全等三角形证明经典试题50道(20211125084224)

1、1 全等三角形证明经典试题50 道1. （已知：如图，e,f在 ac上， adcb且 ad=cb ， d b. 求证： ae=cf. 【答案】 adcb a=c 又 ad=cb ， d=b adf cbe af=ce af+ef=ce+ef 即 ae=cf2. 已知：如图，abc =dcb，bd、ca 分别是 abc 、 dcb的平分线求证：ab=dc证明：在 abc与 dcb中(a b cd c ba c bd b cb cb c已知）（公共边）（ ac平分 bcd ， bd平分 abc） abc dcb ab=dc 3. 如图，点 d，e分别在 ac，ab 上(1) 已知， bd=ce，c

2、d=be ，求证： ab=ac ；(2) 分别将“ bd=ce ”记为，“cd=be ” 记为，“ab=ac ”记为添加条件、，以为结论构成命题1，添加条件、 以为结论构成命题2命题 1 是命题 2 的命题， 命题 2 是命题 （选择 “真”或“假”填入空格） 【答案】(1) 连结 bc，bd=ce ，cd=be ，bc=cb 2 dbc ecb （sss ） dbc =ecb ab=ac (2) 逆，假；4. 如图，在abcd中，分别延长ba ，dc到点 e，使得 ae=ab ，ch=cd ，连接 eh ，分别 交 ad ，bc于点 f,g。求证：aef chg. 【答案】 证明：abcd

3、ab=cd, bad= bcd abcd eaf= hcg e=h ae=ab， ch=cd ae=ch aef chg.5. 如图，点 a、f、c、d 在同一直线上，点b和点 e分别在直线ad 的两侧，且 abde，a d，afdc求证： bcef 【证明】 afdc， ac df，又 a d ，abde， abc def ， acb dfe ， bcef 6. 两块完全相同的三角形纸板abc和 def ，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点o 为边 ac和 df的交点 . 不重叠的两部分aof与 doc是否全等？为什么？【答案】解：全等.理由如下：两三角形纸板完全相同，bc =bf

4、，ab=bd， a=d， abbf=bdbc，即af=dc.在 aof和 doc中， af=dc， a=d， aof =doc ， aof doc（aas ）. 7. 已知：如图， e,f在 ac上， adcb且 ad=cb ， d b. 求证： ae=cf. 3 【答案】 adcb a=c 又 ad=cb ， d=b adf cbe af=ce af+ef=ce+ef 即 ae=cf8. 在 abc中,ab=cb,abc=90 o,f 为 ab延长线上一点, 点 e在 bc上, 且 ae=cf. (1)求证 :rt abertcbf; (2) 若 cae=30 o, 求 acf度数 . 【答

5、案】（1） abc=90, cbf= abe=90 . 在 rtabe和 rtcbf中, ae=cf, ab=bc, rt abe rtcbf(hl) (2) ab=bc, abc=90, cab= acb=45 . bae= cab- cae=45 -30 =15. 由（ 1）知 rt abe rtcbf ， bcf= bae=15 , acf= bcf+ acb=45 +15=60.9. 如图 6,abbd于点b,edbd于点d,ae交bd于点 c , 且 bcdc . 求证abed. 【答案】(1) 证明:abbd,edbd90abcd在abc和edc中abcdbcdcacbecda b

6、 c e f 第 22 题图a图 6bcde4 abcedcabed10如图，在rtabc 中， bac=90 ， ac=2ab，点 d 是 ac的中点，将一块锐角为45的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与a、d 重合，连结be 、ec 试猜想线段be和 ec的数量及位置关系，并证明你的猜想【答案】 be=ec ，beec ac=2ab，点 d 是 ac的中点ab=ad=cd ead= eda=45 eab= edc=135 ea=ed eab edc aeb= dec ，eb=ec bec= aed=90be=ec ，be ec11. 已知：如图，e,f在 ac上， adcb且

7、 ad=cb， d b. 求证： ae=cf. 【答案】 adcb a=c 又 ad=cb ， d=b adf cbe af=ce af+ef=ce+ef 即 ae=cf12. 如图， d，e，分 别 是 ab，ac 上 的 点 ，且 ab=ac ，ad=ae求证 b=c【答案】证明：在abe和acd中，abacaa aead abe acd b=c13. 如图，在 abc中，ad 是中线，分别过点b、c作 ad 及其延长线的垂线be、cf，垂足分别为点e、f求证：be=cf a b c d e 5 【证明】在abc中， ad 是中线，bd=cd， cf ad， be ad， cfd bed9

