ad ， c=60 ， aebd于点e， f 是cd 的中点，dg是梯形 abcd 的高（1）求证： ae=gf ；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 34 页 - - - - - - - - -（2）设 ae=1 ，求四边形degf 的面积（1）证明： ab=dc ，梯形 abc

34、d 为等腰梯形 c=60 ， bad= adc=120 ，又 ab=ad ， abd= adb=30 dbc= adb=30 bdc=90 （1 分）由已知 aebd ，aedc （2 分）又 ae 为等腰三角形abd 的高，e 是 bd 的中点，f 是 dc 的中点，efbcefad 四边形aefd 是平行四边形 （3 分）ae=df （4 分）f 是 dc 的中点， dg 是梯形 abcd 的高，gf=df ， （ 5 分）ae=gf （ 6 分）（2）解：在rtaed 中， adb=30 ，ae=1 ，ad=2 在 rtdgc 中 c=60 ，并且 dc=ad=2 ，dg= （8 分）由

35、（ 1）知：在平行四边形aefd 中 ef=ad=2 ，又 dgbc ，dgef，四边形degf 的面积 =ef?dg= （ 10 分）13、已知，如图在直角梯形abcd 中， ad bc， abc=90，deac 于点 f，交 bc 于点 g，交 ab 的延长线于点 e，且 ae=ac ，连 ag （1）求证： fc=be ；（2）若 ad=dc=2 ，求 ag 的长解答：（1）证明： abc=90 ，deac 于点 f， abc= afeac=ae ， eaf= cab ， abc afe，ab=af 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

36、第 21 页，共 34 页 - - - - - - - - -aeab=ac af，即 fc=be；（2）解： ad=dc=2 ，dfac ，af=ac=aeag=cg ， e=30 ead=90 ， ade=60 ， fad= e=30 ，fc=，ad bc， acg= fad=30 ，cg=2，ag=2 14、如图，直角梯形abcd 中， ad bc， abc=90，点 e 是 ab 边上一点， ae=bc ，deec，取 dc 的中点 f，连接 af、 bf（1）求证： ad=be ；（2）试判断 abf 的形状，并说明理由（1）证明： ad bc， bad+ abc=180 ， abc

37、=90 ， bad= abc=90 ，deec， aed+ bec=90 aed+ ade=90 ， bec= ade ， dae= ebc，ae=bc ， ead ebc，ad=be （2）答： abf 是等腰直角三角形精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 34 页 - - - - - - - - -理由是：延长af 交 bc 的延长线于m，ad bm ， daf= m ， afd= cfm ，df=fc ， adf mfc，ad=cm ，ad=be ，be=cm ，ae=bc ，ab=bm ， abm 是等腰直角三角形，

38、adf mfc，af=fm ， abc=90 ，bfam ，bf=am=af ， afb 是等腰直角三角形15、 （2011?潼南县）如图，在直角梯形abcd 中， ab cd，ad dc，ab=bc ，且 ae bc（1）求证： ad=ae ；（2）若 ad=8 ，dc=4，求 ab 的长解答：（1）证明：连接ac，ab cd， acd= bac ，ab=bc ， acb= bac ， acd= acb ，ad dc，aebc， d=aec=90 ，ac=ac ， adc aec， （aas）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页

39、，共 34 页 - - - - - - - - -ad=ae ；（2）解：由（ 1）知： ad=ae ，dc=ec，设 ab=x ，则 be=x 4， ae=8，在 rtabe 中 aeb=90 ，由勾股定理得：82+（x 4）2=x2，解得： x=10，ab=10 说明：依据此评分标准，其它方法如：过点c 作 cfab 用来证明和计算均可得分16、如图，已知梯形abcd 中， ad cb，e，f 分别是 bd ，ac 的中点， bd 平分 abc （1）求证： aebd ；（2）若 ad=4 ，bc=14 ，求 ef 的长（1）证明： ad cb， adb= cbd，又 bd 平分 abc

