八年级数学期末难题压轴题

1、26 （本题满分10 分）已知：在矩形abcd中，ab=10，bc=12，四边形efgh的三个顶点e、f、h分别在矩形abcd边ab 、bc 、da上，ae=2. （1）如图，当四边形efgh为正方形时，求gfc的面积；（ 5 分）（2）如图，当四边形efgh为菱形，且bf = a时，求gfc的面积（用含a的代数式表示 ）；（5分）26解：（1）如图，过点g作gmbc于m. （1分）在正方形efgh中，90 ,hefehef. （1分）d c a b e (第 26 题图 1) f h g d c a b e (第 26题图 2) f h g 90.90 ,.aehbefaehaheahebe

2、f又90ab，ahebef（1分）同理可证：mfgbef. （1 分）gm=bf=ae=2. fc=bc-bf=10. （1分 ）（ 2 ） 如图 ，过 点g作gmbc于m.连接hf. （1 分）/,./,.adbcahfmfhehfgehfgfh.ahemfg（1分）又90 ,agmfehgfahemfg. （1分）gm=ae=2. （1分）11(12)12.22gfcsfc gmaa（1分）如图，直线34 3yx与x轴相交于点a，与直线3yx相交于点p. (1) 求点p的坐标 . (2) 请判断opa的形状并说明理由. (3) 动点e从原点o出发，以每秒1 个单位的速度沿着opa的路线向点

3、a匀速运动（e不与点o、a重合） ，过点e分别作efx轴于f，eby轴于b. 设运动t秒时，矩形ebof与opa重叠部分的面积为s. 求s与t之间的函数关系式. fbepaoxy(备用图）paoxyx y y=x a q p o 解： （1）34 33yxyx解得：22 3xy1 点 p的坐标为（ 2，2 3）1（ 2）当0y时，4x点 a的坐标为（ 4，0）12222 34op22(24)(2 30)4pa 1oaoppapoa是等边三角形1（3）当0t4 时，121328sof eft1当 4t 8 时，123 34 38 38stt125、 （本题 8 分）已知直角坐标平面上点a0 ,2

4、，p是函数0 xxy图像上一点，pqap交y轴正半轴于点q（如图） . （1）试证明：ap=pq；（2）设点p的横坐标为a，点q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是_；当apqaoqss32时，求点p的坐标 . （ 3）证： （1）过p作x轴、y轴的垂线，垂足分别为h、t，点p在函数xy0 x的图像上，ph=pt，phpt， -（1 分）又appq，aph = qpt，又pha = ptq，phaptq, -（1 分）ap=pq. -（ 1分） (2)22ab. -（2 分）（3）由（ 1） 、 （2）知，2221aoqoasaoq，222122aaapsapq，-（ 1分）2232222

5、aaa，解得255a，-（1 分）所以点p的坐标是255,255与255,255.-（1 分） 26 （本题满分10 分，第（ 1）小题 6 分，第（ 2）小题 4 分）已知点e是正方形abcd外的一点，ea=ed，线段be与对角线ac相交于点f，（1）如图 1，当bf=ef时，线段af与de之间有怎样的数量关系？并证明；（2）如图 2，当ead为等边三角形时，写出线段af、bf、ef之间的一个数量关系，并证明（第 26 题）a b c d e f a b c d e f 图 1 图 2 26 （1）解：af=de21，（1 分）证明如下：联结bd交ac于点o，（1 分）四边形abcd是正方形

6、，bo=do ，bf=ef，of=21de，of/de（1 分）bdac，deo=aob =90 o，（1 分）oda=oad=459021，ea=ed，ead=eda=45o，oad=oed=aod=90o，四边形aode是正方形（1 分）oa=de，of=21ao ，af=ao21de21（1 分）（2）解：af+bf=ef、af2+ef2=2bf2等（只要其中一个，bf=)31(af、ef=)32(af 、bf=（)13ef也认为正确） （1 分）af+bf=ef的证明方法一：联结bd交ac于o，在fe上截取fg=bf，联结dg与第（ 1）同理可证gda=45o，（1 分）四边形abcd

7、是正方形，ade是等边三角形，gde=60o 45o=15oab=ad=ae，bae=bac+dae=90o+60o=150o，abe=aeb=152150180，abf=gde又deg=deaaeb=60o15o=45o=bac，de=ad=ab，abfedg，（1 分）eg=af，af+bf=eg+fg=ef（1 分）af+bf=ef的证明方法二（简略） ：在fe上截取fg=af，联结ag证得afg为等边三角形（1 分）证得abfaeg（1 分）证得af+bf=ef（1 分）af2+ef2=2bf2的证明方法（简略） ：作bgbf，且使bg=bf，联结cg、fg，证得bgcbfa（ 1 分

