理论力学PPT课件第6章 动能定理

1、2021年11月25日1211 2ttw第第6 6章章 动能定理动能定理2021年11月25日2v 力的功与力的功与物体的物体的动能动能v 质点系质点系动能定理动能定理v 动力学动力学普遍定理的综合应用普遍定理的综合应用v 碰撞碰撞2021年11月25日3 动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动动量定理和动量矩定理是用矢量法研究动力学问题，而动能定理则是用能量法研究动力学力学问题，而动能定理则是用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了

2、物体的机械运动量梁。动能定理建立了物体的机械运动量动能与动能与力的机械作用量力的机械作用量功之间的联系，这是一种能量功之间的联系，这是一种能量传递的规律传递的规律。2021年11月25日46.1 6.1 力的功与物体的动能力的功与物体的动能1. 功的定义和一般表达式功的定义和一般表达式rf ddw常力在直线位移中的功常力在直线位移中的功1 2coswfsf s变力在曲线位移中的功变力在曲线位移中的功f dsxyzf dxf dyf dz一、力的功一、力的功又称力的元功又称力的元功累积量，代数量，单位：累积量，代数量，单位：nm=kgm2/s22021年11月25日51 2cwdfrcf dsx

3、yzcf dxf dyf dz合力的功合力的功riff1 2rcwdfricdfricdfr1 2iw又称力的全功又称力的全功2021年11月25日6一对内力的功一对内力的功2. 2. 质点系内力的功质点系内力的功aarbrafbfbab-ffbbaaidddwrfrf可见：当两点距离变化时，内力功不为零，变可见：当两点距离变化时，内力功不为零，变形体的内力功不为零，而刚体的内力功为零形体的内力功不为零，而刚体的内力功为零. .ababaadddrfrrf2021年11月25日7内力作功的实例内力作功的实例: :发动机内力作正功，汽车加速行驶；发动机内力作正功，汽车加速行驶；机器中内摩擦作负功

4、；机器中内摩擦作负功；人骑自行车人骑自行车, ,内力作功；内力作功；弹性体中弹性体中, ,外力使弹性体变形，内力作负功外力使弹性体变形，内力作负功. . 2021年11月25日83. 3. 几种常见力的功几种常见力的功质点重力的功质点重力的功zfmg质点系重力的功质点系重力的功1 21 2iww211 212()zzzwf dzmg zz121niiiim g zz12ccmg zz此二式说明：重力的功与质点或质点系的轨迹路径此二式说明：重力的功与质点或质点系的轨迹路径无关，具有这种性质的力称为有势力或保守力。无关，具有这种性质的力称为有势力或保守力。2021年11月25日9弹性力的功弹性力的

5、功弹性力也是有势力或保守力弹性力也是有势力或保守力221 2122kw万有引力的功万有引力的功1 2122111wm mrr万有引力也是有势力或保守力万有引力也是有势力或保守力2021年11月25日10例例1 1 重重w的的套筒在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为套筒在光滑圆环上滑动。设弹簧原长为r。求求: : 当套筒从当套筒从a运动到运动到b时，弹簧力所作的功以及重力所时，弹簧力所作的功以及重力所作的功。作的功。22ka-b2abkwga-babww zzwr2222kr rr212 kr解：解：2021年11月25日114.4.外力对平面运动刚体的功外力对平面运动刚体的功可得可得: :eiidw

6、dfreerccdwddfrm iciiciicidddrrrvv rrrr irccvnf2fifocrir1 20teerccwdtfvm2021年11月25日12思考：思考：均质轮滚动均质轮滚动s后静止求各力的功。后静止求各力的功。0vfcswdtf vrsmwfmfrcofmfvcnfcmfr数常fr=f=常数常数1-2cwfxm2xr12fx2021年11月25日13 计算滑轮顺时旋转一周外力所作的总功计算滑轮顺时旋转一周外力所作的总功02bawm grmm gr 4 9.81 0.15 1.2 4 9.81 0.252 17.1154 j2021年11月25日14外力对平面运动刚体

