2022年门头沟中考数学模拟试卷一道几何压轴题的多种解法

1、学习必备欢迎下载16：如图，在 acb和aed中，ac=bc,ae=de, acd= aed=90 ，点 e 在 ab上，f是线段 bd的中点，连结 ce 、fe 。（1） 请你探究 ce和 fe之间的数量关系；（2） 将图 1中的 aed绕点 a 顺时针旋转，使得 aed的一边 ae恰好与 acb的一边 ac在同一条战线上，连结bd ，取 bd的中点 f，求 ce和 fe之间的数量关系；（3） 将图 1 中的 aed绕点 a 顺时针旋转任意角度，使得e在acb ，求 ce和 fe之间的数量关系。解（1） ：分析：要探究ce和 ef的数量关系，我们不妨连结cf, 通过观察，很容易猜想到 cef

2、是等腰直角三角形。于是，我们就想方设法证明ef=cf, 在想法证明 ecf=45 ，于是就有了 解法 1；另外，我们也可以想方设法证明ef=cf, 再证明 efc=90 ，于是，就有了 解法 2. 解法 1：如图，连结 cf ， aed= acb=90 b、c、d、e四点共圆且 bd是该圆的直径，点 f 是 bd的中点，点 f 是圆心，ef=cf=fd=fb, fcb= fbc, ecf= cef, 由圆周角定理得： dce= dbe, fcb+ dce= fbc+ dbe=45 ecf=45= cef , cef是等腰直角三角形，ce=ef. 解法 2：易证 bed= acb=90 ，点 f

3、是 bd的中点，cf=ef=fb=fd, dfe= abd+ bef, abd= bef, dfe=2 abd, 同理 cfd=2 cbd, dfe+ cfd=2( abd+ cbd)=90 ，即 cfe=90 ， ce =ef. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解 （2） ：分析：观察图形，很容易猜想到 ce=ef, 所以，就想法求出 ecf=45 ， efc=90 ，于是，就有了解法1；当然，也可以延长ef交 bc于点 g，先证明ceg为等腰直角三角形， 再证明

4、 cf eg, 从而得出 ce=ef. 于是就有了解法2. 解法 1：连结 cf 、af ， bad= bac+ dae=45 +45=90，又点 f 是 bd的中点，fa=fb=fd ，而 ac=bc,cf=cf, acf bcf, acf= bcf=acb=45 ，fa=fb,ca=cb, cf所在的直线垂直平分线段ab ，同理， ef所在的直线垂直平分线段ad, 又 daba, efcf,cef为等腰直角三角形，ce=ef. 解法 2：延长 ef交 bc于点 g， aed= acb=90 ，de bc, edf= gbf, def= bgf, 又 df=bf, def bgf, ef=g

5、f,de=bg, 又 de=ae,ac=bc, ac-ae=bc-bg, 即 ce=cg, cf eg, ecf= acb =45，ceef. 解(3) ： 分析： 要求 ce 和fe之间的数量关系系。观察图形，我们不难猜想，ce=ef.所以，仍需想法证明cef为等腰直角三角形，于是，就连接cf 。考虑到点f为 bd的中点，我们不妨延长ef到点 g，使 fg=ef ，连接 bg 、cg, 易证 def bgf ，从而得出bg=de=ae, 而要证 cef为等腰直角三角形，只需证明ecg为等腰直角三角形即可， 所以必须想方设法证明ce=cg, ecg=90 ，因而，须再证明 bcg ace, 于

6、是，就有了解法1. 解法 1：连接 cf, 延长 ef到点 g，使 fg=ef ，连接 bg 、cg. 易证 def bgf ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载bg=de, fbg=fde, de bg, ade是等腰直角三角形， ae=de, bg= ae, 延长 ae分别交 bc于点 p、交 bg延长线于点 h， bha= aed=90 = acb ， cap+ apc= cbh+ bph=90 ， apc= bph, cap= cbh, 在ace与 bcg中，

7、ae=bg, cap= cbh, ac=bc, ace bcg, ce=cg, ace= bcg, bcg+ bce= ace+ bce=90 ，即 ecg=90 , ceg 为等腰直角三角形，而 ef=fg, ecf=45 ，cf eg, 即cef为等腰直角三角形，ceef. 又分析：要证 ce=ef, 需证 cef为等腰直角三角形，为此，需证ef=cf, 因点 f 是 bd的中点，所以，我们不妨延长be 到点 g，使 eg=de, 延长 bc到 h，使 ch =bc, 这样， ef 、cf分别成了 dbg和dbh的中位线，我们只需证明bg=dh, 便可得出 ef=cf 了，显然，这是可以的

8、。下面下面，我们再想法证明 ecf=45 ，问题就得以解决了。所以，就有了解法2. 解法 2：连接 cf, 延长 de到点 g，使 eg= de, 连接 bg，延长 bc到点 h，使 ch=bc ，连接 dh，连接 ag,ah, ae de,eg=de, ac bc,ch=bc，ad=ag, ah=ab, dah+ dab= bah=90 ， bag+ dab= dag=90 dah= bag, dahgab, dh=bg, 点 f 是 bd 的中点，且 ch=bc,eg=dg, 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 -

9、 - - - - - - - -学习必备欢迎下载cf dh,cf=dh,ef bg,ef=bg, cf=ef, cae+ dac= dae=45 ， dah+ dac= cah=45 ， cae= dah, 又 ah:ac=ad:ae=，ace ahd, ace= ahd, 而 bcf= bhd, ace+ bcf= ahd+ bhd= ahb=45 ， ecf=45，cef为等腰直角三角形，ceef. 再分析：要证 ce=ef, 需证 ef=cf, cfe=90 ，考虑到点 f是 bd的中点，且abc和ade均为等腰直角三角形，为了充分利用其特殊性质，我们不妨分别取其斜边 ab和 ad的中点

10、 g 、h,再连接 cg 、eh 、fg 、fh ，这样，就出现了 cfg 和feh,而且可以证明这两个三角形全等，从而得出cf=e,再证明 cfe=90 就达到目的了。于是就有了解法3.解法 3：连接 cf ，分别取 ab 、ad的中点 g 、h,连接 cg 、eh 、fg 、fh ，又点 f 是 bd的中点，fg=ad, ae=de, aed=90 ，eh= ad, fg=eh, 同理 cg=fh, fg ad,fh ab, 四边形 ahfg 是平行四边形， agf= ahf ，易证 agc= ahe=90， agf- agc= ahf- ahe, 即 cgf= ehf, cfg feh, gcf= hfe, 设 fh 与 cg交于点 m, 则 cmf= cgh=90， gcf+ cfh=90， hfe + cfh=90即 cfe= 90,