8、0 ，在 bed与 cfd中， bed cfd ， bdecdf，bdcd， bed cfd ， be =cf 14. 已知 :如图 ,在 abc中,d 为 bc上的一点 ,ad平分 edc, 且 e=b,ed=dc. 求证 :ab=ac 【答案】证明ad 平分 edc, ade= adc,又 de=dc,ad=ad, ade adc, e=c, 又 e=b, b = c, ab=ac. 15. 如图，在平行四边形abcd 中， e为 bc 中点， ae的延长线与dc的延长线相交于点f. (1) 证明： dfa = fab ；(2) 证明: abe fce.（第 18 题图）【答案】证明： （

9、1） ab 与 cd是平行四边形abcd 的对边， abcd， （1 分） f=fab （3 分） （2）在abe和 fce中，fab= f （4 分）aeb=fec （5 分） be=ce （6 分）abe fce （7 分）16 如图， c是线段 ab的中点， cd平分 ace ，ce平分 bcd，cd=ce (1)求证： acd bce ；(2)若 d=50，求 b的度数【答案】6 17. 如图，已知：点b、f、c、e在一条直线上，fb=ce ， ac=df能否由上面的已知条件证明abed？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使abed成

10、立，并给出证明供选择的三个条件（请从其中选择一个）： ab=ed； bc=ef ； acb =dfe 【答案】解：由上面两条件不能证明ab/ed.有两种添加方法. 第一种： fb=ce ，ac=df添加ab=ed证明：因为fb=ce ，所以 bc=ef ，又 ac =ef ， ab=ed，所以abcdef所以 abc=def所以 ab/ed第二种： fb=ce ，ac=df添加 acb =dfe证明：因为fb=ce ，所以 bc=ef ，又 acb=dfeac=ef ，所以abcdef所以 abc =def所以 ab/ed 18. 如图，在 abc 中，d 是 bc 边上的点（不与b，c 重合

11、） ，f，e 分别是 ad 及其延长线上的点，cfbe. 请你添加一个条件，使bde cdf (不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明（1）你添加的条件是：；（2）证明：a b d e f c （第 25 题）a c b d f e ( 第 18题图) 7 【答案】解： （1）dcbd(或点 d 是线段 bc的中点 )，edfd，becf中任选一个即可（2）以dcbd为例进行证明：cf be， fcd ebd又dcbd， fdc edb ，bde cdf 19如图，分别过点c、b 作 abc的 bc边上的中线ad 及其延长线的垂线，垂足分别为 e、f求证： bf=ce 【答案】

12、 ce af，fb af， dec dfb 90又 ad 为 bc边上的中线，bdcd， 且 edc fdb（对顶角相等）所以 bfd cde （aas ） ， bf =ce20. 如图，已知ad 是 abc的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使aed afd，需添加一个条件是： _，并给予证明 . 全品中考网【答案】解法一：添加条件：ae af，证明：在 aed与 afd中，ae af， ead fad ，ad ad ， aed afd （sas ）. 解法二：添加条件：eda fda ，证明：在 aed与 afd中，b d c a e f 8 ead fad ，ad ad， eda

13、fda aed afd （asa ） . 21. 已知：如图，点c是线段 ab的中点， ce=cd ， acd= bce, 求证： ae=bd 题 20 图【答案】证明：点 c是线段 ab的中点， ac=bc ， acd= bce, acd+ dce= bce+ dce, 即 ace= bcd,在 ace和 bcd中，acbcacebcdcecd， ace bcd（sas ） ， ae=bd. 21. 已知：如图，点a、b、c、d在同一条直线上，eaad，fdad，ae=df，ab=dc求证：ace=dbf【答案】证明：ab=dcac=dbeaad，fdada=d=90在eac与fdb中dba

14、cdafdeaeacfdbace=dbf22. 如图，点a、 e、b、d 在同一条直线上，aedb，acdf，acdf. 请探索 bc与 ef有怎样的位置关系？并说明理由9 d o c b a【答案】解：bcef 理由如下：aedb ， ae bedbbe， adde.acdf， a d， acdf， acb dfe ， fed cba ， bcef 23. 如图，点 b、d、c、f在一条直线上，且bc = fd ，ab = ef. （1）请你只添加一个条件（不再加辅助线），使 abc efd ，你添加的条件是；（2）添加了条件后，证明abc efd. 【答案】（1） b = f或abef或a

