二次函数存在性问题的解题策略研究

1、交流论文：二次函数存在性问题的解题策略研究山东省垦利实验中学 马永庆作为开放探究性题目的典型代表， 二次函数存在性问题以其较高的开放性征服动态几何问题， 在中考题中最能考查学生综合运用各种数学思想方法的解题水平， 在教学中最能培养学生探究能力， 比动态几何问题更能融入待定系数法、 数 形结合思想、分类讨论思想、方程思想，假设检验等数学思想。在探索存在的可能情况时，常常应用到全等、相似、图形的三大变换等动态几何的元素。一道题的解答过程能看出学生基础是不是扎实、 分析和解决问题的能力的高低， 以及是否具备适应高中阶段学习的能力。 所以这类题题目在近几年中考中常以压轴题出现。 在二次函数图像以及坐标

2、轴组成的背景之中， 提出某一相对规则的几何图形是否存在的问题。 再去探求存在的理由， 符合假设检验的基本思想。 让学生在考场中经历探索发现、 求解论证的全过程。 其解题步骤主要包括找交点和求交点两个基本步骤。 考生运用分类讨论的思想去应对找交点这一步骤， 需要的是对图形的重新构建能力， 图形建模。 考生运用方程组的思想去应对求交点这一步骤， 需 要的是对数式的综合运用能力。第一步是解题的关键，要解决第一步仅仅依靠直觉或者分类讨论的一点经验， 常常会出现不切实际造成的漏解或者思维定势造成的增解。 探究点的位置离开图形的重建， 看似严密甚至无缝可击的步骤也经常会令人感到遗憾， 就像是空穴来风、无源

3、之水。图形一旦画出来，那就会一目了然。就能减少假设检验带来的负面影响。追根溯源， 图形的重新建构还是应从基本尺规作图， 图形的变换入手。 下文 将结合几个中考压轴题谈谈如何运用图形建模解决找交点的问题。一、平行四边形存在性问题例1.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A (3, 0), B (1, 0)两点，与y轴交于点C.点M为抛物线上一动点，在 x轴上是 否存在点Q,使以A、G M Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写 出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由解题策略：四边形的两个固定顶点是线段 AC的两个端点，另外两个顶点一 个在x轴上，另一个在抛物线上。

4、根据平行四边形的特点：对边平行且相等。我 们可以理解成以另两个顶点为端点的一条线段在做上下左右平移的运动。考虑到这点，我们用画平行线网(如图1b)的方法应对。在x轴上下两侧两条水平直线 为我们找到了所有的M点，其中MQ,M2Q,M3Q,都是线段AC平移的结果。一网打 尽，十分巧妙。解题步骤：以A、G M Q为顶点的四边形是平行四边形，有四种情况， 若CM平行于x轴，如图1b所示，有符合要求的两个点 Q, Q,它们都在x轴 上方。此时 QA=QA=CM.CM/x轴，.点M点C (0, 2)关于对称轴x=1对称， .M( - 2, 2), a CM=2由 QA=QA=CM=2 得到 Q ( 5,

5、0), Q ( 1, 0);若CM平彳T于x轴，如图1b所示.过点M作MG_x轴于G易证MGQ/XCOA 彳# QG=OA=3MG=OC=2即 y后2.设 M (x, -2),则有-jx2 -x+2=- 2,解得 x=-1±，f. J J又 QG=3 . xc=xg+3=2± V7,Q3 (2+5，0), Q (2-中，0).综上所述，存在点Q,使以A、G M Q为顶点的四边形是平行四边形.Q点坐标 为：Q ( 5, 0), Q (T, 0), Q (2+5, 0), Q (2折，0).中考链接：(临沂2013中考压轴题第3小题)5例2.抛物线经过A( 1,0),B(5,0

6、),C(0, 5)二点.点M为x轴上一动点，在抛 物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？若存在， 求点N的坐标；若不存在，请说明理由.原解题步骤：存在(i)当存在的点N在x轴的下方时，如图所示，:四边形 ACNM1平行四边形，5.CNII x轴，.点C与点N关于对称轴x=2对称，=C点的坐标为(0, 1),.点N的坐标为(4, 5).(II )当存在的点N在x轴上方时，如图所示，作N H x轴于点H,二四边形 ACM'N'是平行四边形，AC M'N', N'M'HCAO , RtACAO RtA N M H , .

