关于算术平方根的引入

1、关于算术平方根的引入【摘要】算术平方根一节的教学重点是理解算术平方根的意义， 难点是它的求法及符号的表示，关键是算术平方根“3 q20)”的引入. 现行教材对算术平方根的引入设置欠佳，为什么耍引入符号的 说理太形式化，与之相关的预备知识铺垫太少，文中给出了处理这个问题 的教学建议.【关键词】算术平方根；根号算术平方根一节的教学重点是理解算术平方根的意义，难点是它 的求法及符号的表示，关键是算术平方根“q (a20)”的引入现行教材 的内容编排设计各有异同，有的是先讲平方根，再讲算术平方根，如华师 版；有的是先讲算术平方根，再讲平方根，如人教版不管是先讲平方根, 还是先讲算术平方根，不同版本的教

2、材对算术平方根“a q30”的引入 设置均欠佳，对根号出现的“时机”没有把握好，为什么要引入符号 的相关的预备知识铺垫太少如果按照教材中的“刚性规定”行事就 是，就会使得老师教地费劲，学生学了之后也是云里雾里本文给出了处 理这个问题的教学建议，与同行交流.通过多年的教育教学实践，笔者认为应该依据知识发生、发展的层次 为主线进行教学首先弄清楚根号的来由，即为什么要引入符号“”，然后 解决算术平方根a的性质及其它的求法，最后探究含有符号如2是 数吗？它是一个什么数的问题.“数学是从人的需要中产生的”，数学中的命名大都是有來由的我们 先来看看负号是怎样引入的（教学片段）.例如（北师大版教材），不同时

3、刻温度计上出现过两个刻度（如右图）, 一个是零上3°c,另一个是零下5°c.温度计上的“零上”与“零下”的意 义是相反的，这就是说，零上3°c与零下5°c是具有相反意义的量，为了 解决这两个具有相反意义的量我们怎样处理呢？如果把零上3°c,记作+3°c,符号“ + ”就是小学学过的加号，在这里 我们读作“正号”（我们把学过的加法运算符号“ + ”，赋予新的意义，称 为性质符号），那么零下5°c,怎样记录呢？规定1在5°c的前面加入一个号，即-5°c,也就是说，零下5°c, 记作-5°c

4、,符号读作“负”,就是小学学过的减法运算符号这样，我们在小学里学过的数的前面加上一个号，就得到一类 数，我们把这类数叫做负数.像3, 1, 2, 13,这样的数叫做正数，或者说，大于0的数叫做正 数；在正数的前面加上号的数，像-5, -1, -2, -13,这样的数叫 做负数.特别地，+0, -0还是0,也就是说0既不是正数也不是负数.教学设计到这里，负号”引入的问题就解决了，从而产生了一批 新数一一负数这样的教学呈现，适合初一学生的认知规律有了这样的知 识经验为基础，在后面学习算术平方根一节内容时应该效法模仿，也 就是说，本节课引入算术平方根概念应该设置一个悬念，使得不引入符号“”，就没法把

5、问题得到圆满地解决通过在解决实际问题的过程中，感受引入符号“”的必要性，感知这样的数a （ao）存在的合理性，为此， 这节课笔者是这样处理的（教学片段）.请同学们阅读以下部分内容（人教版）.问题1学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴想裁出一块面积为 25dm2的正方形画布（图略），画上口己的得意z作参加比赛，这块正方形 画布的边长应取多少？并填表.正方形的面积191636425边长学生通过阅读教材，很容易得出答案.师：说一说，你是怎样算出来的？生：这块止方形画布的边长是5dm；表中的边长依次是：1, 3, 4, 6, 25计算结果的理由分别是：因为52二25,所以这个正方形画布的边长是 5dm；

