2022年锐角三角函数单元复习与巩固

1、学习必备欢迎下载锐角三角函数单元复习与巩固一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：明白锐角三角函数的概念，能够正确应用sina 、cosa、tana 表示直角三角形中两边的比；记忆30°、 45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特别角的三角函数值说出这个角；能够正确地使用运算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角；懂得直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关学问解

2、决简洁的实际问题；通过锐角三角函数的学习，进一步熟悉函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习，体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受重点难点：重点：锐角三角函数的概念和直角三角形的解法 难点：锐角三角函数的概念复习策略：本章由锐角三角函数和解直角三角形两节构成；锐角三角函数以相像三角形为基础进行学习，解直角三角形以锐角三角函数和勾股定理为基础进行学习，在学习的过程中不断地综合直角三角形的有关学问；二、学习与应用“凡事预就立，不预就废” ；科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对学问框图通过学问框图，先对本单元学问要点有一个总体熟悉；学问要点梳理仔

3、细阅读、懂得教材，尝试把以下学问要点内容补充完整，如有其它补充可填在右栏空白处；具体内容请参看网校资源id ： #tbjx6#302229学问点一：锐角三角函数（一）正弦、余弦、正切的定义如右图、在 rtabc 中， c=900，假如锐角 a 确定：bc（ 1）sina=，这个比叫做 a 的a（ 2）cosa=，这个比叫做 a 的cba（ 3）tana=，这个比叫做 a 的 要点诠释：（ 1 ）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的，它只是一个，其大小只与锐角的有关，而与所在直角三角形的大小无关（ 2）sina 、cosa、tana 是一个整体符号，即表示a 四个三角函

4、数值，书写时习惯上省略符号“” ，但不能写成 sin ·a ，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角 函数中符号“”不能省略，应写成sin bac ，而不能写出 sinbac （ 3）sin2a 表示 sina 2，而不能写成sina 2（ 4）三角函数有时仍可以表示成sin,cos等（二） 锐角三角函数的定义锐角 a 的正弦、余弦、正切都叫做 a 的锐角三角函数 要点诠释：对于锐角 a 的每一个确定的值， sina 有唯独确定的值与它对应，所以 sina 是 a 的函数同样， cosa、tana 也是 a 的函数，其中 a 是自变量， sina 、cosa、tana 分别是对应的函

5、数 其中自变量 a 的取值范畴是 °< a<°，函数值的取值范畴是 <sina<， <cosa<， tana> （三）锐角三角函数之间的关系：余角三角函数关系： “正余互化公式”如 a+ b=90°， 那么：sina=cos； cosa=sin；同角三角函数关系： sin2a cos2 a=；= sin acosa（四） 30 、45 、60 角的三角函数值 a30°45°60°sinacosatanaa60 °kc ak2k30°3 kb2k要点诠释：45 °c

6、kb30o、45o、60o角的三角函数值和解30o、60o 直角三角形和解 45o 直角三角形为本章重中之重，是几何运算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记娴熟学问点二：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形 解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：角角关系：两锐角互余，即a+ b=°；2边边关系：勾股定理，即ab；2边角关系：锐角三角函数，即sin a. ,cos a. , tan a.sin b. ,cos b. , tan b.要点诠释：解直角三角形，可能显现的情形归纳起来只有以下两种情形：（ 1）已知两条边（始

7、终角边和一斜边；两直角边）；（ 2）已知一条边和一个锐角（始终角边和一锐角；斜边和一锐角）这两种情形的共同之处：有一条边因此，直角三角形可解的条件是：至少已知学问点三：解直角三角形的应用解直角三角形的学问应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关 键（一）解这类问题的一般过程是：（ 1）弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念， 然后依据题意画出几何图形，建立数学模型（ 2）将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为的问题（ 3）依据直角三角形（或通过作垂线构造直