15、c = ed . （2）证明：当b = f时在 abc和 efd 中a be fbfbcfd abc efd (sas)24. 如图，bacabd. （1）要使ocod，可以添加的条件为：或； （写出 2 个符合题意的条件即可）（2）请选择 (1) 中你所添加的一个条件，证明ocod. 【答案】 解： （ 1）答案不唯一. 如cd，或abcbad，或oadobc，或acbd. 4 分说明： 2 空全填对者，给4 分；只填1 空且对者，给2 分. （2）答案不唯一 . 如选acbd证明 oc=od. 证明 : bacabd， oa=ob. 6 分又acbd， ac-oa=bd-ob ，或 ao+

16、oc=bo+od. ocod. 8 分25. 八（ 1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）. 设计了如下方案：f a b c d e abcdefd o c b ab 10 （） aob是一个任意角，将角尺的直角顶点p介于射线oa 、ob之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与m 、n重合，即pm=pn ，过角尺顶点p的射线 op就是 aob的平分线 . （） aob是一个任意角，在边oa 、ob上分别取om=on，将角尺的直角顶点p介于射线oa 、 ob之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与m 、n重合，即pm=pn ，过角尺顶点p的射线 op就是 aob的平分线 . （1）方案（）

17、、方案（）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由. （2）在方案（）pm=pn 的情况下，继续移动角尺，同时使pm oa ，pn ob.此方案是否可行？请说明理由. 【答案】解： （ 1）方案（）不可行.缺少证明三角形全等的条件. 2 分（2）方案（）可行. 3 分证明：在 opm 和 opn中opoppnpmopom opm opn(sss) aop=bop(全等三角形对应角相等) 5 分（3）当 aob是直角时，此方案可行. 6 分四边形内角和为360，又若pm oa,pn ob, omp=onp=90,mpn=90, aob=90若 pm oa,pn ob, 且 pm=pn op

18、为 aob的平分线 .(到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上)当 aob 不为直角时，此方案不可行. 8 分26. 如图， ab是 dac的平分线，且ad=ac。求证： bd=bc全品中考网【答案】证明：ab是 dac的平分线 dab=bac在 dab=cab中ababcabdabacad dab cabd a b c 11 bd=bc27. 如图 10，已知adertabcrt，90adeabc, bc与de相交于点f，连接ebcd,（1）图中还有几对全等三角形，请你一一列举；（2）求证：efcf【答案】（1）abeadc,ebfcdf2 分（2）证法一：连接ce3 分adertabcr

19、taeac4 分aecace5 分又adertabcrtaedacb6 分aedaecacbace即decbce7分efcf8 分证法二：adertabcrteadcababadaeac, dabeaddabcab即eabcad3 分)(sasaebacd4 分abeadcebcd,5 分又abcadeebfcdf6 分又bfedfc)(aadebfcdf7 分efcf8 分证法三：连接af3 分adertabcrt12 90,adeabcdebcadab又afaf)(hladfrtabfrt5 分dfbf6 分又debcdfdebfbc7 分即efcf8 分28 （2010 广西柳州） 如图

20、 9，在 88 的正方形网格中，abc的顶点和线段ef的端点都在边长为1 的小正方形的顶点上（ 1）填空 : abc=_，bc=_；（ 2）请你在图中找出一点d，再连接 de、df，使以 d、e、f为顶点的三角形与abc全等，并加以证明【答案】29. 如图，在 abc 中， acb=900，ac=bc ，ce be ， ce与 ab相交于点f，ad cf 于点 d，且 ad平分 fac ，请写出图中两对全等三角形，并选择其中一对加以证明。【答案】30. 如图 10，在四边形abcd中， adbc，e为 cd的中点，连结ae、be ，beae，延长 ae交 bc的延长线13 于点 f. 求证：