6、同理，因为12=1,所以正方形的边长是ldm；师：上面的问题，实际上是己知一个正数的平方，求这个正数的问题.问题2如果正方形的面积是2dm2,3dm2,那么它们的边长分别是多少？ 教师留出一段时间让同学们讨论，看看能不能给出满意的答案提出 问题2是本节课教学的核心问题，是引入根号的问题本源.师：也就是说，什么数的平方等于2,什么数的平方等于3呢？在这 里，我们没有找到任何一个整数或分数的平方等于2,即无法找到一个有 理数，使它的平方等于2,也无法找到一个有理数，使它的平方等于3, 这怎样办呢？为了确定一个数，使它的平方等于2；寻找一个数，使它的平方等于规定2在平方数2的上面，放上符号“ ”來表

7、示，记作2,即（2） 2=2.这里的符号“”读作“根号”，2读作“根号2”同理，（3） 2=3.答：止方形的边长分别是2dm和3dm.师：有了这个规定，我们“已知一个正数的平方，求这个正数的问题” 是不是更简单了，只要在这个正数上盖上一个符号就可以了.由此，我们给出算术平方根的概念.算术平方根的定义一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2f, 那么这个止数x叫做a的算术平方根，记作“，读作“根号，a叫做 被开方？也就是说，如果x2=a,那么正数x二a （ao）特别地，0的算术平方根是0,即0二0.问题3负数有没有算术平方根？比如-2的算术平方根是多少？谁的平方等于-2,即（？）2二-2呢？对

8、于这个问题，现阶段我们是不 可能找到一个数的平方等于一个负数，这是因为根据“同号得正，异号得 负”的乘法法则，知道（？ ） 2=-2,即（？）x （?）二-2是不可能的.师：没有，即负数没有算术平方根.此时，有的学生会联想到，“找不到这样的数，使得（？）2二-2”，是 不是我们再來一次规定啊？有学生提出时，就告诉学生到了高中阶段，是 再次规定某个数的平方等于一个负数，即i2二-1,学习要努力噢！学生没 有提出时，就不要告知学牛，不然就会画蛇添足了.算术平方根的性质（即时小结人(1) 一个1e数的算术平方根是止数；(2) 0的算术平方根是0；(3) 负数没有算术平方根.巩固算术平方根的定义(例题

9、讲解).例题求下列各正数的算术平方根(1) 4； (2) 49； (3) 001； (4) 179； (5) 6； (6) 7； (7) 10.解:(1)因为22二4,所以4的算术平方根是2,即4二2；(2) 因为72=49,所以49的算术平方根是7,即49=7；(3) 因?012=001,所以001的算术平方根是01,即0.01=01；(4) 因为179=169=(43)2,所以179的算术平方根是43,即179=169=43；(5) 6的算术平方根是6；(6) 7的算术平方根是7；(7) 10的算术平方根是10.教学设计到这里，为什么要引入根号的问题就解决了，从而产生了一 批新数一一无理数

10、.我们利用该例题的教学资源，顺势利导来认识无理数(建议放在第二 个教学课时里来解决，包括后面的问题4.接受新概念时要讲解得慢一些， 这有利于学生的知识消化与归纳).通过例题的解题过程，我们发现：(1) 能找到一个有理数x,使得x2=a,就把x直接求出来，写成x二a (ao)时，可以把根号化简掉，如例题中的(1)(4)小题，它们是有理数;(2) 找不到一个有理数x的，就给a盖上个根号“”，即x二a (ao) 来表示，如例题中的(5)(7)小题，它们是无理数.像2, 3, 7, 10, -这样的数,我们叫做无理数(让学生感知无理数).(3) 由例题的计算结果可以看出，a (ao)是一个数，它可能是有 理数，也可能是无理数，这就是说，含有根号的数不一定都是无理数.问题4每一个无理数有多大呢？比如“2有多大呢？ ”此略(课本在 “探究”栏目里，利用“有理数两边夹逼近无理数”，对2进行了估算， 通过估算让学生接受无理数).结论：2是一个无限不循环小数.同理，可以验证3, 6, 7, 10等都是无限不循环小数.此时，给出无理数的定义：无限不循环的小数叫做无理数.教学设计到这里，含有