含30度角的直角三角形的性质

1、1 图 1 含030角的直角三角形的性质教学目标：经历猜测、验证的过程，理解含030锐角直角三角形的性质。学会应用含030锐角直角三角形的性质解决线段之间倍半关系的问题。教学重点：含030角的直角三角形的性质的发现与应用教学难点：含030角的直角三角形性质的探索与证明；引导学生全面、周到地思考问题。教学方法：探索发现法教学工具：两个全等的含030角的三角尺；圆规教学过程：一、回顾与思考1等边三角形有哪些性质？如何判定一个三角形是等边三角形？2问题情境：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得钭坡与水平面所成的角的度数是30

2、, 为使出水口的高度为35m, 那么需要准备多长的水管? 这个问题实际上可以归结为: 在abc中,c=90, a=30,bc=35m ，求ab( 如图 1) 。 这个问题解决的关键是寻找: 之间的关系。二、自主探究： 活动 1我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质2 abdc用你的 30角的直角三角尺，把斜边和 30角所对的直角边量一量，你有什么发现？ 活动 2请同学们准备好两个全等的含030角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？探究：在这些图形中， 轴对称图形有个，其中三角形有个，各是一个怎样

3、的三角形？说说你的理由。 活动 3 我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗? 在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？已知：如图，在 rtabc中，c=90 bac=30 求证：bc=1/2ab 证明：在 abc中， acb=90 ， bac=30 ，则 b=60 。延长 bc至 d，使 cd=bc ，连接 ad(如下图 ) acb=90 ， acd=90 ac=ac ，abc adc(sas) ab=ad( 全等三角形的对应边相等)abd是等边三角形 (有一个角是60的等腰三角形是等边三角3 cadb

4、cba形)bc=12bd=12ab 该性质适用范围是什么？运用该性质可求什么？三、含 300角的直角三角形的性质：定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。注：01定理满足的条件：直角三角形；有一个锐角等于30；02数学语言：01,30 ,2rtabcabcabq；03,rtabccdab中是的中线，则12cdab。04作用：计算和证明线段的倍分。05证明的方法：倍分法。逆命题成立吗？在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30， （请同学们课后验证）逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所

5、对的角等于30注：数学语言：01,302rt abcbcabaq四、例题评讲：例 1、如图， abc中，acb=90 ，4 abecdabecdabca=30 cd ab ，ab=4 ，则 bc= ，bcd= ，bd= 例 2、如图 1，abc=30 ，ac bc ，ab=4cm ，（1）求 ac的长，如图 2，若 d是 ab中点，连结 dc ，求 dc的长（2）如图 3，若 d是 ab中点， de bc ，求 de的长如图 1 如图 2 如图 3 例 3、 如图是屋架设计图的一部分， 点 d是斜梁 ab的中点，立柱 bc 、de垂直于横梁 ac ，ab=7.4 m，a=30 ，立柱 bc 、

6、de要多长？分析：观察图形可以发现在rtaed与 rtacb中，由于 a=30 ，所以 de=1/2ad ，bc=12ab ，又由 d是 ab的中点，所以 de=14ab 解： de ac ，bc ac ，a=30 ， bc=12ab ，de=12ad ，bc=1274=37(m)又ad=12ab ，de=12ad=1237=185(m)答：立柱 bc的长是 37 m，de的长是 185 m5 baecdedcba追问： （1）若 d变成 ab上使 cd ab于 d的点，其它条件不变，如图 a，你能分解出 30角的直角三角形吗？求出那些线段的长？（2）如图 a，bd与 ab有何数量关系， 此结

7、论与 ab的长度有关吗？（课后讨论）五、习题选练：下列结论正确的是（）在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30，那么它所所对的直角边等于另一直角边的一半在一个三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中， 30角所对的直角边等于斜边的一半在一个直角三角形中，直角三角形的斜边是最小的直角边的2 倍a （1） 、 （2） b （3） 、 （4） c （1） 、 （3） d （2） 、 （4）填空： rtacb中， c=90 ，a=30，bc= （）rtabc中， c=90 ，b=2a，b和a各是多少度 ?边 ab与 bc之间有什么关系 ? 小明沿倾斜角为30

8、的山坡从山脚步行到山顶， 共走了 200m ，求山的高度已知：如图，在等腰abc中，ab=ac ，bac=120 ，d为 bc中点，de ab与 e，求证： ae=14ab 已知直角形的一个锐角等于另一个锐角的2 倍，这个角的平分线6 第2题dcbadcabdcab线把对边分成两条线段，求证：其中一条是另一条的2 倍已知：在 rtabc, a=90, abc=2 c,bd是 abc 的平分线求证： cd=2ad 三角形的三个角的度数之比为1:2:3 ，它的最大边长等于16cm ，求最小边的长。如图，abc中，acb=90 ，cd是高，a=30 ，求证 bd=14ab 如图，在 abc中，ba=bc ，b=120 ，ab的垂直平分线mn交ac于 d，dc=6cm ，求 ac的长. 如图，已知 abc中，ab=ac ，c=30 ，ab