导数的基本概念及性质应用

1、导数的基本概念及性质应用考点： 1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值 3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。能力：数形结合方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式、导数的概念函数 y =)(xf的导数)(xf， 就是当x0 时， 函数的增量 y与自变量的增量x的比x y的极限，即)(xf0 xlimx y0 xlimxf(x)-x)(xf说明：分子和分母中间的变量必须保持一致、导函数函数 y =)( xf在区间 ( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(xf间( a, b )内可导，其

2、导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(xf的导函数，记作)(xf或xy，函数)(xf的导函数)(xf在0 xx时的函数值)(0 xf，就是)(xf在0 x处的导数。、导数的几何意义设函数 y =)(xf在点0 x处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00yxm处的切线斜率。、求导数的方法（）基本求导公式（）导数的四则运算（）复合函数的导数设)(xgu在点 x 处可导， y = 在点)(xf处可导，则复合函数)(xgf在点 x 处可导，导数性质：1、函数的单调性设函数y)(xf在某个区间内可导，若)(xf0，则)(xf为增函数；若)(xf0则为减函数。求可导函数单调区间的一

3、般步聚和方法。确定函数)( xf的定义区间求)( xf，令)(xf0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。把函数)(xf的间断点（即)(xf的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(xf的定义区间分成若干个小区间。确定)(xf在各小开区间内的符号，根据)( xf的符号判定函数)(xf在各个相应小开区间内的增减性。说明： 原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关2可导函数的极值极值的概念设函数)( xf在点0 x附近有定义，且对0 x附近的所有点都有)( xf)(0 xf（或)( xf)(0 xf），则称)(0 xf为函数的一个极大（小）

4、值点。称0 x为极大（小）值点。求可导函数极值的步骤。求导数)( xf求方程)( xf0 的根检验)(xf在方程)(xf0 的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负， 那么函数 y)(xf在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y)(xf在这个根处取得极小值。说明： 极值点的导数为0，导数为 0 的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个)(xf0 的方程3函数的最大值与最小值设 y)(xf是定义在区间 a ,b 上的函数， y)(xf在(a ,b )内有导数，求函数 y)( xf在a ,b 上的最大值与最小值，可分两步进行。求 y)(

5、xf在(a ,b )内的极值。将 y)(xf在各极值点的极值与)(af、)(bf比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。若函数y)(xf在a ,b 上单调增加，则)(af为函数的最小值，)(bf为函数的最大值；若函数y)(xf在a ,b 上单调减少，则)(af为函数的最大值，)(bf为函数的最小值。说明： 极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、 例题讲解题型一导数的概念【例 1】设 f(x) 在点 x0处可导， a 为常数，则xxaxfxaxfx)()(lim000等于( ) a.f/(x0) b.2af/(x0) c.af/(x0) d.0 【变式】设)( xf在0 x处可

6、导_lim)()(000 xxfxxfx题型二导数的几何意义、物理意义【例 2】（1）求曲线122xxy在点（ 1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2221ttts，求 t=3 时的速度。分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x) 在0 x处的导数就是曲线y=f(x) 在点),(00yxp处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数s(t)对时间的导数。题型三利用导数求单调区间【例 3】求下列函数单调区间（1）5221)(23xxxxfy（2）xxy12（3）xxky2)0(k（4）ln22xy题型四：利用导数求函数的最（极）值【例 4】求函数13)(3xxxf在闭区间 -3

7、，0 上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例 5】 1 、设f (x)是函数f(x)的导函数，y=f (x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是(a) (b) (c) (d) 2、函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）a1 个b2 个c3 个d 4 个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例 6】已知函数xbxaxxf3)(23在1x处取得极值。(i) 讨论)1 (f和)1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；(ii)过点)16,0(a作曲线)(xfy的切线，求此切

8、线方程。【例 7】已知函数32f xaxbxcx在点0 x处取得极大值5，其导函数yfx的图象经过点（ 1，0），（ 2，0）如图所示 . 求：x y y x y x y x o12o12o1212x y o 12（1）0 x的值；（ 2）a、b、c的值 . 【例 8】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=1 时，取得极大值7；当x=3 时，取得极小值求这个极小值及a、b、c的值【例 9】 已知cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)， 且在1x处的切线方程是2yx（1）求)(xfy的解析式；（ 2）求)(xfy的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例 10】（1）如果函数f(x)

9、=x3+ax的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a的取值范围是( ) a.(0,+ ) b.0,+ ) c.(3,+ ) d.3,+ ) （2）如果函数f(x)=x3+ax的图象上有平行于x轴的切线，则实数a的取值范围是 _ 【例 11】已知函数322f xaxxbx, ,0a b cra且在区间,0上都是增函数，在（0，4）上是减函数 . （1）求b的值；（2）求a的取值范围题型八：综合应用【例 12】平面向量13(3,1),(,)22abrr，若存在不同时为0的实数k和t，使2(3) ,xatb ykatbrrrrrr且xyrr，试确定函数( )kf t的单调区间例题答案：【例 1】解