8、）证得fc=fe，fg=be2，（1 分）利用 rtfcg中，得出af2+ef2=2bf2（1 分）27 （本题满分10 分，第（ 1）小题 3 分，第（ 2）小题 3 分, 第（ 3）小题 4 分）如图，在平面直角坐标中，四边形oabc 是等腰梯形，cboa ，oc=ab=4 ，bc=6 ，coa=45 ,动点 p 从点 o出发，在梯形oabc 的边上运动，路径为oabc，到达点c时停止作直线cp. （1）求梯形oabc 的面积；（2）当直线cp把梯形 oabc 的面积分成相等的两部分时，求直线cp的解析式；（3）当 ?ocp 是等腰三角形时，请写出点p的坐标（不要求过程，只需写出结果）oa

9、bcpxy27如图已知一次函数y=x+7 与正比例函数y=x34的图象交于点a，且与x轴交于点b（1）求点a和点b的坐标；（2）过点a作acy轴于点c，过点b作直线ly轴动点p从点o出发，以每秒1 个单位长的速度， 沿oca的路线向点a运动；同时直线l从点b出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点r，交线段ba或线段ao于点q当点p到达点a时，点p和直线l都停止运动在运动过程中，设动点p运动的时间为t秒)0(t当t为何值时，以a、p、r为顶点的三角形的面积为8？是否存在以a、p、q为顶点的三角形是qa=qp的等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由解： （1）一次函数

10、yx+7 与正比例函数xy34的图象交于点a，且与x轴交于点byx+7，0 x+7，x7，b点坐标为：（7，0） ，-1分yx+7x34，解得x3，y4，a点坐标为：（3，4） ；-1分（2）当 0t4 时，pot，pc4t，brt，or7t，-1分过点 a作 am x 轴于点 m 当以a、p、r为顶点的三角形的面积为8，s梯形acobsacpsporsarb8，21（ac+bo）co21accp21poro21ambr8，（ac+bo）coaccpporoambr16，（3+7）43 （4t）t（7t）4t 16，t28t+120. -1分解得t12，t26（舍去）. -1分当 4t7 时，

11、sapr21apoc=2（ 7t） 8，t=3( 舍去 )；-1分当t 2时，以a、p、r为顶点的三角形的面积为8；存在当 0t4 时, 直线l与ab相交于q，一次函数yx+7 与x轴交于 b（7，0）点，与y轴交于 n（0，7）点，noob，obnonb45.直线ly轴，rqrb=t，am=bm=4 qb=t2,aq=t224-1分rbopqrt， pq/or,pq=or=7-t -1分以a、p、q为顶点的三角形是等腰三角形，且qp=qa，7-t=t224，t=1-32（舍去） -1分当 4t7 时，直线l与 oa相交于q，若qpqa， 则t4+2 （t4） 3， 解得t5； -1分当t=5

12、，存在以a、p、q为顶点的三角形是pqaq的等腰三角形已知 边长为 1 的正方形abcd中， p是对角线ac上的一个动点（与点a、c不重合），过点p作 pepb ，pe交射线dc于点e，过点e作efac，垂足为点f. （1）当点e落在线段cd上时（如图10） ， 求证：pb=pe； 在点p的运动过程中，pf的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由；（2）当点e落在线段dc的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断上述（ 1）中的结论是否仍然成立（只需写出结论，不需要证明）；（3）在点 p的运动过程中，pec能否为等腰三角形？如果能，试求出ap的长，如果不能

13、，试说明理由27 （1）证：过p作mnab，交ab于点m，交cd于点n正方形 abcd ， pm=am，mn=ab ，从而mb=pn （2 分） pmbpne，从而pb=pe （ 2 分） 解：pf的长度不会发生变化，设o为ac中点，联结po，d c b a e p 。f （图 10）d c b a （备用图）正方形 abcd ， boac，（1 分）从而pbo=epf，（1 分） pobpef， 从而pf=bo22（ 2 分）（2）图略，上述（1）中的结论仍然成立；（1 分） （ 1 分）（3）当点e落在线段cd上时，pec是钝角，从而要使pec为等腰三角形，只能ep=ec，（ 1 分）这时