40、， abd= cbd， adb= abd ，ab=ad ， abd 是等腰三角形，已知 e 是 bd 的中点，aebd （2）解：延长ae 交 bc 于 g，bd 平分 abc ， abe= gbe ，又 aebd （已证）， aeb= geb ，be=be ， abe gbe，ae=ge ，bg=ab=ad ，又 f 是 ac 的中点（已知） ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 34 页 - - - - - - - - -所以由三角形中位线定理得：ef=cg=（bcbg）=（bcad ）= （144）=5答： ef 的长

41、为 517、如图，在梯形abcd 中， ad bc， d=90 ，beac， e 为垂足， ac=bc （1）求证： cd=be ；（2）若 ad=3 ，dc=4，求 ae（1）证明： ad bc， dac= bce，而 beac ， d=bec=90 ， ac=bc ， bce cad cd=be （2）解：在rtadc 中，根据勾股定理得ac=5， bce cad ，ce=ad=3 ae=ac ce=218、如图，在梯形abcd 中， ad bc，abac， b=45 ， ad=1 ，bc=4，求 dc 的长解：如图，过点d 作 df ab，分别交 ac ，bc 于点 e，f （1 分）a

42、b ac ， aed= bac=90 度ad bc， dae=180 b bac=45 度在 rtabc 中， bac=90 ， b=45 ，bc=4 ， ac=bc?sin45 =4=2（ 2 分）在 rtade 中， aed=90 ， dae=45 ，ad=1 ， de=ae= ce=ac ae= （4 分）在 rtdec 中， ced=90 ， dc= （5 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 34 页 - - - - - - - - -19、已知梯形abcd 中， ad bc，ab=bc=dc ，点 e、f 分别

43、在 ad、ab 上，且（1）求证： bf=efed；（2）连接 ac，若 b=80 ，dec=70 ，求 acf 的度数证明： fc=f c， ec=ec， ecf= bcf+ dce= ecf， fce fce ，ef =ef=df +ed ，bf=ef ed；（2）解： ab=bc ， b=80 ， acb=50 ，由（ 1）得 fec=dec=70 ， ecb=70 ，而 b=bcd=80 ， dce=10 ， bcf=30 ， acf= bca bcf=20 20、如图，梯形abcd 中， ad bc ，点 e 在 bc 上， ae=be ，且 afab ，连接 ef（1）若 efaf

44、，af=4 ，ab=6 ，求ae 的长（2）若点 f 是 cd 的中点，求证：ce=be ad精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 34 页 - - - - - - - - -解： （1）作 em ab ，交 ab 于点 m ae=be ，em ab，am=bm= 6=3； ame= maf= afe=90 ，四边形amef 是矩形，ef=am=3 ；在 rtafe 中， ae=5；（2）延长 af、bc 交于点 nad en， daf= n； afd= nfc ，df=fc， adf ncf（aas ） ，ad=cn ； b

45、+n=90 ， bae+ ean=90 ，又 ae=be ， b=bae， n=ean ， ae=en ，be=en=ec+cn=ec+ad，ce=be ad 21、如图， 四边形 abcd 为等腰梯形， ad bc ，ab=cd ，对角线 ac 、bd 交于点 o，且 acbd ，dhbc（1）求证： dh=（ad+bc ） ；（2）若 ac=6 ，求梯形abcd 的面积解： （1）证明：过d 作 de ac 交 bc 延长线于e， （1 分）ad bc，四边形aced 为平行四边形 （2 分）ce=ad ，de=ac 四边形abcd 为等腰梯形，bd=ac=de ac bd ，debd d

46、be 为等腰直角三角形 （4 分）dh bc，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 34 页 - - - - - - - - -dh=be=（ce+bc ）=（ad+bc ） （5 分）（2） ad=ce ， （7 分） dbe 为等腰直角三角形bd=de=6 ，梯形 abcd 的面积为18 （8 分）注：此题解题方法并不唯一22、已知，如图，abc是等边三角形，过ac 边上的点d 作 dgbc，交 ab 于点 g，在gd 的延长线上取点 e，使 de=dc ，连接 ae，bd （1）求证： age dab ；（2）过点 e

