关于自然数平方和公式的十种证明方法

1、关于自然数平方和公式的十种证明方法潮阳区谷饶中学张泽锋摘要：在数列的教学过程中，大家都能够熟练掌握前n个自然数的平方和公式：5/? = 12 +22 +32 + + h2 = -/?(/? +1)7 +1),但涉及到如何进行推导证明，很多学生却无 6从下手。为了让学生在理解的基础上掌握数学公式，特收集整理了如下关于自然数平方和 公式的十种证明方法，一方面解决学生的疑惑，另一方面以期学生能够举一反三，并有所 创新。关键词：自然数，平方和公式，十种证法，组合数性质，数学归纳法方法一：观察、猜想、数学归纳法证明对于自然数平方和公式的证明，通过观察、分析，得出猜想：= 12 + 22 +32 + +

2、/22应该是一个与斤有关的一个多项式，不妨设=a /i3+b /i24-c /7 + z),分别取a+b+c+d=l归,2,3,4时，得到:8a + 4b + 2c + £> = 527a + 9b + 3c+£> = 1464a + 16b + 4c+d = 30£> = 0sn = /i3 + h2 + m =丄 n(n + l)(2z? +1)"3266下面利用数学归纳法进行证明：证明：(1)当"=1时，左边=12=1,右边=-xlx(l + l)x(2xl + l) = l,左边二右边 6当川=1时，原式成立.(2)假

3、设当 n = k(kw n+)时，f+ 2?+3?+ + /=丄£伙+ 1)(2£ + 1)成立, 6则当n-k + 时，左边+ 2+32+ + /+伙+ 1尸 二丄心+ 1)(221) +伙+ 1尸6二伙+1)(丄疋+?比+1)361 9=(p +1)( 2 匕 + 7£ + 6)6二丄伙+ 1)伙+ 2)0+ 3)6二丄伙 + 1)伙 + 1)4-1 2 仗 + 1) + 16左边=右边 化当n = k +1时，原式也成立.由(1)、(2)可知，5, = 12 +22 +32 +42 + + /z2 =-/?(/? +1)(2/?+ 1)对任意 6方法二：观察

4、规律法记 s|(m) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + n,(斤)=1 + 2 + 3 + 4 4-5" + + /?*n12345 ns|(h)1361015 如+ 1)2s2(n)15143055 ?发现规律n12345 ns2(n) s©)3353739311t 2n+l3c / 、2/7 + 1 . / 、2/2 + 1 n(n + l) /?(/! +1)(2/?+ 1)/. 59 (h) =5 (/?)=-31326接着用数学归纳法很容易证明等式的正确性(同方法一)，这样就轻而易举地推出了前个 自然数的平方和公式。这个妙不可言的推导过程是数学家波利亚的

5、杰作，关键之处是他运用了“猜想一证明的思路。方法三：恒等式法这种方法借助于这个恒等式：(£ + 1)3-疋三3/+3r + 1,分别将2, 2, 3, -n-1, n代入这个恒等式中的k,就得到一系列式子:23-13 =3xl2+3xl + l33 -23 =3x2?+3x2 + l43 -33 =3x32+3x3 + 1/?3 _(/? 1尸=3(一i)? +3_1) + 1(77 +1)3 -n3, = 3n2 +3/7 + 1将所得到的斤个等式的左右两边分别相加，可得到5 + 1)3 _卩=3(1? +2? + 3? + + 川2)+ 3(1 + 2 + 3 + + 斤)+ 川

6、即 h3+3h2+3/23(l2 + 22 4-32 +»- + /z2) + 3-n(1n)4-/i加以整理，易得1? + 2? + 3? + ,二丄+1)(2 +1)6方法四：巧用“1”法皿+ 1) = 15 + 1)冷叶2)-叶1)皿+ 1)冷皿+ 1如2)十-1)巾+ 1) an = ix2 + 2x3 + 3x4 + nx( + 1)=lx2x3 0x1x2 +丄2x3x4 1x2x3 +丄3x4x5 2x3x4 +333 + 1 nn + l)(n + 2) - (- 1)t?(h +1)= -1x2x3-0x1x2 + 2x3x4-1x2x34-3x4x5-2x3x4

7、+ n(n +1)(/1 + 2)-(h-+ 1) =-n(n +1)(/? + 2)-0x1x2 = nn +1)(/7 + 2)p +2 +3? + + =1x2 + 2x3 + 3x4 + z7x( + 1) (1 + 2 + 3 + + m)=-nn +1)( + 2)- "" + d = /?(/? +1)(2/? +1)326方法五：组合数性质法（利用组合数公式c： +c：j = c；：,）v n矩形的宽即“，矩形的长：1 + 2 + 3 +斤="（刃+ »=匚乜2 2 = n(n +1) - n = 2c+1 - ci? +2?+32 +

8、+ /?= (2c；c：) + (2cfc；) + (2cfc；) +(2cc：) =2(c； +c； + cj + c；) - (c； + c； + c； + c：)=2(c；+u+u+c：+j-(c；+c；+©+©)= 2(c：+cj+c：+j-(c( + c；+c：)-c2 n+矩形面积:2n +nn2= 2-(/? + 2)( + 1)/2(/? + 1)h3x2x12x1 =n(n + l)(2n + l)6此种证法是一次公开课中，由李爱廷老师提出的一种证法。此种证法很简洁，关键在于对 进行了适当的分解，从而应用组合数性质，对公式进行了证明。方法六：面积法1234