14、，pf=fc，2acpc，点 p与点 a重合，与已知不符。（1 分）当点e落在线段dc的延长线上时，pce是钝角，从而要使pec为等腰三角形，只能cp=ce，（ 1 分）设ap=x，则xpc2，22xpcpfcf，又cfce2，)22(22xx，解得x=1. （ 1分）综上，ap=1 时，pec为等腰三角形五、 27如图，已知在梯形abcd中，ad / bc，ab = cd，bc = 8 ，60b，点m是边bc的中点，点e、f分别是边ab、cd上的两个动点（点e与点a、b不重合，点f与点c、d不重合），且120emf（1）求证：me = mf；（2）试判断当点e、f分别在边ab、cd上移动时，

15、 五边形aemfd的面积的大小是否会改变，请证明你的结论；（3）如果点e、f恰好是边ab、cd的中点，求边ad 的长a b c d m e f （第 27 题图）27解： （1）af +ce = ef（1 分）在正方形abcd中，cd = ad，adc = 90 ，即得adf + edc = 90 （1 分）afef，ceef，afd = dec = 90 adf + daf = 90 daf = edc又由ad = dc，afd = dec，得adfdce（1 分）df = ce，af = deaf +ce = ef（1 分）a b c d m e f （备用图）（2）由（ 1）的证明，可知

16、adfdcedf = ce，af = de（1 分）由ce = x，af = y，得de = y于是，在rtcde中，cd = 2 ，利用勾股定理，得222cedecd ，即得224xy24yx（1 分）所求函数解析式为24yx，函数定义域为02x（ 1 分）（3）当x =1 时，得24413yx（1 分）即得3de又df = ce = 1 ，ef = dedf，31ef（1 分）25 已知：梯形abcd中，ab/cd，bcab，ab=ad，联结bd（如图 1） 点p沿梯形的边 ,从点abcda移动，设点p移动的距离为x，bp=y. （1）求证：a=2cbd；（2）当点p从点a移动到点c时，y

17、与x的函数关系如图2 中的折线mnq所示试求cd的长；（3）在（ 2）的情况下，点p从点abcda移动的过程中，bdp是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使bdp为等腰三角形的x的取值；若不能，请说明理由a b c d （图 1）四、 25(1) 证明： ab=ad, adb abd,- -1分又 a+abd+ adb=180 , a=180- abd-adb=180 -2 abd=2(90- abd) -1分 bc ab ， abd+ cbd 90，即 cbd=90 - abd-1分a=2cbd-1分（2）解：由点m（0，5）得ab=5,-1分由点 q点的横坐标是8，得 ab+bc=8时

18、， bc=3-1分作 dh ab于 h， ad=5 ，dh=bc=3 ， ah=4 ，ah= ab-dc，dc=ab-ah=5-4=1-1分(3) 解：情况一：点p在 ab边上，作dh ab,当 ph=bh 时， bdp是等腰三角形，此时， ph=bh=dc=1， x=ab-ap=5-2=3-1分（图 2）y x o m n q 8 5 情况二：点p在 bc边上，当dp=bp 时 bdp是等腰三角形，此时， bp=x-5，cp=8-x, 在 rtdcp中， cd2+cp2=dp2, 即221(8)(5)xx，203x-1分情况三：点p在 cd边上时， bdp不可能为等腰三角形情况四：点p在 a

19、d边上，有三种情况 1作 bk ad,当 dk=p1k时，bdp为等腰三角形，此时， ab=ad, adb abd, 又 ab/dc, cdb abd adb cdb, kbd cbd,kd =cd=1,dp1=2dk=2 x=ab+bc+cd+dp1=5+3+1+2=11-1分 2当 dp2=db时 bdp为等腰三角形，此时， x=ab+bc+cd+dp2=910-1分 3当点 p与点 a重合时 bdp为等腰三角形，此时 x=0 或 14（注：只写一个就算对）-1分28、如图，直角梯形abcd中，adbc，90a，4mbam，5ad，11bc，点p在线段bc上，点p与b、c不重合，设xbp，

20、mpd的面积为y（1）求梯形abcd的面积（2）写出y与x的函数关系式，并指出x的取值范围（3）x为何值时，abcdmpdss梯形41h p a b c d a b c d p a b c d a b c d p1 p2 k m第 28 题图adbcp密封线26直角梯形abcd中，ab dc，d 90，ad=cd=4，b45，点e为直线dc上一点，联接ae，作efae交直线cb于点f（1）若点e为线段dc上一点（与点d、c不重合）， （如图 1 所示） ， 求证：dae cef； 求证：ae=ef ；（2）联接af ，若aef的面积为217，求线段ce的长 ( 直接写出结果，不需要过程) 解：

