2022年量子力学第一节力学量算符教案

1、第一节力学量算符一 . 算符算符 : 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。用表示一算符。二力学量算符1. 坐标的算符就是坐标本身：2. 动量算符：, , 3. 动能算符4. 哈密顿算符：5. 角动量算符：如果量子力学中的力学量在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符由经典表示式中将换成算符得出算符和它所表示的力学量的关系？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 41 页 - - - - - - - - -第二节算符基本知识一线性算符满足运算规则的算符称为线性算符。二单位算

2、符保持波函数不改变的算符三算符之和加法交换律加法结合律两个线性算符之和仍为线性算符。四算符之积定义 : 算符与的积为注意 : 一般说算符之积不满足交换律，即：这是与平常数运算规则不同之处。五逆算符设能唯一解出，则定义的逆算符为：注意 : 不是所有的逆算符都有逆算符。，六算符的复共轭，转置，厄密共轭精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 41 页 - - - - - - - - -1 两个任意波函数与的标积2 复共轭算符算符的复共轭算符为：把的表示式中所有复量换成其共轭复量3 转置算符定义 : 算符的转置算符满足：即：4 厄密共轭算

3、符算符的厄密共轭算符定义为精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 41 页 - - - - - - - - -即算符的厄密共轭算符即是的转置复共轭算符5.厄密算符厄密算符是满足下列关系的算符注意： 两个厄密算符之和仍为厄密算符，两个厄密算符之积却不一定是厄密算符例 ：证明是厄密算符证：为厄密算符，为厄密算符精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 41 页 - - - - - - - - -第三节力学量算符的本征值与本征函数一厄密算符的本征值与与本征函数设体系处于测量力

4、学量o ，一般说，可能出现不同结果，各有一定的几率，多次测量结果的平均值趋于一确定值，每次具体测量的结果围绕平均值有一个涨落，定义为如为厄密算符，也是厄密算符存在这样一种状态，测量力学量所得结果完全确定。即. 这种状态称为力学量的本征态。在这种状态下称为算符的一个本征值，为相应的本征函数。二 力学量算符的性质1.力学量算符是厄密算符量子力学的一个基本假定: 测量力学量时，所有可能出现的值，都是力学量算符的本征值。厄密算符的本征值必为实数证：设为厄密算符精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 41 页 - - - - - - - -

5、 -取是实数表示力学量的算符为厄密算符2力学量算符为线性算符态叠加原理决定了力学量算符为线性算符【证】：设也应是体系的态即为线性算符三 厄密算符本征函数的性质1 正交性厄密算符属于不同本征值的本征函数彼此正交。如果两函数和满足积分是对变量变化的全部区域进行, 则称与相互正交。 证: 已知为实数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 41 页 - - - - - - - - -由厄密算符性质这里只考虑分离谱, 对连续谱也是成立的对归一化的本征函数分离谱连续谱这样的本征函数构成正交归一系.2.完备性设为代表某力学量的厄密算符, 它的正

6、交归一本征函数系为, 对应的本征值为则任一函数可按展开本征函数的这种性质称为完备性与 x 无关 , 利用的正交归一性, 将等式两边，对x 在整个区域积分即: 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 41 页 - - - - - - - - -如总归一化讨论 :当是算符的一本征函数时, 即即其它系数为零, 这时测量力学量的测量值必是当不是的本征函数时, 可按本征函数展开,测量力学量的结果是本征值之一, 测量结果为的几率为波( 态) 函数可以完全描述微观粒子的状态量子力学关于力学量与算符的关系的一个基本假定: 量子力学中表示力学量的算

7、符都是厄密算符, 它们的本征函数组成完全系, 当体系处于波函数所描写的状态时, 测量力学量f 所得的数值必定是算符的本征值之一, 测得的几率是四 力学量算符的平均值.对于一态, 将其按某力学量的本征函数集展开是归一化的出现本征值的几率为, 则按由几率求平均值的法则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 41 页 - - - - - - - - -上式可改写为是归一化的 证明 如未归一化：如本征值是连续谱定理 : 在任何状态下, 厄密算符的平均值都是实数 证明 逆定理 : 在任何状态下平均值为实数的算符为厄密算符例 1: 设为厄密算

8、符 , 则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 41 页 - - - - - - - - - 证明 第四节几种典型力学量算符的本征函数一 .坐标算符即为坐标算符本征值为的本征函数。二 .动量算符动量算符的本征值方程，它们的解如何确定归一化系数c这是由于本征值可取任意值，动量本征值组成连续谱, 可以看出在空间任意一点本征值出现的几率都是一样的. 对连续谱的本征函数, 我们一般将函数归一化函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 41 页 - - - - - - -