7、的功率：外力对平面运动刚体的功率：eerccpf vm 5 5 功率的概念功率的概念vfrfdtddtdwp2021年11月25日15221iivmt 1. 1. 质点的动能质点的动能2. 2. 质点系的动能质点系的动能221mvt 二、物体的动能二、物体的动能瞬时量、算术量，单位：瞬时量、算术量，单位：kgm2/s23. 3. 柯尼希定理柯尼希定理221122ciirtmvm v2021年11月25日16（2 2）定轴转动刚体的动能）定轴转动刚体的动能212ztj（1 1）平移刚体的动能）平移刚体的动能212ctmv221122cctmvj（3）平面运动刚体的动能）平面运动刚体的动能212p

8、tjpvccl或或2021年11月25日17思考：思考： 质量为质量为m的匀质杆的匀质杆, , 长为长为l，角速度为，角速度为 、杆在、杆在该瞬时的功能？该瞬时的功能？osin302glv2221122 12gmltmv22796tml vg vb答：答：2021年11月25日18例例1 1 已知滑块已知滑块a的质量为的质量为 m1 1，质点质点b的质量为的质量为m2 , , 杆杆ab的长的长度为度为 l l、不计质量，可以绕、不计质量，可以绕 a点转动。点转动。求求: :系统的动能。系统的动能。222122211()cos22tmmxm lxm l2021年11月25日19223022222

9、2111122222aobmrtmvjmv例例2 2 图示行星轮机构由节圆半径图示行星轮机构由节圆半径r，质量均为，质量均为m的的3个齿轮组成，系杆以匀角速度个齿轮组成，系杆以匀角速度绕固定齿轮绕固定齿轮1的轴的轴o转动时，带动齿轮转动时，带动齿轮2 2和齿轮和齿轮3 3运动，设系杆对转动轴运动，设系杆对转动轴o的转动惯量为的转动惯量为jo，试写出系统的动能。，试写出系统的动能。解：解：221112ojmr2021年11月25日20bcab22cdbcab321 12 3ababtl23211212bcbctlogl321 12 38cdcdlt2264 kg m /s 15abbccdttt

10、trad/s 52.ab kg/m 2 求：机构在此瞬时的动能求：机构在此瞬时的动能例例3 3 已知：已知：解：解：设设 ab=bc=2cd =lgo2021年11月25日21rad/s 4,rad/s 3,kg 15cdabcdabmm求求: : 图示位置总的动能。图示位置总的动能。例例4 4 已知：已知：vbvgbg解：解：68.8 j设设 ab=cd=l221 12 3abtml2222gb11122 12bcdm vvml222122abcdlmlbc221 12 3abml22112 12cdml2021年11月25日221 .1 .微分式微分式dtdw2 .2 .积分式积分式对于理

11、想约束，约束力的功为零对于理想约束，约束力的功为零（如光滑铰，光滑面如光滑铰，光滑面）对于刚体系统对于刚体系统, , 内力的功之和为零内力的功之和为零. .所有力的元功之和211 2ttiw外主动力内力约束力一一. .定理的一般形式定理的一般形式2021年11月25日23例例1 1 试导出稳定流体的能量方程试导出稳定流体的能量方程。已知已知: : 入口与出口处面积分别为入口与出口处面积分别为a1 1、 a2 2；流速；流速v1 1、 v2 2；外界压强外界压强p1 1、p2 2；质心高度；质心高度h1 1、 h2 2，体密度，体密度。211122221212pghvpghv常量答：答：2021

12、年11月25日24例例2 2 测试车辆从开始刹车到停止所滑过的距离。测试车辆从开始刹车到停止所滑过的距离。01000 kg,100 km/h,0.5mvf21021,02tmvt12nwf fxf m gx 20102mvfmgx202vxf gxkm/h 1000v解：解：车辆从开始刹车到停止作平移车辆从开始刹车到停止作平移2100,0001 m3,6009.8178.7 m2021年11月25日25例例3 3 重重150n的均质圆盘与重的均质圆盘与重60n、长、长24cm的均质杆的均质杆ab 在在b 处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求:

13、 :系统经过最低位置系统经过最低位置b点时的速度。点时的速度。答：答：m/s 58. 1bv2021年11月25日26m 210m/s 54kg 68000 l,v,m例例4 4 航空母舰上的飞机降落止动装置为缆索装置航空母舰上的飞机降落止动装置为缆索装置。设缆索的张力在止动过程中是一常值，要求降落。设缆索的张力在止动过程中是一常值，要求降落滑行距离为滑行距离为l l，则缆索张力应为多少？，则缆索张力应为多少？24815 ntf 答：答：2021年11月25日27例例5 5 两匀质杆从图示静止位置开始运动，两匀质杆从图示静止位置开始运动，求求: :当当bc杆接触地面时杆接触地面时bc杆的角速度

