人教版八年级数学上《公式法》拓展练习

1、公式法拓展练习、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.（5分）若关于x的多项式x2+mx+1可分解成（x+n） 2,则n等于2.3.4.5.B. 1（5 分）代数式（a - 3b）之-4 （a-3b）A . (a-3b+3c) 2 B. (a-3b-2c)（5分）下列因式分解中，正确的是（A . x2y2 z2 = x2 (y+z) (y z)C. 9- 12a+4a2= - ( 3- 2a) 2（5分）下列多项式中,能因式分解得到（C. - 1c+4c2可以写成（C. (a+3b+2c)2,B . - x y+4xy=-D. (x+2) 2- 9 =x+y) (x y)的是(xyD.D.

2、,、2(a+3b - 2c)(x+4)(x+5)(x 1)A. x2+y2b , x2 - y2C. - x2-y2D.-x2+y2（5分）下列多项式中,能用公式法分解因式的是（B. a2+b2C. - a2+9b2D.a2+4ab - 4b2二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6.(5分)因式分解：m2-4n2=7.(5分)因式分解：x2- 10x+25 =8.(5分)若 x2+mx+16= (x+4) 2,贝U m 的值为9.(5分)因式分解-9 m2+4n2 =第3页(共11页)10. （5 分）因式分解：（a+b） 2-64 =三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （

3、10分）下面是某同学对多项式（x2- 4x+2） （x2-4x+6） +4进行因式分解的过程2解：设 x - 4x= y,原式=(y+2) (y+6) +4 (第一步)= y2+8y+16(第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2 4x+4) 2 (第四步)（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的（填序号）.A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将 y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个结果是否分解到最后？ .(填“是”或“否”)如果否，直接写出最后的结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x) (x2

4、-2x+2) +1进行因式分解.12. (10 分)(1)已知(a+b) 2=7, (a-b) 2=4,求 a2+b2和 ab 的值.(2)分解因式： x2- 8xy+16y2(x+y+1) 2 (x-y+1) 2.13. (10分)先阅读材料，再回答问题：分解因式：(a-b) 2-2 (a-b) +1解：设 ab=M,则原式=M22M+1= (M 1) 2再将a - b = M还原，得到：原式=(a-b-1)2上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：(1)分解因式：(x+y) (x+y-4) +4(2)若a为正整数，则(a- 1) (a-2) (

5、a-3) (a-4) +1为整数的平方，试说明理由.14. (10 分)(1)已知 x= - 5, y=求 x2?x2n?(yn) 2 (n 为正整数)的值；(2)观察下列各式：32 - 12=8X 1, 52 - 32= 8X 2, 72 - 52 = 8 X 3,，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.15. (10分)借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果.下面尝试利用表格试一试.例题：(a+b) (a- b)解填表a baa2ab2-b - ab - b贝 U (a+b) (a-b) = a2 - b2.根据所学完成下列问

6、题.(1)如表，填表计算(x+2) (x2-2x+4), (m+3) (m2-3m+9),直接写出结果.2 x-2x43-2xx-2x24x+22x24x82 m3m9m3 mc_23m9m+3c 23m9m27结果为；结果为(2)根据以上获得的经验填表:结果为 3+0 3,根据以上探索，请用字母 a、b来表示发现的公式为(3)用公式计算：(2x+3y) ( 4x2 - 6xy+9y2)=因式分解：27m3- 8n3=第7页(共11页)公式法拓展练习参考答案与试题解析本大题共 5 小题，共 25.0 分)1 ( 5 分)若关于x 的多项式x2+mx+1 可分解成( x+n ) 2 ，则n 等于

7、( )A±1C. - 1D. 2【分析】 多项式x2+mx+1 可以因式分解成( x+ n ) 2，说明多项式x2+mx+1 是一个完全平方式，所以m= ± 2.【解答】解：由于x2+mx+1= ( x+n) 2,所以 x2+mx+1 是一个完全平方式，所以 m=± 2X 1X1 = ±2,故 n= ± 1.故选： A【点评】 本题考查了公式法分解因式，若一个多项式可以分解成( x+n) 2，则可以说明多项式是一个完全平方式2. (5 分)代数式(a-3b) 2-4 (a-3b) c+4c2 可以写成()A. (a-3b+3c) 2 B . (

