多元函数微分学的几何应用ppt课件

1、7.6 多元函数微分学的几何运用多元函数微分学的几何运用7.6.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 7.6.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线7.6.1 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的方程设空间曲线的方程)()()()(1 tztytx ozyx(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.M.),(0000tttzzyyxxM 对对应应于于;),(0000ttzyxM 对对应应于于设设M 1 曲面方程为参数式曲面方程为参数式调查割线趋近于极限位置调查割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式

2、分母同除以, t ozyxMM 割线割线 的方程为的方程为MM ,000zzzyyyxxx ,0,时时即即当当 tMM曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.0000000 )()()(zztyytxxt 例例1处处的的切切线线在在点点求求曲曲线线),(,11132tztytx 及法平面方程及法平面方程.解解所所对对而而点点因因为为),(,1113212tztyxttt ).,

3、(321 T切线方程为切线方程为.312111 zyx法平面方程为法平面方程为,)()()(013121 zyx即即. 632 zyx应的参数应的参数t =1, 所以所以空间曲线方程为空间曲线方程为,)()( xzxy ,),(000处处在在zyxM,)()(000001xzzxyyxx .)()()(000000 zzxyyxxx 法平面方程为法平面方程为切切线线方方程程为为2 曲面方程为普通式曲面方程为普通式)(),(,(001xxT 切向量切向量空间曲线方程为空间曲线方程为,0),(0),( zyxGzyxF切线方程为切线方程为,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFy

4、yGGFFxx 法平面方程为法平面方程为.)()()(0000000 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy切向量切向量 000yxyxxzxzzyzyGGFFGGFFGGFFT, , 2dd5dd3,23dd2dd2xzxyxxzzxyy,61010415ddzyxzxy ,610649ddzyyxxz 解解,169dd) 1, 1 , 1 ( xy,161dd) 1, 1 , 1 ( xz例例2在点在点(1,1,1)(1,1,1)处的切线方程与法平面方处的切线方程与法平面方程程. . 04532, 03222zyxxzyx求曲线求曲线将所给方程的两边对将所给方程的两边

5、对x 求导并移项，得求导并移项，得由此得切向量由此得切向量),161,169, 1 ( T所求切线方程为所求切线方程为,1191161 zyx法平面方程为法平面方程为, 0) 1() 1(9) 1(16 zyx. 024916 zyx设曲面方程为设曲面方程为0),( zyxF 在曲面上任取一条经在曲面上任取一条经过点过点M的曲线的曲线,)()()(: tztytx 7.6.2 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 上任何一条过点上任何一条过点M0M0的曲线在点的曲线在点M0M0处的切线都在同处的切线都在同一平面上一平面上, ,那么称这个平面是曲面在点那么称这个平面是曲面在点M0M0处的切平面处

6、的切平面. . 设设M0(x0, y0, z0)M0(x0, y0, z0)是是曲面曲面上一点上一点, ,假设曲假设曲面面定义定义7.87.80y0MTnyxzo 由于曲线由于曲线完全在曲面完全在曲面所以有恒等式所以有恒等式上上, , 0)(),(),( tttF 上式对上式对t t 求导数求导数, , 并代入并代入 t = t0, t = t0, 得得0)(),()(),()(),(000000000000 tzyxFtzyxFtzyxFzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令),(),(),(000tttT 曲线在曲线在M处的切向量处的切向量那那么

7、么,Tn 由于曲线是曲面上经过由于曲线是曲面上经过M的恣意一的恣意一 条曲线，条曲线， 它们在它们在M的切线都与同一向量的切线都与同一向量n垂直，垂直， 故曲面上经过故曲面上经过M的一切曲线在点的一切曲线在点M的切线都在的切线都在 同一平面上，同一平面上， 这个平面就是曲面在点这个平面就是曲面在点M的切平面的切平面. . 切平面方程为切平面方程为0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法线方程为法线方程为),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxF

8、zyxFnzyx 曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.定义定义7.9经过点经过点M0(x0, y0, z0)M0(x0, y0, z0)而垂直于切平面而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线的直线称为曲面在该点的法线. .)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量的的全全微微分分在在点点函函数数),(),(00yxyxfz 由于曲面在由于曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为 z=f (x,y)在在(x0, y0)的全微分，表示曲的全微分，表

9、示曲面面z=f (x,y)在点在点(x0, y0, z0)处的切平面处的切平面上的点的竖坐标的增量上的点的竖坐标的增量. 全微分的几何意义全微分的几何意义切平面及法线方程切平面及法线方程. . 例例3 3 求椭圆抛物面求椭圆抛物面z=x2+2y21z=x2+2y21在点在点M0(1,2,8)M0(1,2,8)处的处的解解在点在点M0M0处处, ,法向量为法向量为,4,2yzxzyx ),1,4 ,2( yxn所求的切平面为所求的切平面为),1, 8 , 2( n.188221 zyx2(x+1)+8(y2) (z8)=0,即为即为 2x8y+z+10=0. 2x8y+z+10=0.法线方程为法

