三角形的重心定理及其证明

1、1 三角形的重心定理及其证明积石中学王有华同学们在学习几何时， 常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知： （如图）设abcv中，l、m 、n 分别是 bc、ca 、ab 的中点 . 求证： al 、bm、cn 相交于一点g，且ag gl= bg gm= cg gn=2 1.证明 1（平面几何法） ： （如图 1）假设中线 al 与 bm 交于 g，而且假设 c 与 g 的连线与 ab 边交于n，首先来证明n 是 ab 的中点 . 现在，延长gl，并在延长线上取点d，使 gl=ld 。因为四边形bdcg 的对角线互相

2、平分，所以bdcg 是平行四边形 .从而， bg dc ，即 gm dc.但 m是 ac的中点，因此，g是 ad的中点 . 另一方面， gc bd ，即 ng bd.但 g是 ad的中点，因此n是 ab的中点 . 另外， g是 ad的中点，因此ag gl=2 1. 同理可证：bg gm=2 1， cggn=2 1. 这个点 g被叫做abcv的重心 . 证明 2（向量法）： （如图 2）在abcv中，设 ab 边上的中gdlmnabc图 1 2 线为 cn，ac 边上的中线为bm ，其交点为g，边 bc 的中点为l，连接 ag 和 gl，因为 b、g、m 三点共线， 且 m 是 ac 的中点，所

3、以向量bgu uu rbmu uu u r，所以， 存在实数1，使得1bgbmuuu ruuu u r，即1()agabamabuuu ruuu ruuuu ruuu r所以，11(1)agamabuuu ruuuu ruuu r=111(1)2acabuuu ruuu r同理， 因为 c、g、n 三点共线， 且 n 是 ab 的中点 . 所以存在实数2，使得22(1)aganacuuu ruuu ruuu r= 221(1)2abacuu u ruuu r所以111(1)2acabuuu ruuu r= 221(1)2abacuuu ruuu r又因为abuuu r、acuuu r不共线，所

4、以1221112112所以1223，所以1133agabacuuu ruu u ruuu r. 因 为l是bc的 中 点 ， 所 以glgaaccluuu ruuu ruuu ruur=111()332abacaccbuuu ruuu ruuu ruuu r=121()332abacab acuuuruuuruuuruuur=1166abacuuu ruuu r，即2aggluuu ruu u r，所以 a、g、l 三点共线 .故 al 、bm 、cn 相交于一点g，且 ag gl= bg gm= cg gn=2 1 glmnbca图 2 3 证明3（向量法）（如图3）在abcv中，bc 的中点 l 对应于1()2olobocuuu ru uu ruuu r，中线 al 上的任意一点g，有(1)ogoaolu uu ruu u ruu u r1122oaobocuuu ruuu ruuu r.同理，ab 的中线cn 上的任意点g，1122ogocoaobuuuu ruuu ruu u ruu u r，求中线al和 cn 的交点，就是要找一个和一个，使ogogu uu ruuuu r.因此，我们令12，1122，12.解之得13.所以111333ogogoaobocu uu ruuuu ruu u ruuu ruuu r.由对称性可知