14、杆的角速度o60,m 1,kg 5lm3sin5rad/sgl答：答：2021年11月25日281. 1. 势力场和势能势力场和势能力场力场若质点在某空间任意位置处，都受到一个大小和方向若质点在某空间任意位置处，都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。例如：重力场、弹性力场、万有引力场。例如：重力场、弹性力场、万有引力场。势力场势力场若物体在某力场运动，作用于物体上的力所作的功若物体在某力场运动，作用于物体上的力所作的功只与力作用点的始末位置有关，而与点的运动轨迹无关，这只与力作用点的始末位置有关，而与点的运动轨迹

15、无关，这种力场称为势力场。种力场称为势力场。二、定理的特殊形式二、定理的特殊形式机械能守恒定律机械能守恒定律2021年11月25日29势能势能在势力场中，质点从点在势力场中，质点从点m运动到任选的点运动到任选的点m0 ，有势力，有势力所作的功，称为质点在点所作的功，称为质点在点m相对于点相对于点m0 的势能（具相对性）。的势能（具相对性）。00()mmxyzmmvf drf dxf dyf dz 00000 z ,y,xvv点点m0的势能等于零，称为零势能点。即的势能等于零，称为零势能点。即2. 2. 常见的势能常见的势能(1) (1) 重力势能重力势能0()vmg zz2021年11月25日

16、30(2) (2) 弹性势能弹性势能220()2kv若取弹簧的自然位置为零势能点，则若取弹簧的自然位置为零势能点，则22kv(3) (3) 万有引力势能万有引力势能12011()vmmrr若取无穷远处为零势能点若取无穷远处为零势能点12m mvr 2021年11月25日31m1m0m2oxyz有势力的功与势能的关系有势力的功与势能的关系：w1-2= v1- v22211tvtv对于保守系统，有对于保守系统，有 机械能：系统的动能与势能的机械能：系统的动能与势能的代数和代数和e=t+v3 3. . 机械能守恒定律机械能守恒定律2021年11月25日32例例6 6 求木块由静止撞向墙头时的速度。求

17、木块由静止撞向墙头时的速度。kg 800m21 cos2.8 m/svgl答：答： 木块作平移运动，取木块作平移运动，取ad面为零势能面。面为零势能面。2021年11月25日33例例7 7 求匀质杆从铅垂静止位置转动到水平位置时质求匀质杆从铅垂静止位置转动到水平位置时质心心c的速度。已知弹簧原长的速度。已知弹簧原长3.9m3.9m，匀质杆质量，匀质杆质量2kg2kg。2212622249 m/scmglkvm答：答： 杆作定轴转动，取杆作定轴转动，取x轴为轴为重力势能零点，弹簧原长为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点。弹性势能零点。2021年11月25日346.3 碰撞2021年11月25日

18、35v 碰撞的特征和基本假定v 用于碰撞过程的动力学定理v 质点的碰撞v 刚体的碰撞v 撞击中心2021年11月25日36 在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象: 物体的运动速度突然发生有限的改变。 碰撞：运动物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧变化的现象称为碰撞。2021年11月25日37对接碰撞2021年11月25日382021年11月25日392021年11月25日402021年11月25日412021年11月25日422021年11月25日432021年11月25日442021年11月25日45

19、2021年11月25日462021年11月25日472021年11月25日48 一、 碰撞的特征和基本假定 1. 碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的时间内发生极巨的改变。碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也非常大。 碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬时力。2021年11月25日49 设榔头重10n，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间 =1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块时力的平均值。 2211.567500m/s0.001vva（）1

20、01075007655n9.81wfwag是榔头重量的765倍。塑料锤的平均加速度:锤的平均打击力2021年11月25日50 可见，即使是很小的物体，当运动速度变化很快时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8n的飞鸟与运动着的飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，碰撞力可高达3.56105n，即为鸟重的2104 倍！不利因素：机械、仪器及其它物品由于碰撞而造成损坏等。有利方面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。2021年11月25日51年份年份道路交通道路交通事故数事故数( (起起) )死亡死亡人数人数受伤受伤人数人数直接经济损直接经济损失失( (亿亿) )0606