21、 （1）efaedea+cef=901 d90（第 26 题图 1）（第 26 题备用图）（第 27题图）pnmdcbadea+dae=901 dae cef 1 （2）在 da上截取 dg=de ，联接eg , 1 ad=cdag=ce d90dge45 age135ab dc，b45 ecf 135 ageecfdae cefageecf2 ae=ef 1 (3) 求出ce=3 1 求出ce=5 2 27已知：如图，矩形纸片abcd的边ad=3，cd=2，点p是边cd上的一个动点（不与点c重合， 把这张矩形纸片折叠，使点b落在点p的位置上， 折痕交边ad与点m，折痕交边bc于点n . （1

22、）写出图中的全等三角形. 设cp=x，am=y，写出y与x的函数关系式；（2） 试判断bmp是否可能等于90. 如果可能，请 求 出（第 26 题图 1）g 此时cp的长；如果不可能，请说明理由. 27 （1）mbn mpn1 mbn mpnmb=mp , 22mpmb矩形 abcd ad=cd ( 矩形的对边相等) a=d=90 ( 矩形四个内角都是直角) 1 ad=3, cd=2, cp=x, am=y dp=2 -x, md=3-y 1 rtabm中，42222yabammb同理22222)2()3(xypdmdmp1 222)2()3(4xyy1 6942xxy1 （3）90bmp1

23、当90bmp时，可证dmpabm1 am=cp ，ab=dm 1,32yy1 1,21xx1 当 cm=1 时，90bmp6如图，等腰梯形abcd中，ab=4，cd=9，c=60，动点p从点c出发沿cd方向向点d运动，动点q同时以相同速度从点d出发沿da方向向终点a运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求ad的长；（2）设cp=x，pdq的面积为y，求出 y 与 x 的函数解析式，并求出函数的定义域；（3）探究：在bc边上是否存在点m使得四边形pdqm是菱形？若存在，请找出点m，并求出bm的长；不存在，请说明理由. （第 25 题图）（备用图）6、 （ 1）ad=5

24、(2) (0 x5)（3）bm=0.5 26已知：如图，梯形abcd中，adbc，90a，45c，4adabe是直线ad上一点，联结be，过点e作beef交直线cd于点f联结bf（1）若点e是线段ad上一点（与点a、d不重合）， （如图 1 所示）求证：efbe设xde，bef的面积为y，求y关于 x 的函数解析式，并写出此函数的定义域（2）直线ad上是否存在一点e，使bef是abe面积的 3倍， 若存在， 直接写出de的长，若不存在，请说明理由xxy439432（第 26 题图 1）fedcba（第 26 题备用图）dcba26 （1）证明：在ab上截取aeag，联结eg. aegage.

25、又a90，aageaeg180. age45. bge135. adbc. cd180. 又c45. d135. bged. 1 分adab，aeag. debg. 1分beef. bef90. 又aabeaeb180，aebbefdef180，a90. abedef. 1 分bgeedf. 1 分efbe. （1）y关于x的函数解析式为：23282xxy. 1分此函数的定义域为：40 x. 1分（2）存在 . 1 分当点e在线段ad上时，522de（负值舍去）. 1 分当点e在线段ad延长线上时，522de（负值舍去） . 1 分当点e在线段da延长线上时，5210de. 1 分de的长为2

26、52、252或5210. 26如图，在直角梯形coab中，cboa，以o为原点建立直角坐标系，a、c的坐标分别为a（ 10,0 ） 、c（0,8 ） ，cb=4，d为oa中点，动点p自a点出发沿abco的线路移动，速度为1 个单位 / 秒，移动时间为t秒（1）求ab的长，并求当pd将梯形coab的周长平分时t的值， 并指出此时点p在哪条边上；（2）动点p在从a到b的移动过程中， 设apd的面积为s，试写出s与t的函数关系式，并指出t的取值范围；（3）几秒后线段pd将梯形coab的面积分成1:3 的两部分？求出此时点p的坐标 . 第26题图yxopdcba26 （1）点b坐标为（ 4,8 ）10

27、8041022ab1 分由28410105t，得 t=11 1 分此时点p在cb上1 分（2）证法一：作ofab于f，beoa于e，dhab于h，则be=oc=8 ofabbeoa, 8beof,dh=4. 1 分tts2421（0t 10） 1 分证法二abapssabdapd，108521ts 1 分即ts2（0t 10） 1 分（3）点p只能在ab或oc上，（）当点p在ab上时，设点p的坐标为（x，y）由coabapdss梯形41得14521y，得y=528由142t，得t=7. 由495281022x，得529x. 即在 7 秒时有点)535,545(1p；1 分（）当点p在oc上时，