8、角三角形）元素（边、角）之间的关系解有关的直角三角形（ 4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解（二）常见应用问题：（ 1）坡度： i1: mh ltan； 坡角：（ 2）方位角：（ 3）仰角与俯角：经典例题自主学习仔细分析、解答以下例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三；如有其它补充可填在右栏空白处；更多出色请参看网校资源id ：#jdlt0#302229类型一：锐角三角函数本专题主要包括锐角三角函数的意义、锐角三角函数关系及锐角三角函数的增减 性和特别角三角函数值，都是中考中的热点明确直角三角形中正弦、余弦、正切的 意义，熟记 30°

9、、45°、60°角的三角函数值是基础，通过运算器运算知道正弦、正切随角度增大而增大，余弦随角度增大而减小例 1 在 rtabc 中， acb=9°0sinabc（）， cd ab 于点 d，已知 ac5 ， bc=2，那么a 53b 23c 25d 552思路点拨： 由于 abc 在 rt abc 和 rt bcd 中，又已知 ac 和 bc，故只要求出ab 或 cd 即可解析：解法 1：解法 2：总结升华：例 2 运算：（ 1） sin 45o cos60osin30o；o（ 2）锐角 a 满意 2sin a15 3 ，就 a=解析：总结升华：例 3 已知为锐角

10、，sin3，求 tan5思路点拨： 作始终角三角形，使为其一锐角，把角的关系转化为边的关系，借助勾股定理，表示出第三边，再利用三角函数定义便可求出，或利用sin2cos21 求出 cos，再利用解析： 解法 1：解法 2：总结升华：tansin cos，即可求出类型二：解直角三角形解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形的边角关系的学问是解直角三角形的基础解直角三角形时，留意三角函数的挑选使用，防止运算麻烦，化非直角三角形为直角三角形问题是中考的热点例 4已知：如下列图，在 abc 中， c=90°，点 d 在 bc 上， bd=4 ， ad=bc ，3cosadc5求：（1）d

11、c 的长；（ 2）sinb 的值思路点拨： 题中给出了两个直角三角形，dc 和 sin b 可分别在 rtacd 和 rt abc中求得，由 ad=bc ，图中 cd=bc - bd ，因此可列方程求出cd 解析：总结升华：举一反三【变式 1】如下列图，在梯形 abcd 中， ad bc，ca 平分 bcd，de ac，交 bc的延长线于点e， b2e （ 1）求证： ab=dc ；（ 2）如 tan b2 ， ab5 ，求边 bc 的长思路点拨： 要证 ab=dc ，只需证明abc=bcd 由 ac de，ad bc，可得四边 形 adec为 平 行 四 边 形 ， 所 以 e= dac 由

12、 ca平 分 bcd ， 可 得 bcd=2 bca=2 e，所以 b= bcd，问题得证，由（ 1）可知 ad=cd=5 ，过点 a 作 af bc，在 rtabf ，可求得 bf=1 ，所以 bc解析：25 【变式 2】已知：如下列图， p 是正方形 abcd 内一点，在正方形 abcd 外有一点 e，满意 abe= cbp， be=bp （ 1）求证： cpb aeb ；（ 2）求证： pb be；（ 3）pa：pb=1 ：2， apb=13°5 ，求 cospae 的值思路点拨：（1）在 cpb 和 aeb 中，pbc= abe ，bp=be ，要证 cpbc aeb ， 只

13、要 bc=ab 即可，而四边形 abcd 恰好是正方形， 所以得证（ 2）只要证 pbe=90°，而 abc=9°0 ，即证出（3）要求 cospae 的值，需判定 pae 所在的三角形是否是 直角三角形，因此需连结pe，借助（ 1）（ 2），求出 pbe= 90o ，而 apb=13°5 ，因此 ape=90° 解析：类型三：利用三角函数解决实际问题直角三角形应用特别广泛，是中考的重要内容之一近年来，各地中考试题为表达新课标理念，设计了很多面目新奇、创意丰富的新型考题运用解直角三角形的学问解决与生活、生产相关的应用题是近几年中考的热点虽然解直角三角的应