10、线方程为,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff 00(,),xxffxy ),(00yxffyy 其中其中 、假设假设表示曲面的法向量的方向角，表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，并假定法向量的方向是向上的， 即使得它与即使得它与z z 轴轴的正向所成的角是锐角，的正向所成的角是锐角，那么法向量的方向余弦为那么法向量的方向余弦为例例4 4 求椭球面求椭球面2x2+3y2+z2=92x2+3y2+z2=9上的点上的点, , 使该点处的切使该点处的切平面平行于平面平面平行于平面2x3y+2z+12=0,2x3y+2z+12=0,并写出该点

11、的切平并写出该点的切平面及法线方程面及法线方程. .解解设切点为设切点为M0(x0, y0, z0)M0(x0, y0, z0)，那么法，那么法向量为向量为),2 ,6 ,4(000zyxn 按题意按题意, ,所以有所以有),2 , 3, 2(/1 nn,223624000zyx ,223624000tzyx 设设那么有那么有将其代入到椭球面方程中将其代入到椭球面方程中, ,有有,2,2000tztytx , 94342222 ttt. 2 得到得到 t = t =当当t = 2t = 2时时, ,得切点得切点M1(1,1,2), M1(1,1,2), 当当t = 2t = 2时时, ,得切点

12、得切点 M2(1,1,2)在点在点M1, M1, 切平面方程为切平面方程为2(x1)3(y+1)+2(z2)=0,即即 2x3y+2z9=0. 2x3y+2z9=0.在点在点M2,M2,切平面方程切平面方程为为2x3y+2z+9=0.1222222 czbyax例例5 5求椭球面求椭球面上点上点M0(x0, y0, z0)M0(x0, y0, z0)处的切平面方程处的切平面方程. .在点在点M0M0处处, ,曲面的法向量为曲面的法向量为 解解),(202020czbyaxn 切平面方程为切平面方程为 留意到点留意到点(x0, y0, z0)(x0, y0, z0)在椭球面上在椭球面上, ,其坐

13、标应满足于椭其坐标应满足于椭球面方程球面方程, ,故上面的切平面方程可整理为故上面的切平面方程可整理为. 0)()()(020020020 zzczyybyxxax. 1202020 zczybyxax xyxfz证证明明曲曲面面设函数设函数f (u)有延续导数，有延续导数，的切平面必过原点的切平面必过原点.例例6证证令令),(,00001zyxMxyxfF设设切切点点为为 处处的的法法向向量量坐坐标标为为则则曲曲面面在在切切点点0M,000000 xyfxyfxyFx切平面方程为切平面方程为,)()()(000000000000 zzyyxyfxxxyfxyfxy即即. 000000000

14、zyxyfxxyfxyxyf可见，曲面的一切切平面都过点可见，曲面的一切切平面都过点),(000,00 xyfFy1 zF在点在点M0(3, 4, 5)M0(3, 4, 5)处的切线方程处的切线方程. . 22222250,xyzxyz例例7 7求曲线求曲线解解利用曲面的切平面来做利用曲面的切平面来做. .球面球面x2 + y2 + z2 = 50 x2 + y2 + z2 = 50在在(3, 4, 5)(3, 4, 5)点的切平面点的切平面为为3x + 4y + 5z 50 = 0，圆锥面圆锥面x2+y2=z2x2+y2=z2在在(3,4,5) (3,4,5) 点的切平面为点的切平面为3x

15、+ 4y 5z = 0.将两个切平面方程联立将两个切平面方程联立 , 0543, 050543zyxzyx即为所求的切线即为所求的切线L L的普通式方程的普通式方程. . 求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程. 练习练习1练习练习2),(111102Pxyxyz在在点点求求曲曲线线 处的切向量的处的切向量的方向余弦方向余弦练习练习3 3 确定正数确定正数 使曲使曲面面zyx222zyx在点在点),(000zyxM2a相切相切.与球面与球面求曲线求曲线: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,

16、tez31 在在0 t处的切线和法平面方程处的切线和法平面方程. 练习练习1解解当当0 t时，时，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切线方程切线方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即练习练习2),(111102Pxyxyz在在点点求求曲曲线线 处的切向量的处的切向量的方向余弦方向余弦.解解令令,),(1 xyzzyxF.),(xyzyxG 2那那么么 000211002PPPyxzyzyzxyyxyxzT,),(312 故切向量的方向余弦为故切向量的方向余弦为,cos142 ,cos141 .cos14