28、设点p的坐标为（ 0，y）由coabopdss梯形41得14521y，得y=528此时t=5216)5288(14. 即在 1652秒时，有点)535, 0(2p. 1 分故在 7 秒时有点)535 ,545(1p、在 1652秒时，有点)535,0(2p使pd将梯形coab的面积分成1:3 的两部分 . 1 分五、 （本大题只有1 题，第 (1)(2) 每小题 4 分，第 (3) 小题 2 分，满分10 分）26菱形abcd中，点e、f分别在bc、cd边上，且eafb（1）如果b60，求证：aeaf；（2）如果b， （090）(1) 中的结论：aeaf是否依然成立，请说明理由；（3）如果ab

29、长为 5，菱形abcd面积为 20，设bex，aey，求y关于x的函数解析式，并写出定义域26 (1) 联结对角线ac，（1 分）在菱形 abcd 中，ab=bc=cd=da，bd60，fdabceabc和acd都是等边三角形，（1 分）ab=ac, bac60，acd60eaf60，fac60eac又bae60eac，facbae（1 分）又bacd，ab=ac, abeacf，aeaf（1 分）(2) 过点a点作agbc，作ahcd，垂足分别为g，h，（ 1 分）则ag=ah在菱形 abcd 中，abcd，eafb180c，又gah360agcahcc180c，gaheaf（1 分）gae

30、haf（1 分）又ageahf，ag=ah, ageahf，aeaf（1 分）(3) 作法同（ 2） ，由面积公式可得，ag = 4, 在 rt agb中，222bgagab， bg = 3, 3egx，在 rt age中，222agegae，即2224(3)xy2625yxx(15)x（2 分）25. （本题满分8 分，第（ 1）小题 2 分；第（ 2）小题各3 分；第（ 3）小题 3分）已知：如图7. 四边形abcd是菱形，6ab，60manb. 绕顶点a逆时针旋转man，边am与射线bc相交于点e（点e与点b不重合），边an与射线cd相交于点f. （1）当点e在线段bc上时，求证：cfb

31、e；（2）设xbe，adf的面积为y. 当点e在线段bc上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域；（3）联结bd，如果以a、b、f、d为顶点的四边形是平行四边形，求线段be的长. a d b e a d b 25. 解： （1）联结ac（如图 1） . 由四边形abcd是菱形，60b，易得：bcba，60dacbac, 60acdacb. abc是等边三角形 . acab. 1 分又60macbae，60maccaf，cafbae. 1 分在abe和acf中，cafbae，acab，acfb，abeacf（a.s.a ）.cfbe. 1 分（2）过点a作cdah，垂足为h（如图 2）在

32、adhrt中，60d，306090dah，a m n d c b e f （第 25 题图 1）a m n d c b e f （第 25 题图 2）h 362121addh. 33362222dhadah. 1 分又xbecf，xdf6，)33()6(21xy，即39233xy（60 x） . 2 分（3）如图 3，联结bd，易得3021adcadb. 当四边形bdfa是平行四边形时，afbd. 30adcfad. 1 分303060dae，9030120bae. 在abert中，60b，30bea，6ab. 易得：12622abbe. 1 分a m n d c b e f （第 25 题图

33、 3）27解： （1）在正方形abcd中，bc = cd，bcd=dce= 90（1 分） bfde， gfd= 90即得bgc=dec，gac=edc（1 分）在bcg和dce中，,gbcedcbcdcbgcedc bcgdce（ asa） （1 分） gc = ec即得ceg= 45（1 分）（2）在 rtbcg中，bc = 4 ，2 5bg，利用勾股定理，得cg = 2 ce = 2 ，dg = 2 ，即得be = 6 （1 分） aegabeadgdegabedsssss四边形11114646424222222（）= 2 （2 分）（3）由ambf，bfde，易得am / de于是，由ad / bc，可知四边形amed是平行四边形 ad = me = 4 由ce = x，得mc = 4 -x 1144421622amcdysadmccdxx梯形（）（）即216yx（2 分）定义域为 0 x4（1 分）25、 （本题 8 分）已知直角坐标平面上点a0 ,2，p是函数0 xxy图像上一点，pqap交y轴正半轴于点q（如图） . x y y=x a q p o （1）试证明：ap=pq；（2）设点p的横坐标为a，点q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是_；（3）当apqaoqss32时，求点p的坐标 .