14、用题题型千变万化，但设法查找或构造出可解的直角三角形是解题的关键例 5 如下列图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为ab ，当太阳光与水平线成 50°角时，测得该树在斜坡的树影bc 的长为 7 m，求树高（精确到 0.1m）思路点拨： 树所在直线垂直于地面，因此需延长ab 交水平线于一点 d，就 ad cd ，在 rt bcd 中，bc=7m ， bcd=1°5 ，所以求出 cd 、bd而在 rtacd 中， acd=5°0 ，利用 tan解析：总结升华：acdad求出 ad ，所以 ab=ad - bd 即可求出cd举一反三：【变式 1】高为 1

15、2.6 米的教学楼 ed 前有一棵大树 ab （如下列图） （ 1）某一时刻测得大树ab 、教学楼 ed 在阳光下的投影长分别是bc=2.4 米，df=7.2 米，求大树 ab 的高度（ 2）用皮尺、高为h 米的测角仪，请你设计另一种测量大树ab 高度的方案，要求：在下图中，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标在图上（长度用字母 m、n 表示，角度用希腊字母、表示）；依据你所画的示意图和标注的数据，运算大树ab 的高度（用字母表示） 思路点拨： 此题主要考查解直角三角形的有关学问，并且让同学依据所供应的信息设计测量方案 解析：总结升华：【变式 2】2021 年 6 月以来某省普降大雨，时

16、有山体滑坡灾难发生北峰学校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如下列图，af bc，斜坡 ab 长 30米，坡角 abc=6°5为了防止滑坡，保证安全，学校打算对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡（ 1）求坡顶与地面的距离ad 等于多少米？（精确到0.1 米）（ 2）为确保安全， 学校方案改造时保持坡脚b 不动，坡顶 a 沿 af 削进到 e 点处， 求 ae 至少是多少米？（精确到0.1 米）解析：类型四：锐角三角形函数与斜三角形例 6 数学活动课上，小敏、小颖分别画出了abc 和 def，数据如下列图，假如把小敏画的三角形

17、面积记作s abc ，小颖画的三角形面积记作s def，那么（）a s abcs defb. s abcs defc. s abcs defd. 不能确定解析：总结升华：举一反三：【变式 1】已知如下列图，（ 1）当 abc 为锐角三角形时， ab 为最长边，三边分别为a、b、c，试判定a2b2 与 c2 的大小关系用 a、b、c，表示出 cosb（ 2）当 abc 为钝角三角形时， c 为钝角，判定a222b 与 c 的大小关系？用 a、b、c 表示 cosb思路点拨： 解此类问题需作高线构造直角三角形，通过观看发觉构造的两直角三角形有一条公共边，借助它列方程，设cd=x ，就在图（ 1）中

18、 bdax ，图（ 2）中222bdax ， 就 图 （ 1 ） 方 程 为 bx22c ax 图 （ 2 ） 方 程 为222bxc ax ，先求出 x ，再进一步求 cosb 解析：三、总结与测评要想学习成果好，总结测评少不了！课后复习是学习不行或缺的环节，它可以帮忙我们巩固学习成效，补偿学问缺漏，提高学习才能；总结规律和方法强化所学仔细回忆总结本部分内容的规律和方法，娴熟把握技能技巧；相关内容请参看网校资源id ：#tbjx10#302229 ；（一） 解直角三角形的常见类型及解法三角形类型已知和解法已知条件解法步骤由 tan aa求 a，b两直角边（ a，b） b=90° a

19、，22cab两边rt abc由sin aa求 a，c斜边，始终角边（如c，a） b=90° a，22bca锐角、邻边 b=90° a，b一始终角边（如 a， b）ab tan a ， ccosa边和一锐角锐角、对边 b=90° a，一（如 a， a）角ca， b sin aa tan a b=90° a，斜边、锐角（如 c， a）（二）用解直角三角形的学问解决实际问题的基本方法是：ac sin a ， bccos a把实际问题抽象成数学问题（解直角三角形），就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（点、线、角等）以及图形之间的大小或位置关系借助生活常识以及课本中一些概念（如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等）的意义，也有助于把实际问题抽象为数学问题当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解（三）锐角三角函数的应用用相像三角形边的比的运算具有一般性，适用于全部外形的三角形，而三角函数的运算是在直角三角形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁；如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简洁： sin1bdsinabcbcabc bc2bdab 21 sin2adsinbacacab ac2ad ab