7、 N H OC .点C的坐标为(0, 5), n'h -,即N点的纵坐标为5 , 222-x2 2x 5 5,即 x2 4x 10 022 2解得 x1 214, x2 214.二点 N'的坐标为(2 J14,5)和(2 J14,5).综上所述，满足题目条件的点 N共有三个，分别为(4, 1). , (2 师,(2、G,|)解题策略：图2b是中考题答案给出的图。这个图仅给出了两种情况的图形。并且有一个方面还没有考虑到。AC为对角线的情况，幸亏是只让求 N点坐标。若是也让求M点坐标的话，必定会出现漏解。中考题的出题人在制定答案时， 显 然是疏忽了或者是忘记了。这样的中考答案也常常

8、出现。这是应该避免的。不然, 中考题如何才能起到引领作用。发现上述问题后，我们可用画平行线网的方法给 与更正。请结合图2(c)看一下上面的解答。对比一下两个图，发现画平行线网 的方法确实不错！从解题步骤来看，N点的到X轴的距离始终和C点一样。我们 就可以利用这一相等关系列方程求交点的了。 有了完整的图形，我们也能轻松地 进行检验。图2c二、等腰三角形存在性问题例 3.已知抛物线 y = ax2+bx + c 经过 A (-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三点, 直线l是抛物线的对称轴.在直线l上是否存在点M使MAE等腰三角形？ 若存在，直接写出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请

9、说明理由.77, >M5解题策略：由于 MAC勺腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：MA= AG MA= MCAOMC可先设出M点的坐标，然后用 M点纵坐标表示 MAC勺三 边长，再按上面的三种情况列式求解. 我们可以通过画图找到第三个顶点：MA =AG以A为圆心以AC为半径画弧，交直线l于M1,M2两点，两点均可。MA =MC作线段AC的垂直平分线交直线l于一点M3符合条件AC= MC以C为 圆心以AC为半径画弧，交直线l于M4,M5两点，其中M5是共线点。解题步骤：将A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)代入抛物线y=ax2+ bx+c中，得：a - b+c=O- 1&

10、#39;9a+3b+c=0 ,解得：，b=2、c=31 .抛物线的解析式：y= x2+ 2x+3.抛物线的解析式为：x=宫=1, 设 M(1, m),已知 A(1, 0)、C(0, 3),则：MA= n2+4, MC= n2-6M10, AC = 10;若 MA= MC 则 MA= MC,得：m+4=n2 6m+ 10,得：m= 1;若 MA= AG 贝U MA= AC,得：n2+4=10,得：若 MC= AG 贝U MAC,得：n2-6m+ 10= 10,得：0,6;当m= 6时，M A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M(1,旗)(1 ,无)(

11、1 ,1)(1 , 0). 中考题赏析：已知，如图， A (0, 2), B ( 1, 0), C (4, 0) , P (2, 3)在 抛物线上，在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M使得 MP等腰三角形？ 若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。解题步骤：设点 M（3, h ）,vc （4, 0） , P （2, 3） , .PC=J 4 2 2 32 gPM=f 2 3 2 3 h 2 Jh2 6h 37，CM=J 4 3 ” h2 25。分三种情况讨论：当点M是顶点时，PM=CM即：h2 6h ? jh二25,解得,h=1o /.M i（3, g）。当点C是顶点时，PC=CM

12、即无 jh2 25,解得，h=3 33 3372 .M 2（3, 3 73）,M2 （3,-工3）。当点 P 是顶点时，PC=PM 即 S3 ,h2 6h ，2 22 24解得，h=3 /0。.山（-,3 /0）, M （3,3- <70 ） 0综上所述，当点M的坐 22标为（3, > 或（-,3J3）或（2- 36）或（3, 3、:10）或（士 3-屈） 2 22 22222时，MPE等腰三角形。三、直角梯形存在性问题例4 .如图，二次函数y= x2 3x 1的图像与x轴交于A、B两点，且与y轴 交于点C;在此抛物线上是否存在点 P,使彳导以A C B P四点为顶点的四 边形是直