21、（1）fc =ad；（2）ab=bc +ad【答案】解： （1）因为 e是 cd的中点，所以de=ce. 因为 ab/cd，所以 ade=fce ， dae= cfe. 所以ade fce.所以 fc=ad. （2）因为 ade fce ，所以 ae=fe.又因为 be ae ，所以 be是线段 af的垂直平分线，所以 ab=fb.因为 fb=bc+fc=bc+ad.所以 ab=bc+ad.31. 如图，点a、e、f、c在同一条直线上，ad bc ， ad=cb ，ae=cf ，求证： be=df.【答案】证明：adbc a c1 分 aefc afce 2分在 adf和 cbe中adcbac

22、afce adf cbe 5 分 be df 6 分（ 1） abc=135， bc =22 ， 2 分（ 2） （说明： d 的位置有四处，分别是图中的d1、d2、d3、d4此处画出d 在 d1处的位置及证明，d 在其余位置的画法及证明参照此法给分）解： efd的位置如图所示3 分证明：fd=bc=222222 4 分efd =abc=90 +45 =135 5 分ef =ab=2 efd abc6 分d c f e b a 14 32.如图，在 abc 中， d 是 bc 边上的一点， e 是 ad 的中点，过a 点作 bc的平行线交ce的延长线于点f，且af=bd，连结 bf。（1）求证

23、： bd=cd ；（2）如果 ab=ac ，试判断四边形afbd的形状，并证明你的结论。【形33.如图， abcd是正方形，点g是 bc上的任意一点，deag于 e，bfde，交 ag 于 f求证：afbfef34.如图：已知在abc中，abac，d为bc边的中点，过点d作deabdfac，垂足分别为ef，. （1）求证：bedcfd；（2）若90a，求证：四边形dfae是正方形 . 35.数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形abcd是正方形，点e是边 bc的中点90aef，且 ef交正方形外角dcg的平行线cf于点 f，求证： ae =ef 经过思考， 小明展示了一种正确的解题思路：取

24、 ab的中点 m， 连接 me， 则 am=ec ， 易证ameecf，所以aeef在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点e是边 bc的中点”改为“点e是边 bc上（除 b， c外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“ae=ef ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点 e是 bc的延长线上（除c点外）的任意一点，其他条件不变，结论“ae=ef ”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由d c b a e f g d c b e a f 15 36.如

25、图 10，在 abc中， ab=ac，d 是 bc的中点，连结ad，在 ad的延长线上取一点e ，连结 be，ce .（1）求证： abe ace（2）当 ae与 ad 满足什么数量关系时，四边形abec是菱形？并说明理由.37.已知命题：如图，点a，d，b，e在同一条直线上，且ad=be ， a=fde ，则 abc def .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题, 并加以证明 . 38.如图， 直角梯形abcd中，bcad，90bcd，且2ta n2cda da bc，过点 d 作abde，交bcd的平分线于点e，连接 b

26、e （1）求证：bccd；（2）将bce绕点 c，顺时针旋转90得到dcg，连接 eg.求证： cd垂直平分eg . （3）延长 be交 cd于点 p求证： p是 cd的中点即bccd（2 38.两个完全相同的矩形纸片abcd、bfde如图 7 放置，abbf，求证：四边形bndm为菱形【答案】a d f c g e b 图 1 a d f c g e b 图 2 a d f c g e b 图 3 feabcda d g e c b 16 39. 已知线段ac与bd相交于点o，联结abdc、，e为ob的中点，f为oc的中点，联结ef（如图所示）（ 1）添加条件a=d，oefofe，求证： a

27、b=dc （ 2）分别将“ad”记为，“oefofe”记为，“abdc”记为，添加条件、，以为结论构成命题1， 添加条件、 ，以为结论构成命题2 命题 1 是命题，命题 2 是命题（选择“真”或“假”填入空格）40. 如图，在abcd 中，点 e是 ad的中点，连接ce并延长，交ba的延长线于点f求证： fa ab 41. 如图，已知abc为等边三角形，点d、e分别在 bc 、ac边上，且ae=cd ，ad与 be相交于点f (1)求证：abe cad ； (2)求 bfd的度数42.如图，已知ab=ac ，ad=ae ，求证： bd=ce. ae得 ade=aed adb=aec abd ace bd=ce o d c a b e f c d e m a b f n a b d e c 17 a d c b e 43.如图，在 abe中， ab ae,ad ac,bad eac, bc、de交于点 o. 求证： (1) abc aed ； (2) ob oe . 44. 如图，,abac adbcdadaea