三角形四心问题_第1页
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文档简介

1、1 七、三角形四心问题一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3） 内心角平分线的交点（内切圆的圆心） ： 角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0ocoboao是abc的重心 . 证法 1：设),(),(),(),(332211yxcyxbyxayxo0ocoboa0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxo是abc的重心 . 证法 2：如图ocoboa02odoaodao2d

2、oa、三点共线，且o分ad为 2：1 o是abc的重心（2）oaococoboboao为abc的垂心 . 证明：如图所示o 是三角形abc 的垂心， be 垂直 ac ，ad 垂直 bc， d、e 是垂足 . 0)(caobocoaobocoboboaacob同理bcoa，aboco为abc的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，o是abc的内心ooccobboaa0为abc的内心 . 证明：baccab、分别为acab 、方向上的单位向量，baccab平分bac, (aobaccab) ，令cbabcoabcdeoabcde2 cbabcao（baccab) 化简得0)(accabboa

3、cba0occobboaa（4）ocoboao为abc的外心。三、例题分析例1：o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，动点p满足)(acaboaop，,0，则点p的轨迹一定通过abc的例 2：o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，动点p满足)(acacababoaop，, 0，则点p的轨迹一定通过abc的例3：o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，动点p满足)co sco s(cacacbababoaop，, 0，则点p的轨迹一定通过abc的3 四、巩固练习1已知abc三个顶点cba、及平面内一点p，满足0pcpbpa，若实数满足：apacab，则的值为2若abc的外接圆的圆心为o，半径为1，0ocoboa，则oboa3点o在abc内部且满足022ocoboa，则abc面积与凹四边形aboc面积之比是4abc的外接圆的圆心为o，若ocoboaoh，则h是abc的5o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，若222obbcoa222abocca，则o是abc的6abc的外接圆的圆心为o， 两条边上的高的交点为h，)(ocoboamoh，则实数 m = 7已知非零向量ab与ac满足 (ab|ab|+ac|ac|) bc=0 且a

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