47、作 efdb ，交 bc 于点 f，连 af，求 afe 的度数（1）证明：abc 是等边三角形，dgbc， agd= abc=60 ， adg= acb=60 ，且 bac=60 ， agd 是等边三角形，ag=gd=ad ， agd=60 de=dc ， ge=gd+de=ad+dc=ac=ab， agd= bad ，ag=ad ， age dab ；（2）解：由（ 1）知 ae=bd ， abd= aeg efdb，dgbc，四边形bfed 是平行四边形ef=bd ，ef=ae dbc= def， abd+ dbc= aeg+ def，即 aef=abc=60 afe 是等边三角形，af

48、e=60 23、如图，梯形abcd 中， ad bc ，de=ec，efab 交 bc 于点 f，ef=ec ，连接 df（1）试说明梯形abcd 是等腰梯形；（2）若 ad=1 ，bc=3 ，dc=，试判断 dcf 的形状；（3）在条件（ 2）下，射线bc 上是否存在一点p，使 pcd 是等腰三角形，若存在，请直接写出pb 的长；若精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 34 页 - - - - - - - - -不存在，请说明理由解： （1）证明： ef=ec， efc=ecf，efab， b=efc， b=ecf，梯形ab

49、cd 是等腰梯形；（2）dcf 是等腰直角三角形，证明： de=ec，ef=ec ， ef=cd， cdf 是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），梯形 abcd 是等腰梯形，cf=（bcad ）=1，dc=，由勾股定理得：df=1， dcf 是等腰直角三角形；（3）共四种情况：dfbc，当 pf=cf 时， pcd 是等腰三角形，即 pf=1，pb=1；当 p与 f 重合时， pcd 是等腰三角形，pb=2；当 pc=cd=（p 在点 c 的左侧）时， pcd 是等腰三角形，pb=3；当 pc=cd=（p 在点 c 的右侧）时， pcd 是等腰

50、三角形，pb=3+故共四种情况：pb=1，pb=2，pb=3，pb=3+ （每个 1 分）24 、 如 图 ， 在 梯 形 abcd中 ， ad bc ， abc= bcd=60 ， ad=dc ， e 、 f 分 别 在ad 、 dc的延长线上，且de=cf af 交 be 于 p（1）证明： abe daf ；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 34 页 - - - - - - - - -（2）求 bpf 的度数解答：（1）证明：在梯形abcd 中， ad bc， abc= bcd=60 ，ab=cd ，ad=dc ，b

51、a=ad ， bae= adf=120 ，de=cf ，ae=df ，在bae 和adf 中， abe daf （sas） （2）解：由（1）bae adf ， abe= daf bpf=abe+ bap= bae 而 ad bc， c=abc=60 ， bpf=120 25、如图，在梯形abcd 中， ad bc，ab=ad=dc ，bd dc，将 bc 延长至点f，使 cf=cd （1）求 abc 的度数；（2）如果 bc=8，求 dbf 的面积？解答： 解： （1） ad bc， adb= dbc，ab=ad ， adb= abd ， dbc= abd ，在梯形abcd 中 ab=dc

52、， abc= dcb=2 dbc ，bd dc， dbc+2 dbc=90 dbc=30 abc=60 （2）过点 d 作 dh bc，垂足为h， dbc=30 ，bc=8 ，dc=4 ，cf=cd cf=4，bf=12， f+fdc= dcb=60 ， f=fdc 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 34 页 - - - - - - - - - f=30 ， dbc=30 ， f=dbc ，db=df ，在直角三角形dbh 中，即dbf 的面积为26、如图，梯形abcd 中， ad bc，ab=dc=10cm ，ac 交 bd 于 g，且 agd=60 ，e、f 分别为 cg、ab的中点（1）求证： agd 为正三角形；（2）求 ef 的长度（1）证明：连接be，梯形 abcd 中， ab=dc ，ac=bd ，可证 abc dcb ， gcb= gbc，又 bgc=agd=60 agd 为等边三角形，（2）解： be 为bcg 的中线，beac，在 rtabe 中， ef 为斜边 ab