9、 - - = 取, 归一化为函数归一化的动量本征函数为箱归一化 :如给波函数加上边界条件, 即粒子被限制在一正方形箱中, 边长为 l，要求波函数在两个相对的箱壁上对应点具有相同的值，同理：，为正负整数或零。本征值谱由分离变为连续.精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 41 页 - - - - - - - - -加进周期性边界条件后, 动量本征函数可归一化为1，归一化常数为。归一化波函数为三 .角动量算符，用球坐标表示：，可以看出角动量算符只与有关1.的本征函数，解出精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

10、 - - - - - - 第 12 页，共 41 页 - - - - - - - - -应满足边界条件 exp =1 ，归一化后，是的本征值为的归一化本征函数。2角动量的共同本征态：球谐函数的共同本征函数为球谐函数：轨道角量子数磁量子数具体表达式：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 41 页 - - - - - - - - -是正交归一的：对应于的一个本征值有个不同的本征函数。我们把对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况称为简并。的本征值是度简并。第五节算符的对易关系共同本征态函数测不准关系一 . 量子力学的基本对易关系记

11、1.坐标与动量算符的对易关系为任意波函数, 所以同理精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 41 页 - - - - - - - - -概括起来2.角动量算符的对易关系式同理可证常用的对易关系式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 41 页 - - - - - - - - -二 . 共同本征态如两算符, 满足. 称对易定理 : 如果两算符有一组共同本征函数，而且组成完全系，则对易 证 设是任一波函数逆定理 : 如果两个算符对易，则这两个算符有组成完全系的共同本征

12、函数上述定理可推广到两个以上情况。它们的共同本征函数完全集是相互对易，它们有共同本征函数要完全确定体系所处的状态，需要有一组相互对易的力学量，这一组完全确定体系状态的力学量，称为力学量完全集。完全集合中力学量的数目一般与体系自由度数目相符。从对易关系可以看出，普朗克常数在力学量对易关系中占有重要地位。体系微观规律与宏观规律之间差异，如在所讨论问题中可略去，则坐标，动量，角动量之间都对易，这些力学量同时有确定值，微观体系就过渡到宏观体系。三测不准原理精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 41 页 - - - - - - - -

13、-设两算符对易关系为令考虑积分是实参数都是厄密算符不等式成立的条件是对坐标和动量精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 41 页 - - - - - - - - -例： 通过测不准原理关系说明线性谐振子的零点能【解】振子的平均能量是和不能同时为零最小值不能为零为求最小值，测不准关系取等号得出的最小值，测不准关系是量子力学中的基本关系，它反映了微观粒子波粒二象性。第六节电子在库仑场中的运动氢原子精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 41 页 - - - - - -

14、 - - -一电子在库仑场中的运动核（ ze），核外电子 (-e)氢原子 z=1类氢原子 z1势能薛定谔 方程分离变量法径向方程的解与角度部分有关的解n 主量子数轨道角动量量子数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 41 页 - - - - - - - - -m磁量子数可以看出能量本征值是和n 有关，对应于第n 个能量有个波函数电子第个能级是度简并的。二氢原子对氢原子应考虑核运动，这是一两体问题薛定谔方程相对坐标质心坐标精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 4

15、1 页 - - - - - - - - -约化质量分离变量带入方程用除方程两边与坐标无关 式描述质心运动，这是能量为的自由粒子的定态薛定谔方程。式是电子相对于核运动的波函数所满足的方程，即是一个质量为的粒子在势能为的力场中运动，这里我们只需要把前面结果中z 的取为 1，把电子质量换成约化质量即可氢原子能级能级随 n 增大而增大电子电离精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 41 页 - - - - - - - - -电离能=13.60=13.597 ( 取约化质量 )电子由能级跃迁到时辐射出光的频率里德伯 常数 r=109737

16、31.1/mr=10967758/m （约化质量）电子按半径r 的分布几率玻尔电子轨道半径的本质：分布几率出现极值的地方。第七节力学量随时间变化与守恒定律一力学量平均值随时间的变化，守恒量在量子力学中，处于一定状态下的体系在每一时刻不是所有力学量都有确定值，只是具有确定的平均值及几率分布精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 41 页 - - - - - - - - -有薛定谔 方程若力学量不是含 t 则，。如又和对易即，则：满足上式，即力学量平均值不随时间变化的力学量称为守恒量，守恒量的几率分布不随时间改变。证：设为守恒量 ,