21、51,57251,5727,8067,80650,69750,6973 30707327,209327,20981,64981,649380,442380,44212120808265,204265,20473,48473,484304,919304,91910.110.10909238,351238,35167,75967,759275,125275,1259.19.1近4年全国道路交通事故基本情况2021年11月25日521912年4月10日,号称永不沉没的超级巨轮“泰坦尼克号”由英国往纽约处女航,在大西洋洋面行驶时因与冰山发生碰撞而沉没,造成船上2235人中的1522人丧身.1987年1

22、2月20日,“多纳帕斯号”(设计载人:608人,经改装后可载人:1518人,实际载人:3000人),在往马尼拉方向行驶时因与油轮相撞而起火,造成船上3000人几乎丧身.2021年11月25日53(1) 在碰撞过程中，重力、弹性力等非碰撞力与碰撞力相比小得多，其作用可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和碰撞后，非碰撞力对物体运动状态的改变作用不可忽略。 (2) 由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞开始时和碰撞结束时的位置相同。2. 研究碰撞的基本假设：2021年11月25日54对心碰撞与偏心碰撞：碰撞时，两物体质心的连线与其接触点的公法线

23、重合，否则称为偏心碰撞。 3.碰撞 的分类c2c1c2c1(1) 分类12021年11月25日55对心正碰撞与对心斜碰撞：碰撞时，两物体质心的速度也都沿两质心连线方向则称对心正碰撞，否则称为对心斜碰撞。 c1c2c2c1v2v2v1v12021年11月25日56(2) 分类2 设两物体发生对心正碰撞，开始时质心的速度分别是v1, v2；末了时质心的速度分别是u1, u2，且设v1v2。v1v2u1u2定义恢复系数：2112uuevv常 量2021年11月25日57恢复系数表示物体在碰撞后，速度恢复的程度。也就是变形恢复的程度，由于在碰撞中有动能的损失，因此e愈小损失的动能愈多。部分弹性碰撞：变

24、形不能完全恢复。完全弹性碰撞：无能量损耗，变形可完全恢复；完全塑性碰撞：能量完全损耗，变形完全不能恢复。e=0e=10ev2 ;末了时质心的速度分别是u1, u2.v1v2u1u2取整体，由冲量守恒，有1 1221122m vm vm um u2112uuevv以及：2021年11月25日6521112112(1)()muvevvvmm12212212(1)()muvevvvmm特殊情况：（1）若e=0,则（2）若e=1,则1 1221212m vm vuumm211121122()muvvvvmm122122122()muvvvvmm2021年11月25日66又若m1=m2, 则 u1=v2

25、, u2=v1。说明碰撞后两物速度互换。设碰撞开始与末了系统的动能分别为t1和t2 ，则2211 12 21122tmvm v2221 1221122tmum u2021年11月25日6721211112221m mttvmmmm221221212112 )vv)(e()mm(mmttt 塑性碰撞 e = 0 ，且 v2= 0，则说明系统损失的动能与两物体的质量比有关。碰撞过程中，系统动能的损失为2021年11月25日68工程应用：（1） 打桩时，希望桩获得尽可能多的动能，去克服土壤给桩的阻力，这就要求损失的动能越少越好。这时应满足m1m2 。（2）锻压时，希望锻件产生尽可能大的变形，这就要求

26、损失的动能越多越好。这时应满足m1 mwr/2。不计轮b的轴承处摩擦力。求： 1、物块d的加速度； 2、二圆轮之间的绳索所受拉力； 3、圆轮b处的轴承约束力。2021年11月25日84ao30c例3 均质圆盘o放置在光滑的水平面上，质量为m，半径为r，匀质细杆oa长为l，质量为m。开始时杆在铅垂位置，且系统静止。求：杆运动到图示位置时的角速度。2021年11月25日85ab杆与圆盘o组成的组合体，杆和圆盘质量都为m, ab = 2r。圆盘在地面上作纯滚动。求:（1）ab从垂直位置无初运动到水平位置时的角速度.（2）此位置地面对圆盘的约束力。思考题：2021年11月25日86方法一、 动能定理求角速度，刚体平面运动微分方程求角加速度及约束力还需用基点法建立运动学补充方程。oabc2mgfffn2021年11月25日87方法二、 动能定理求任意位