9、5图中有门个正方形（边长每次加1）（我只画出5个），都置于图中最大的矩形中。左下部空余部分（矩形与全部正方形的差）可以分为ml条，每条宽度均为1。从上向下数第条长度=1+2+3+*響=£则第i条面积也为i2+i所有条的总面积:12为便于书写，设t = l2 + 22 +32 +- + n2显然，大矩形面积二全部正方形面积+空余部分面积，则2n +3 .2tn + n7=t +2 29rr + n + 122 +2 32 +311 2 2 212 + 22+32+ + (斤一1)2 + 1 + 2 + 3 + + (一1)2(12+22+32+ + 2)一/?2+ + 2 + 3 +

10、. + 5一1)2(12 +22 +32 +. +刊 “2+巴匸1222(12 + 22 +32 +-« + 7?2)-21un -4 3av* v*n *43 2心v*s么二：y 321此三角数阵中各项和为:12 + 22 +32 +42 +- + /72将这3个三角数阵对应相加，得：2 + 12/? + 1 2n +12 + 12/2 + 12/i +12h + 1 2zi + 12/1 + 1 2n +12n + l2/? + l这个三角数阵有巴凹项，则这三个三角数阵的和为："（"+ 1）（2" + 1）2 2/2(h +1)(271 + 1)6又

11、因为前三个三角数阵中各项的和相等，则每个三角数阵中各项和为："g + g + d即 12 +22 +32 +42 +-« + /z2方法八：正方形数阵法上述正方形数阵中的直线上面的数字之和等于12+22 + 3? + + , 即 i2 +22 +32 + + /?=/?(1+ 2 + 34- + h)-1 + (1+ 2) + (1 + 2 + 3)+ !+ 2 + 3 + + (/?-!)/?n(n + l)<1222 -232 -3比)+ +2 2 2(i2 +2, +3? + 2)+ 一(1 + 2+ 3+ + )2 2 2評+22+32+. + 刊=w3 +

12、n21 /?(1 + ,?)122 2冷（2宀3宀“）即 i2 +22 +32 + + /? =-(2n3 +3n2 + n) = -n(n + l)(2n +1) 6 6方法九：图表法图1-a是一个分为nxn个小方格的表，每一行的小方格里均依序写上从1到n这n个自然数。很明显，表中所有数字总和为:川(1 + 2 + 3 + n)=irffl图if.341 12 |3441 2 |34cm再用剪刀把这个表如图lb那样从小到大地剪成几块，那么，第k块的数字和为:1 + 2 + 3 + £ + £x /r个2 2也就是说，每一块的数字和分别为:-x12 -1x1 ,2 23 &

13、amp; 1 c-x2-x2 ,22-x32 -丄x3 ,223 2171n2 2它们的总和等于(i2 + 22 + 32 +-(1 + 2 + 3 + + /:) = -(12 + 22 + 32 + + 川)_ ns + d2224这个又应等于表中所有数字的总和，即丄(12+22+罗+心一空凹=也也242经整理，易t#l2 +22 +32 +- + 沪=丄川 + 1)(2 + 1)6方法十：堆垛法 我们先用5 +1)2块边长为1的立方体排成一个边长为n +1的正方垛，在它的上面，再用n2块立方体排成边长为的正方垛，以后向上逐层每边减少一块，也都排成正方垛，到最上 面一层只有一块立方体为止，

14、一共排了斤+ 1层，如图2a所示，这+ 1层立方体的总数是:12 + 22 +32 + + 7r+（/t + l）2现在我们在图2-a的最上面一层添上22-12 =3块立方体，就使得最上面两层都成为边长为2的正方垛（如图2b）接着，我们再在最上面两层各添上32-2? =5块立方体，就使得最上面三层都成为边长为3的正方垛（如图2c）随后，在最上面三层各添上军-32 =7块立方体如此继续下去，直到在层上面各添上+ 1）22 =2/? + 1块立方体为止，就得到一个每边长斤+ 1的正方体（如图2d）这时，大正方体中所含的小立方体的块数为（n + 1）3.图2d在整个过程中，添加的小立方体块数为ix3

15、 + 2x5 + 3x7 + n(2/? +1)=1x(2x1 + 1) + 2x(2x2 + 1) + 3x(2x3 + 1) + + /7(2a? + 1)=2(12+22 +3?+ + /?)+(1 + 2 + 3 + + ) 因此有12 + 22 + 32 + + n2 +(h + 1)2+2(12 + 22 +32 + + n2) + (l + 2 + 3 + - + 7?) = (/? + l)3即 3(12+22 +3?+ + ")= a + l)3 ( + 1)2 "(" + d 化简即得 12+22 +3? + + n2 =-n(n + l)(2n + l).6堆垛求和法是我国北宋科学家沈括创立的一种独特的方法它是通过巧妙的几何代数变换 来研究数列求和问题的这种方法在级数理论的发展史上有十分重要的地位，并产生了深远 的影响.【参考文献】朱月祥自然数平方和公式的推导方法j中学生数学(高中版)，2014,11(501)2杜春辉导出12 +22 +32 +42 + + h2公式的三种方法j 数学学习与研究,2009,11 (80)3查道庆.组合数公