2022年阿基米德三角形与三道高考试题

1、优秀学习资料欢迎下载阿基米德三角形与三道高考试题（山东省滕州市第一中学邵明志277500 ）题 1（20xx 年江西卷，理22 题） ：如图， 设抛物线2:xyc的焦点为f，动点 p 在直线02:yxl上运动， 过 p 作抛物线 c 的两条切线pa、 pb，且与抛物线c 分别相切于a、b 两点 . （1）求 apb 的重心 g 的轨迹方程 . （2）证明 pfa= pfb. 题 2（2006 全国卷 ii ，理 21 题） ：已知抛物线x24y 的焦点为f，a、b 是抛物线上的两动点，且 af fb（ 0） 过 a、b 两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明 fm ab为定值；（）设 ab

2、m 的面积为s，写出 sf( )的表达式，并求s的最小值题 3（2007 江苏卷，理19 题） ：如图，在平面直角坐标系xoy中，过y轴正方向上一点(0)cc，任作一直线，与抛物线2yx相交于ab，两点一条垂直于x轴的直线，分别与线段ab和直线:lyc交于点pq，（1）若2oa ob，求c的值；（2）若p为线段ab的中点，求证：qa为此抛物线的切线；（3）试问（ 2）的逆命题是否成立？说明理由上述三道高考试题都涉及到抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围的三角形，这个三角形又常被称为阿基米德三角形，因为阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面

3、积的23阿基米德三角形有许多有趣的性质， 上述三题都是某些性质的体现，可以预见， 今后围绕该三角形性质的高考试题还会出现， 因此对该三角形的性质作进一步的研究是必要的、有益的 下面给出阿基米德三角形的一些有趣性质，证明时均以抛物线22ypx为例，且称弦ab 为阿基米德三角形的底边， m 为底边 ab 的中点，下不赘述性质 1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴证明：设11(,)a xy，22(,)b xy， m 为弦 ab 中点，则过 a 的切线方程为11()y yp xx，过 b 的切线方程为22()y yp xx，联立方程组得a b c p q o x y l xyoabpfl精品

4、学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载1122211222()()22y yp xxy yp xxypxypx解得两切线交点q(122y yp，122yy)，进而可知qmx 轴. 此性质即为题3 考查内容性质 2 若阿基米德三角形的底边即弦ab 过抛物线内定点c，则另一顶点q 的轨迹为一条直线证明：设 q(x，y) ， 由性质 1，x=122y yp， y=122yy，122y ypx由 a、b、c 三点共线知10122221210222yyyyyyyxppp，即2211

5、21020102yy yy xy xypy，将 y=122yy，122y ypx代入得00()y yp xx，即为q点的轨迹方程 . 性质 3 抛物线以c 点为中点的弦平行于q 点的轨迹利用两式相减法易求得以c 点为中点的弦的斜率为0py， 因此该弦与q 点的轨迹即直线l平行性质 4 若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点证明：如上图，设l方程为0axbyc，且11(,)a xy，22(,)b xy，弦 ab 过点 c00(,)xy，由性质 2 可知q点的轨迹方程00()y yp xx，该方程与0axbyc表示同一条直线，对照可得00,cbpxyaa，即弦 a

6、b 过定点 c（ca，bpa） . 性质 5 底边长为a 的阿基米德三角形的面积的最大值为28ap证明： |ab|=a，设 q 到 ab 的距离为d，由性质1 知l精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载22121212122|2244xxy yyyy ydqmppp=212()4yyp， 设直线 ab方程为：xmyn，则2221(1)()amyy，221()yy2a，d24ap，即 s=12ad28ap. 性质 6 若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点q 的轨迹为准线

7、，且阿基米德三角形的面积的最小值为2p证明：由性质2，若底边过焦点，则00,02pxy， q 点轨迹方程为2px即为准线；易验证1qaqbkk，即 qaqb，故阿基米德三角形为直角三角形，且 q 为直角顶点；|qm|=122xx2p=22124yyp+2p122 |4y yp+2p=224pp+2p=p，而121|()2qabsqmyy12|qmy y2p性质 6 即为题 2 所涉及性质性质 7 在阿基米德三角形中，qfa=qfb证明：如图，作aa准线， bb准线，连接qa、qb、qf、af、bf，则1faykp，显然1faqakk， faqa，又 |aa|=|af|，由三角形全等可得 qaa

8、=qaf， qaaqaf， |qa|=|qf |， qaa=qfa，同理可证 |qb|=|qf|， qbb=qfb， |qa|=|qb|，即 qab=qba qaa=qab+900=qba+900=qbb, qfa=qfb，结论得证此性质即题1 的结论，但原解答采用代数法相当复杂，这里给出的几何法简洁明了性质 8 在抛物线上任取一点i（不与 a、b 重合） ，过 i 作抛物线切线角qa、qb 于 s、t，则 qst 的垂心在准线上证明：设211(2,2)aptpt、222(2,2)bptpt、233(2,2)iptpt，易求得过 b、i 的切线交点t2 323(2,()pt tp tt，过 t

9、 向 qa 引垂线，其方程为1231 2 32()4t xyp ttpt t t，它和抛物线准线的交点纵坐标为y =1231 2 3()4p tttpt t t，显然这个纵坐标是关于123,t tt对精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载称的，因此从s点向 qb 引垂线，从q 点向 st 引垂线，它们与准线的交点也是上述点，故结论得证性质 9|af| | bf|= |qf|2证明： |af| | bf|=12() ()22ppxx=21212()24ppx xxx=2

10、12()2y yp+22124yy+24p，而|qf|2=221212()()222y yyypp=212()2y yp+22124yy+24p=|af| | bf|. 性质 10 qm 的中点 p 在抛物线上，且p 处的切线与 ab 平行证明：由性质1 知 q(122y yp，122yy)，m1212(,)22xxyy，易得 p 点坐标为21212()(,)82yyyyp，此点显然在抛物线上；过p 的切线的斜率为121222ppyyyy=abk，结论得证性质 11 在性质 8 中，连接ai、 bi，则 abi 的面积是 qst 面积的 2 倍证明：如图，这里出现了三个阿基米德三角形，即qab

11、、 tbi、 sai；应用阿基米德三角形的性质：弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的23；设 bi 与抛物线所围面积为1s，ai 与抛物线所围面积为2s，ab 与抛物线所围面积为s，则123322abiqabqstsssss=12333222qstssss=123()2qstssss=32abiqstss，abis2qsts性质 12 设q(,)x y，2( ,)2f x yypx， aqb=，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载（1）2 qaqbpkkx（2）qaqbykkx（3）( ,)|qaqbf xykkx（4）2( ,)|tan|2 |f x yxp（5）222|(,)()abf x yypp=222(,)(2)( ,)fxyx ppf x