三相似三角形的判定与性质

1、高二数学选修4-1 学案4 相似三角形的判定与性质（二）主备：审核班级姓名学号时间教学目标知识与技能：复习相似三角形的定义与性质，证明直角三角形射影定理。过程与方法： 以“平行线分线段成比例定理”为起点，给出相似三角形定义后，逐步讨论相似三角形的判定定理、性质定理等等。情感态度价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。教学重点： 相似三角形的判定定理、性质定理等等。教学难点： 相似三角形的判定定理、性质定理等等。课时3 课时一基础知识回顾1、如图 15-14， abc中， 1=b，则 此时若 ad=3 ，bd=2 ，则ac= 答案 : acd， abc ，15；2、两个三角形相似

2、，它们的周长分别是12 和 18，周长较小的三角形的最短边长为3，则另一个三角形的最短边长为答案 :29. 3、如图 15-15， cd是 rt abc的斜边上的高 （1）若 ad=9 ，cd=6 ，则 bd= ；（2）若 ab=25 ， bc=15 ，则 bd= 答案 :4 ；9. 4、如图 15-16，已知 1=2，请补充条件：（写一个即可） ，使得 abc ade 答案 : b= d（或 c=e，或abadacae） 二典型例题讲解例 1如图 15-17 ，a、b、 c、d在一条直线上，ea ad，垂足为 a，ab=bc=cd=ae求证： bce bed 分析：bce与 bed有一个公共

3、角，因此只要再找一对角对应相等或证明夹这个公共角的两边成比例证明：设 ab=a ，在 rtabe中， ab=ae=a ，be=22aeab=2aa c b d 1 图 15-14 a b c d 图 15-15 d a c b 图 15-16 e 1 2 a b c d e 图 15-17 在 bce和 bed中，2aa2bcbe，222bdabea，bebdbcbe又 cbe= ebd ，bce bed 评析：三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定夹这个角的两边是否对应成比例；若无角对应相等，就证

4、明三边对应成比例例 2如图 15-18 ，e，f 分别是正方形abcd 的边 ab和 ad上的点，且31adafabeb求证： aef= fbd 分析：aef是 rtaef的一个锐角，因此要证明aef= fbd ，可以通过证明三角形相似得到证明：过点 f 作 fm bd于点 m 设正方形的边长为a，则 bd=2a31adafabeb，eb=af=31a，ae=df=32a在 rtdmf中， em=dm=22df=32a，bm=2a32a=322a在 rtaef和 rtmbf中，21a32a31aeaf，21a232a32bmfm，a=bmf=90 ，aef mbf aef= fbd 评析：本题

5、的难点是构造含 aef 和fbd的相似三角形在含正方形的有关证明中，常借助正方形的性质采用计算法证明例 3如图 15-19 ，ad 、be是 abc的两条高， df ab，垂足为 f，直线 fd交 be于点 g ，交 ac的延长线于h求证： df2=gf hf a b c d m f e 图 15-18 a b d c e f g h 图 15-19 分析：由于 df，gf ，hf三条线段在同一条直线上，因此想直接得到关系式比较困难，考虑用第三个量作代换证明：在 afh与 gfb中，hbac=90 ， gbf bac=90 ，h =gbf afh= gfd=90 ， afh gfb gfafb

6、fhf， af bf=gf hf在 rtabd中， fdab ，df2=af bf df2=gf hf 评析：本题涉及两个基本图形：含斜边上高的直角三角形，含两条高的锐角三角形含两条高的锐角三角形是相似形中的基本图形，图中有多对相似三角形，在解题时要充分利用图形提供的有效信息，选择有用的条件和结论另外直角三角形的射影定理是相似三角形的性质在直角三角形中的应用，在解题中使用十分频繁三精选试题演练1、已知，如图15-20 ，在平行四边形abcd中，db是对角线， e是 ab上一点，连结ce且延长和 da的延长线交于f，则图中相似三角形的对数是（） a2 b 3 c4 d大于 4 答案 : d. 2

7、、如图 15-21，已知 abc中， bc=30 ，高 ad=18 ，efgh 是 abc的内接矩形，ef=12，则gf= （） a7.2 b10.8 c12 d9 答案 :b. 3、如图 15-22，ed fg bc ，且 de ，fg把 abc 的面积分为相等的三部分，若bc=15 ，则 fg的长为（） a56 b10 c43 d7.5 答案 :a. 4、如图 15-23，已知矩形abcd 中， aef=90，则下列结论一定正确的是（） a f e b c g d 图 15-20 图 15-21 a b c d e f g h a d e c b f g 图 15-22 aabf aef

8、b abf cef c cef dae d ade aef 答案 :c. 5、如图 15-24 ， 在 rt abc中，c=90 ，d是 bc中点，de ab ， 垂足为 e， b=30， ae=7 求de的长答案 :357. 6、如图 15-25，四边形acbd 中， e是 cd上一点，且 dab= eac ， dba= eca 求证： ade abc 提示：先证明 abd ace ，可得aeadacab，再证明 dae= bac ；7、 如图 15-26 ， 在 abc中， a cb=90 ， m是 bc的中点，cd am ，垂足为 d求证： amb bmd 提示：由直角三角形射影定理得c

9、m2=dm am ，从而有bm2= dm am ，即bmamdmbm，又 amb 是公共角，可得结论；8、如图 15-27 ，已知 rtabc中，c=90 ， ac=3cm ，bc=4cm ，在该直角三角形中作内接正方形，使其顶点均在abc的边上，求正方形的边长提示：要分两种情况， （1）正方形的一个顶点在斜边上，一个顶点与c点重合，正方形的边长为712cm； （2）正方形的一条边在斜边上，正方形的边长为3760cm；a b c d e f 图 15-23 d a c b e 图 15-24 图 15-25 d a c b e 图 15-26 c a m b d a c b 图 15-27 9

10、、如图 15-28，已知直角梯形abcd 中， a=b=90，设 ab=a ，ad=b ，bc=2b ，作de dc ，交 ab于点 e，连结 ec （1）对于 dce与 ade ； ade与 bce ，试判断各组的三角形是否一定相似；（2）如果两个三角形一定相似，请加以证明；（3）如果不一定相似，请指出它们相似时，a，b 应满足什么关系答案 : （1）dce与 ade一定相似， ade与 bce不一定相似；（2） 提示： 作 df bc ， 垂足为 f， 利用 rtade rt fdc 得到dfcfadae，则 ae=ab2，用勾股定理可以计算得ed=22baab，从而可以得到badedcaead，可以证得rtdce与 rtade ；（3）提示：利用相似三角形的对应边成比例可以计算得，当ade bce时， a=b3四教学反思相似三角