10、：故选(c)【变式】： -1 【例 2】（1）222222) 1(22) 1(22) 1(2xxxxxxy，0422| 1xy，即曲线在点（ 1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122xxy在（1，1）处的切线方程为y=1 （2）)2(122tttstttttttt4214)1(232422726111227291| 3ts。【例 3】（1）232xxy)1)(23(xx)32,(x),1(时0y) 1,32(x0y)32,(，),1() 1,32(（2）221xxy)0,(，),0(（3）221xky),(kx),(k0y),0()0,(kkx0y),(k，),(k)0,( k，),0(k（

11、4）xxxxy14142定义域为),0(【例 4】略，注意强调学生的步骤完整性【例 5】1、c 2、 a 【例 6】分析：（ 1）分析x=1 处的极值情况，关键是分析x=1 左右f（x）的符号. （2）要分清点a（0，16）是否在曲线上 . 解：（1）f（x）=3ax2+2bx3，依题意，f（1）=f（ 1）=0，即.0323, 0323baba解得a=1，b=0. f（x）=x33x，f（x）=3x23=3（x+1）（x1）. 令f（x）=0，得x=1，x=1. 若x（， 1）（ 1，+），则f（x）0，故f（x）在（， 1）上是增函数，f（x）在（ 1，+）上是增函数 . 若x（ 1，1）

12、，则f（x） 0，故f（x）在（ 1，1）上是减函数 . 所以f（ 1）=2 是极大值，f（1）=2 是极小值 . （2）曲线y=x33x，点a（0，16）不在曲线上，设切点m（x0，y0），则y0=x033x. f（x0）=3x023，切线方程为yy0=3（x021）（xx0）. 代入a（0，16）得 16x03+3x0=3（x021）（ 0 x0）. 解得x0=2，m（ 2，2），切线方程为9xy+16=0. 评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键【例 7】解：函数fx的增减变化如下表：x 1 2 + 0 - 0 + 极大极小（1）fx在x=1 处由增变减，故1

13、f为极大值，即0 x=1. （2）由于232fxaxbxc，【例 8】解：f（x）=3x2+2ax+b据题意， 1，3 是方程 3x2+2ax+b=0 的两个根，由韦达定理得a=3，b=9 f（x）=x33x29x+cf（ 1）=7，c=2 极小值f（3）=3333293+2= 25 极小值为 25，a=3，b=9，c=2 【例 9】解：（ 1）cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，则1c，切点为(1, 1)，则cbxaxxf24)(的图象经过点(1, 1)3313231ba得591,22abcab得（2）33 103 10( )1090,0,1010fxxxxx或单调递增区间为3 1

14、03 10(,0),(,)1010【例 10】（ 1）a （2）(-，0【例 11】解：由条件知0 x是函数yfx的极值点 . 232fxaxxb，令00f，得0b. 已求0b，232fxaxx. 令0fx，得20,3xa. 由条件知0 x为极大值点， 则23xa应为极小值点 . 又知曲线在区间 （0，4）上是减函数 . 243a，6103aa，得10,6a【例 12】解：由13(3, 1),(,)22abrr得0,2,1a babrrrrg所以增区间为(, 1),(1,)；减区间为( 1,1)。三、 课堂演练：1. 若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0）处的切线方程为2xy1=0，则 a

15、f（x0）0 bf（x0）0 ba0 ca=1 d a=317. 与直线 2x6y+1=0垂直，且与曲线y=x3+3x21 相切的直线方程是 _8. 已知a为实数，)(4()(2axxxf。求导数)(xf；若0) 1(f，求)(xf在 2，2 上的最大值和最小值；若)(xf在(， 2) 和2 ，+ 上都是递增的，求a的取值范围1-6aaadaa ，7.3x+y+2=0 8. 解：由原式得,44)(23axaxxxf.423)(2axxxf由0)1(f得21a, 此时有43)(),21)(4()(22xxxfxxxf. 由0)1(f得34x或 x=-1 , 又, 0)2(, 0)2(,29) 1

16、(,2750)34(ffff所以 f(x) 在 2,2 上的最大值为,29最小值为.2750解法一 :423)(2axxxf的图象为开口向上且过点(0, 4) 的抛物线 , 由条件得,0)2(,0)2(ff即480840aa 2a2. 所以 a 的取值范围为 2,2. 解法二 : 令0)(xf即,04232axx由求根公式得 : 所以.423)(2axxxf在1, x和,2x上非负 . 由题意可知 , 当 x-2 或 x2时, )(xf0,从而 x1-2, x22,即6122.6122aaaa解不等式组得 2a2. a 的取值范围是 2,2. 四、 课堂小结：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样， 以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值。知识点需要熟悉，但