8、a-3b-2c) 2 C. (a+3b+2c) 2 D. (a+3b-2c) 2直接利用完全平方公式分解因式得出答案【解答】 解：(a3b) 2-4 (a - 3b) c+4c2 =(a - 3b-2 c) 2.故选： B【点评】 此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键3. ( 5 分)下列因式分解中，正确的是( )A . x2y2 z2= x2 (y+z) (y z)B. x2y+4xy= xy (x+4)C. 9- 12a+4a2= - ( 3- 2a) 2D. (x+2) 2-9= (x+5) (x- 1)【分析】 直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式进而得出

9、答案【解答】解：A、x2y2- z2= ( xy+z) (xy-z),故此选项错误；B、- x2y+4xy= - xy (x- 4),故此选项错误；C、9- 12a+4a2= (3-2a) 2,故此选项错误；D、(x+2) 2-9= ( x+2+3) (x+2-3) = ( x+5) (x- 1),正确.故选：D .【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键.4. (5分)下列多项式中，能因式分解得到( x+y) (x-y)的是()C.D.-x+y【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案.【解答】解：A、x2+y2,无法分解因式，故此选项错误；B、x2 -y2= (x+

10、y) (x-y),正确；C、-x2-y2,无法分解因式，故此选项错误；D、- x2+y2= - ( x+y) (x-y),故此选项错误；故选：B.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.5. (5分)下列多项式中，能用公式法分解因式的是()A . a2 - aB . a2+b2C, - a2+9b2D, a2+4ab- 4b2【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断即可.【解答】解：A、a2-a=a (a-1),故此选项错误；B、a2+b2,无法分解因式，故此选项错误；C、- a2+9b2= (3b+a) (3b-a),故此选项正确；D、a2+4ab-4b2

11、,无法分解因式，故此选项错误；故选：C.【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)6. (5 分)因式分解： m2-4n2=(m+2n) (m-2n).【分析】先将所给多项式变形为 m2- (2n) 2,然后套用公式a2-b2= ( a+b) (a-b), 再进一步分解因式.【解答】解：m2- 4n2,=m2- ( 2n) 2,=(m+2n) (m 2n).【点评】主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键.7. (5 分)因式分解：x2- 10x+25=(x - 5) 2 .【分析】此题可直接用完全平方公式分解因式.

12、完全平方公式：a2±2ab+b2= (a±b)【解答】解：x210x+25= (x5) 2.【点评】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键.8. (5 分)若 x2+mx+16= (x+4) 2,贝U m 的值为 8 .【分析】根据完全平方公式展开，即可得出答案.【解答】解：(x+4) 2=x2+8x+16,- x2+mx+16= (x+4) 2,m= 8,故答案为：8.【点评】 本题考查了因式分解和完全平方公式，能根据完全平方公式展开是解此题的关键.9. ( 5 分)因式分解-9 m2+4 n2 =(2n+3m) (2n-3m).【分析】直接利用平

13、方差公式分解因式得出答案.【解答】 解：-9m2+4n2= ( 2n+3m) (2n-3m).故答案为：(2n+3m) (2n-3m).【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.10. (5 分)因式分解：(a+b) 2-64=(a+b-8) (a+b+8).【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.【解答】 解：(a+b) 264= ( a+b 8) (a+b+8).故答案为：(a+b-8) (a+b+8).【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.三、解答题(本大题共5小题，共50.0分)11. (10分)下面是某同学对多项式(x2- 4x+

14、2) (x2-4x+6) +4进行因式分解的过程解：设 x2 - 4x = y,原式=(y+2) (y+6) +4 (第一步)= y2+8y+16(第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2-4x+4) 2 (第四步)(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的C (填序号).C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学在第四步将 y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果.这个(x结果是否分解到最后？否.(填“是”或“否”)如果否，直接写出最后的结果-2) 4(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2 - 2x) (x2-2x+2) +1进行因式分解.【分析】(1)根据