13、角梯形？若存在，求出 P点的坐标；若不存在，说明理由。图4a图4b解题步骤：易证AC!BC.存在存在点P,使彳导以A C B P四点为顶点的四 边形是直角梯形。若以BC为底边，则BC/AP,如图4a所示，可求得直线BC的解析式为y= ；x 1,直线AP可以看作是由直线BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= ；x b,把点A（ 1,。）代入直线AP的解析式，求得b=L .直线AP的解析式为y= 4；x 4点P既在抛物线上，又在直线AP上，.点P的纵坐标相等，即x2lx 1 =-x 1 ,解得 x1=5 , x2=x=2时，y= 2，.点呜，3)2 0若以AC为底边，则BP/AC, y=2x

14、 10直线BP可以看作是由直线如图4b所示。AC平移得到的,可求得直线AC的解析式为所以设直线BP的解析式为y=2x b,把点B（2, 0）代入直线BP的解析式，求得b= 4, .直线BP的解析式为y=2x 4。二点P既在抛物线上,又在直线 BP上，.点P的纵坐标相等，即x2 3x 1=2x24,解得x1=-2x2=2（舍去）。当x二勺时，y= 9, 点P2综上所述,解题策略:9)。满足题目条件的点P为（勺2。）或（-229)以上的解答采用的是先画后求的方法。在发现ACL BC之后,75利用直角梯形两条底边是平行的，分别将 AG BC为底边，作出它们的平行A作BC在分类讨线。交抛物线于两个不同

15、的点。作 AG BC的平行线，也就是“过的垂线”和“过B作AC的垂线”，这正是基本尺规作图的第3种。 论求出交点之后，必须根据实际情况去选择答案。四、相似三角形存在性问题例5. （ 2013莱芜中考压轴题）如图，抛物线 y=ax2+bx+c （aw。）经过点A （-3,。）、B （1,。）、C（-2, 1）,交y轴于点M抛物线上是否存在一点 P, 作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与 MAOf似？若存在， 求点P的坐标；若不存在，请说明理由.却图？9a - 3b+e=0原解题步骤：由题意可知，升b+c=O.解得4a _ 2b+c=l L抛物线的表达式为y='J -2

16、工十1.存在点P,使得以点P、A、N为顶点的三角形与 MA。目似.设P（日-工 -nrM）- 1_3在RtzXMAO, AO=3MO要使两个三角形相似，由题意可知，点 P不可能在第一象限.设点P在第二象限时，丁点P不可能在直线MNLh, .只能PN=3NMCm” -1=3 （nH-3）,即 m2+11m+24=0 解得 m=- 3 （舍去）或 m=- 8.又13-3<mK 0,故此时满足条件的点不存在.当点P在第三象限时，丁点P不可能在直线MNLh,只能PN=3NM 卬之 _"nrH=3 （ _ m _ 3），即 m2+11m+24=0解得m=- 3或m=- 8.此时点P的坐标

17、为（-8, -15）.当点P在第四象限时，若AN=3PN寸，M 3 （-4m2 -疑1） =nH-3 ,即m2+m-6=0.解得m=- 3 （舍去）或 m=2当m=2时，-二42-|5+1二-此时点P的坐标为（2, -1）.若 PN=3NA 贝U （- 4m2 一 蓊 1）=3 （时3） , IP m2-7m- 30=0. 4J解得m=- 3 （舍去）或m=1Q此时点P的坐标为（10, - 39）.综上所述，满足条件的点P的坐标为（-8, -15）、（2, -1）> （10, - 39）.解题策略：整个解题过程非常详细、完整。用分类讨论思想将两直角三角形 相似的各种情况考虑的淋漓尽致。本

