由数学归纳法感言数学来源于生活

1、由数学归纳法感言数学生活【摘要】：p ：本文论述了从生活现象中提炼出的特殊证明方法-数学归纳法的相关内容，举例说明了数学归纳法在证明用一般方法难以入手证明的等式、不等式的神奇作用，感言从生活经验提炼出的证明方法的妙处。【关键词】：p ：生活数学归纳法等式不等式妙处人们都说：“艺术生活，更高于生活。”而我却认为数学生活，并且更高于生活。这两种认识或许都是有道理的，只是它们考虑的角度不同；也或许数学是从属于艺术，是艺术的另一种表现形式，两者是总体与局部的关系。为何说数学生活，并且高于生活呢？我们先来看两个生活实例：实例一：着名的多米诺骨牌游戏是一种码放骨牌的游戏，它的游戏操作很简单，只需在码放时保

2、证任意两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下.最后，无论有多少块骨牌，都能全部倒下。实例二:登山车队在一条仅能容纳一辆车通过的山路上排队前行，此时若第一辆车由于某些原因无法前行，那幺一定导致第二辆车无法前行，则必然使第三辆车业无法前行这样，无论这个车队有多少辆车都无法前行。在这两个生活实例中，我们发现要使最后的结果出现，只要满足这两个条件即可：（1）第一块骨牌倒下或第一辆车无法通行（2）任意两个相邻的骨牌或车，前一块倒下一定导致后一块倒下，或前一辆车停止一定导致后一辆车停

3、止。在数学中，有一类与自然数有关的命题，其中自然数的取值构成无限集合，因此就不能像有限个情况那样逐个去研究，而用不完全归纳法得到的结论又是不可靠的。人们自然要去寻求一种既切实可行，又满足逻辑性严格要求的方法。前人就从我们周围的生活实例得到了启发，将自然数与骨牌或车队中的车一一对应，想出了与之前的证明方法不同的另一种数学证明方法，这就是意大利数学家莫洛里克斯（Maurolycus，14941575）提出的十分巧妙的推理方法数学归纳法。数学归纳法分为五种，它们分别是：普遍数学归纳法（也叫第一数学归纳法）、串值数学归纳法（也叫第二数学归纳法）、跳板数学归纳法、反向数学归纳法、跷跷板数学归纳法。在此，

4、我们只谈论中学数学中常用的普遍数学归纳法：一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1） （归纳奠基）证明当n取第一个值（N_）时命题成立；（2） （归纳递推）假设n=k(k，kN_)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。下面我们来看数学归纳法在中学数学中证明等式与不等式的两个应用。（一） 数学归纳法在证明等式中的应用例1：证明正奇数之和=1+3+5+（2n-1）=n2。证明：（1）当n=1时，S1=1=12，等式成立；（2）假设当n=k时等式成立，即SK=1+3+5+(2k-1)=

5、k2则SK+1=1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1 =SK+2k+1=k2 +2k+1=(k+1)2故当n=k+1时，等式也成立综合（1）（2）可得证正奇数之和Sn=1+3+5+（2n-1）=n2（二） 数学归纳法在证明不等式中的应用例2：证明：（1）当n=1时，左边=21=2，右边=（1/4-1)2+1=9/16+1=25/16左边右边，命题成立。（2）假设当n=k（k N_）时命题成立，即2k (k/4-1)2+k当n=k+1时，2k+1 2(k/4-1)2+k=k2/8+k+2又（k+1/4-1)2+(k+1)=k2/16+5k/8+25/16k2/8+k+2k2/16+5k/8

6、+25/16 2k+1 (k+1/4-1)2+(k+1)命题成立由（1）（2）可知命题对一切正整数n成立。通过列举数学归纳法在等式与不等式证明中的两个简单应用，我们可以直观地感受数学归纳法在证明与正整数有关的命题中的神奇作用。如果不采用数学归纳法，我们很难入手，当然对命题进行不重不漏，逻辑严谨的证明就更难了，而用数学归纳法，我们用有限的步骤就完成了对无限的对象的命题证明。但是数学归纳法的步骤看起来简单，只有两大步骤，但是在中学中用它进行证明时，仍然有很多同学无法将解题步骤完整的写出，这是因为多数同学在第二步证明中，不知道如何将n=k+1与n=k时的命题联系上，那幺证明过程就无法完成了。其实，要

7、解决同学们的这个困惑只需多做多练，掌握一些变形过程中常用的技巧。那幺相信同学们都能将数学归纳法灵活运用！总之，用数学归纳法证明与正整数有关的命题的思想方法，就像我们推倒多米诺骨牌一样，只需采用有限的步骤，就可以坐享其成地处理完无限个对象，这种由生活经验条理化，公理化的证明方法，在应用中是具有如此神奇的力量，证明过程简单清晰。从中我们可以看出，数学并不只是数学家们笔头下的计算，它就在我们身边，可以和生活联系的如此紧密，它的奥妙与美丽隐藏在生活的每一个小细节中，只是我们缺少发现它的眼光。生活中，我们多看多听，将熟悉的事物多加联系，做个生活中的有心人，那幺下个自生活的数学定理就是我们发现的。因此，我们不得不感言数学生活，并且更高于生活，而最终数学又用来服务于生活。这是一个多幺富有哲理的世界啊