15、分解因式的过程直接得出答案;(2)该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可;(3)将(x2-2x)看作整体进而分解因式即可.【解答】解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式;(2)这个结果没有分解到最后,原式=(x2-4x+4) 2= ( x-2) 4;故答案为：否，(x-2) 4;(3) (x2-2x) (x2-2x+2) +1=(x2-2x) 2+2 (x2- 2x) +1=(x2-2x+1) 2【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键,注意分解因式要彻底.12. (10 分)(1)已知(a+b) 2=7, (ab)

16、 2=4,求 a2+b2和 ab 的值.(2)分解因式: x2 - 8xy+16y2(x+y+1) 2 (x-y+1) 2【分析】(1)已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求;(2)原式利用完全平方公式分解即可；原式利用平方差公式分解即可.【解答】解：(1) .( a+b) 2=a2+b2+2ab=7，(a-b) 2 = a2+b2-2ab= 4，+得：a2+b2=5.5,-得：ab =(2)原式=(x- 4y) 2;原式=(x+y+1 + x y+1) (x+y+1 x+y _ 1) = 4y (x+1).【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本

17、题的关键13. ( 10 分)先阅读材料，再回答问题：分解因式：(a-b) 2-2 (a-b) +1解：设 ab=M,则原式=M22M+1= (M 1) 2再将a - b = M还原，得到：原式=(a-b-1)2上述解题中用到的是“整体思想” ，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：(1)分解因式：(x+y) (x+y-4) +4(2)若a为正整数，则(a- 1) (a-2) (a-3) (a-4) +1为整数的平方，试说明理由.【分析】(1)设 M = x+y,据此原式= M (M-4) +4=M2-4M+4= ( M - 2) 2,再将 M=x+y代回即可得；(2)由原式变

18、形为(a2-5a+4) (a2-5a+6)+1 ,令 N= a2 - 5a+4,据此可得原式 N (N+2)+1 = N2+2N+1= (N+1) 2,根据a为正整数可作出判断.【解答】解：(1)设“ =乂+丫，则原式=M ( M 4) +4=M24M+4= ( M 2) 2,将M = x+y代入还原可得原式=(x+y-2) 2;(2)原式=(a1) (a 4) (a 2) (a3) +1=(a2-5a+4) (a2- 5a+6) +1令 N= a2 - 5a+4 ,.a为正整数，N= (a-1) (a - 4) =a2- 5a+4 也是整数,则原式=N (N+2) +1= N2+2N+1=(

19、N + 1) 2,. ' N为整数，.原式=(N+1) 2即为整数的平方.【点评】 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一 步解题的有关知识，难度中等.14. (10 分)(1)已知 x= - 5, y= ,求 x2?x2n?(yn) 2 (n 为正整数)的值；5(2)观察下列各式：32 - 12=8X 1, 52 - 32= 8X 2, 72 - 52 = 8 X 3,，探索以上式子的规律，试写出第n个等式，并运用所学的数学知识说明你所写式子的正确性.【分析】(1)代入计算，并运用积的乘方的逆运算得出结论；(2)发现被减数和减数都是一个数的平方的形式，且

20、两个底数都是奇数，相差2,结论都是8的倍数，根据此规律写出式子：(2n+1) 2- (2n-1) 2=8n,并利用平方差公式分解后化简.【解答】解：(1)原式=(5) 2X (5) 2nx (- X) 2n=25 ( 5) X ( L) 2n,5回= 25;(2)规律：(2n+1) 2- (2nT) 2=8n,验证：(2n+1) 2 - (2n1) 2= (2n+1) + (2n 1) (2n+1) (2n1) = 4nX2 = 8n.【点评】本题主要考查了整式的混合运算及因式分解、积的乘方的性质，熟练掌握运算 性质是解题的关键.15. (10分)借助表格进行多项式乘多项式运算，可以方便合并同类项得出结果.下面尝试利用表格试一试.例题：(a+b) (a- b)解填表aa2ab-b - ab - b2贝U ( a+b) ( a - b) = a2 - b2.根据所学完成下列问题.(1)如表，