17、 则，取的一组共同本征态对任一态按展开精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 41 页 - - - - - - - - -总结： 如果是与对易的不含t 的力学量（守恒量）则在体系的任何态下，平均值不随时间改变在体系的任何态下，的几率分布不随时间改变。（3）若初始时刻， 体系处于守恒量的一个本征态，则以后仍将保持该本征态，若初始时刻， 体系不处于本征态，则以后状态也不是本征态。例：（ 1）自由粒子的动量动量守恒动量守恒（2）中心力场中运动的粒子角动量守恒只与有关角动量平方及角动量分量都是守恒量。(3) 哈密顿不现含时间的体系能量守

18、恒精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 41 页 - - - - - - - - -能量守恒（4）哈密顿对空间反演不变时的宇称守恒空间反演宇称算符的本征值是1，的本征值是（偶宇称）（奇宇称）设体系的哈密顿算符在空间反演后不变则和可以有共同本征函数。宇称守恒定律: 体系能量本征函数可以有确定宇称且不随时间改变。守恒量与定态的区分：1.定态是体系的一种特殊状态，即能量本征态，而守恒量则是体系的一种特殊的力学量，即不显含时间与对易的力学量2.在定态下，不显含t 的一切力学量（不管是不是守恒量）的平均值及几率分布均不随时间改变，而力学

19、量只要是守恒量，则在一切状态下（不管是不是定态），它的平均值和几率分布都不随时间改变。第三章小结精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页，共 41 页 - - - - - - - - -一 . 力学量用算符表示, 1.力学量与力学量算符的关系全部本征值是且仅是相应力学量f 的所有可能取值。2 表示力学量的算符须具有的基本性质 (1). 线性算符 , 即满足条件 :叠加原理要求薛定谔方程必须是线性的, 要求是线性的 , 而又是由诸力学量算符构成.(2). 厄密算符，。物理要求力学量所有可能值 ( 观测值 ) 均为实数 , 即力学量的本征

20、值为实数, 只有厄密算符的本征值全是实数。 3 力学量算符本征函数具有的基本性质(1). 正交归一性 ，这是由算符的厄密性决定的.分离谱连续谱(2).算符的本征函数集具有完备性（a）分离值, .精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页，共 41 页 - - - - - - - - -取值为的几率（b） 连续谱：完备性的另一描述：分离谱连续谱 证 ：, 若上式 =, 则要求4 力学量算符的平均值一般表示，分离谱连续谱精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 27 页，共 41 页 - -

21、 - - - - - - -上述波函数是归一化的。二 . 几种基本的力学量算符及本征函数1. 坐标算符本征值谱为连续谱, 所有实数本征值为的本征函数正交归一性 : 完备性 : 2. 动量算符本征值为连续谱, 区间内所有实数值, 本征值为的归一化本征函数正交归一化条件: 完备性 : 2.轨道角动量算符常用球坐标表示精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 28 页，共 41 页 - - - - - - - - -与有共同的本征函数角量子数磁量子数的本征函数正交归一性 : 完备性 : 3.一维无限深势阱的能量本征函数（宽度a）4.一维线性谐振子的能

22、量本征函数厄米多项式逆推关系 :精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 29 页，共 41 页 - - - - - - - - -三 . 算符的对易关系测不准关系1.常见对易关系(1)(2)(3)(4)2.测不准关系.四 . 氢原子( 电子在库仑场中运动)哈密顿量 :精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 30 页，共 41 页 - - - - - - - - -能量本征值 :能量本征函数: , 能级度简并 .第三章例题主要类型 : 1.算符运算 ; 2. 力学量的平均值; 3. 力学量几率

23、分布.一 .有关算符的运算1.证明如下对易关系(1.)(1) (2)(3)(4)(5) 证 (1) (2) 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 31 页，共 41 页 - - - - - - - - -(3)一般地 , 若算符是任一标量算符, 有(4) 一般地 , 若算符是任一矢量算符, 可证明有(5)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 32 页，共 41 页 - - - - - - - - -=0同理：。2.证明哈密顿算符为厄密算符 解 考虑一维情况为厄密算符 , 为厄密算符 ,为

24、实数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 33 页，共 41 页 - - - - - - - - -为厄密算符为厄密算符3 已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明 : 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为 : 。 证 。是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出 :精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 34 页，共 41 页 - - - - - - - - -二 . 有关力学量平均值与几率分布方面1.(1) 证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2) 求 x 在态中的平均值 解 即是的本征函数。本征值2.设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为 a 的一维无限深势井的能量本征函数精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 35 页，共 41 页 - - - - - - - - -注意 : 是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法精品学习资料 可选择p d f -