18、题整体上运用假设检验的基本思想，根据相 似三角形的性质，相似三角形对应边满足相同的倍数关系 ，利用点P坐标的几何 意义表示两条直角边长。运用这一关系，列出以横坐标为主元的一元二次方程。求出顶点P的坐标。求出坐标之后，有根据所在象限进行了答案的取舍。 出题人 给出的这个答案是准确的，但是由于假设检验的局限性导致部分解题步骤是多余 的，第一二两个象限的考虑就是多余步骤，假设检验法的基本步骤就是“先求后 验”，先应用相似三角形的性质求出坐标，再去剔除不符合的答案。这样的论证 其实具有反证法的思想。和“先画后求”的策略完全不同，通过画图的知识去确 定那个象限一定有解，那个象限一定无解。然后再根据横纵坐

19、标之间的数量关系， 利用方程顺利成章的得到它。“先画后求”数形结合思想运用的多一些，分类讨 论思想相对少一些。计算步骤简单，学生容易理解，但是，寻找各个答案的构图 必须考虑到各种位置和形状。“先求后验”，作为传统解法，分类讨论的多，数形 结合的少。步骤繁杂，后进生不容易理解。但是它用图较少，甚至可以不画。需 经过艰苦的训练才能把握。从新课标理念的视角，我们不容置疑的应该选择“先 画后求”，因为它符合学生的认知水平，符合探究能力培养的要求。我们的担心 主要还是在应试上。评卷人有时会无理取闹，认为步骤不全而扣分。这是极其悲 哀的事情！ “先求后验”没有用那么多图形就写出了有理有据的四五种情况，并

20、结合位置关系进行了取舍，非常符合应试的要求，会得高分。五、面积最大（小）值存在性问题例6.如图6a,已知抛物线y=x2 - 4x+3与x轴交于A B两点，过点A的直 线l与抛物线交于点C.若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线 AC的下方， 试求4ACE的最大面积及E点的坐标.图6a图6b解题策略：求 ACE勺最大面积就是要求底边 AC上的高最大时的面积，我 们运用转化的思想：将“点到直线的的距离”转化成“两条平行线之间的距离”，什么时候两条直线离得最远呢？只能在抛物线上滑动的点E一定存在，并且正好是一个切点。过点E与AC平行的直线，我们运用直线EF去求这一点。根据直线 AC的解析式，设出EF

21、的解析式y=x+m,然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于 x的一元二次方程，利用根的判别式 =0时，ACE勺面积最大，然后求出此时 与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标， 再求出AF,再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出 AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解.本题考查了二次函数 综合题型，主要考查了联立两函数解析式求交点坐标， 利用平行线确定点到直线 的最大距离问题.解题步骤：如图6b,设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立， y=x+m2,y=x - 4耳+3 消掉 y 得，x2- 5x+3- m

22、=0 =（-5） 2-4X 1 X （3-项=0,即 m=-堂时，点E到AC的距离最大， ACE勺面积最大,此时x=- , y=- - , /.24点E的坐标为（5 , - 1）,设过点E的直线与x轴交点为F,则F （芋，0）,，Af¥-1=9,二直线AC的 4解析式为y=x - 1,，/CAB=45 , 点F至U AC的距离为9 乂逛3,又4 二： acJjZEF 2=3厄.ACE的最大面积=X3收2下,止匕时E点坐标为（：，-3）.例7.如图，已知抛物线y= - x2+2x+3与一直线相交于A, C两点.若P是抛 物线上位于直线AC上方的一个动点，求 APC的面积的最大值.解题策

23、略：如图，过点P作PQLx轴交AC于点Q;过点C作CGLx轴于点G,设Q (x, x+1),则 P (x,-x2+2x+3),求得线段PQ。x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知S APC S APQ+S CPQ ,由二次函数的最值的求法可知4APC面积的最大值。解题步骤：如图，过点 P作PQLx轴交AC于点Q;过点C作CGLx轴于点G,设Q (xx+1),则 P (x, - x2+2x+3)。2 _、，2二 PQ (x2 2x 3)(x 1) x2c 11 S APQ +S CPQ 2 PQ AG1( 23 ae当x=l时,2x2 x 2) 33 (x22)2 APC的面积取得最大值,2

24、7o8最大值为27o8例8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c的图象与x轴交于A B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C (0, -3)点， 点P是直线BC下方的抛物线上一动点.当点 P运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC勺最大面积.解题策略：由于 ABC的面积为定值,当四边形 ABPC勺面积最大时， BPC 的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q交x轴于F,易求得直线 BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底,B点横坐

25、标的绝对值为高即可求得 BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB勺面积与P点横坐标的函数关系式， 根据函数的性质即可求出四边形 ABPC勺最大面积及对应的P点坐标。解题步骤：将B、C两点的坐标代入y=x2+bx+c得9K+c=0,解得b= 2。二次函数的表达式为：y=x2-2x-3o过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与。皎于点F,设P (x, x2 2x-3),设直线BC的解析式为y=kx+b,则3k+b=0b= 3解得k=1b= 3直线BC的解析式为y=x-3。则Q点的坐标为(x, x-3)我边形ABPC S ABC S BPQ S CPQ1 1八- 1八AB OC QP OF QP B

26、F2 2221c12cc cc33754 3+x 2x3x 33x +22228,四边形ABPC4当x=W时，四边形ABPC勺面积最大，此时P点的坐标为3, 22的面积的最大值为7508六、线段和最小值存在性问题例 9.已知抛物线 y= x2+ 2x + 3.经过 A ( -1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)三 点，直线l是抛物线的对称轴.在直线l上是否存在一点P使APAC的周长最小， 若存在，求出它的坐标。若不存在说明理由。4丁杉5 '- r5 解题策略：“APAC的周长最小”也就是说AC+AP+PC值最小，AC又是一个 确定的值，只要AP+PC勺值最小就行。这就是我们联想到

27、轴对称一章中的一个求 线段之和最小的模型。由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛 物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接 BC,那么BC与直线l的交点 即为符合条件的P点.解题步骤：连接BG直线BC与直线l的交点为P；设直线BC的解析式为y = kx+b,将B(3, 0), C(0, 3)代入上式，得：，直线BC的函数关系式y= x+3;当x1时，y=2,即P的坐标(1, 2).例10.如图，抛物线y= -ix2+2x+1的图象与y轴交于点C,顶点为Q点D在x轴正半轴上，且OD=OC将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与 抛物线相交于另一点E,若点P是线段Q

28、Eh的动点，点F是线段OD±的动点， 问：在P点和F点移动过程中， PCFI勺周长是否存在最小值？若存在，求出这 个最小值；若不存在，请说明理由.解题策略：如答图所示，作点C关于直线QE的对称点C',作点C关于x 轴的对称点C； 连接C' C； 交ODT点F,交QE于点P,则4PCF即为符合 题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，4PCF的周长等于线段C' C 的长度.利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF的周长最小.如答图所示，利用勾股定理求出线段C' C的长度，即4PCF周长的最小 值.如何充分利用轴对称的性质确定 PCF周长最

29、小时的几何图形，是解答本题 的关键.解题步骤：存在.如答图所示，作点 C关于直线QE的对称点C',作点C 关于x轴的对称点C ,连接C' C',交OD于点F,交QE于点P,则4PCF即 为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF勺周长等于线段C' C的长度.(证明如下：不妨在线段 OD上取异于点F的任一点F',在线段QE上取异于点 P 的任一点 P',连接 F' C' , F' P' , P' C' .由轴对称的性质可知， P' CF的周长"F' C +F&#

30、39; P' +P' C'而F' C +F' P' +P' C'是点C' , C之间的折线段， 由两点之间线段最短可知：F' C +F' P' +P' C' >C' C； 即AP' CF的周长大于 PCE的周长.) 如答图所示，连接C' E, . C, C'关于直线QE对称，4QCE为等腰直角三角形， .QC E为等腰直角三角形， .CEC为等腰直角三角形， 点C的坐标为(4, 5);vC, C关于x轴对称，点C的坐标为(-1,0).过点 C'彳C' NJ±y 轴于点 N,则 NC =4, NC =4+1+1=C在RtC NC中，由勾月£定理得：C' C'二5Tl叫嗫2/运综上所述，在P点和F点移动过程中，4PCF的周长存在最小值，最小值为2旧.七、直角三角形存在性