【初三数学】九年级暑假第18讲：二次函数解析式的确定

1、2 IZ九年级暑假数学（学生版）最新教案1/20二次函数解析式的确定7 / 20二次函数的学习必然离不开二次函数解析式的确定，因为求解二次函数的解析式是二次函数知识的实际运用中的必不可少的一环 本讲主要讲解利用二次函 数的一般式、顶点式和交点式，以及通过二次函数的平移和对称求解二次函数解 析式的方法，重点在于根据不同的条件，灵活选择求解二次函数解析式的方法， 从而快速准确的确定二次函数的解析式知识结构知识精讲2【例1】 已知二次函数的图像经过点A ( 1 , 5 )、B (0, 4 )和C (1, 1).求这个二次函数的解析式.【难度】【答案】【解析】Q【例2】 已知二次函数y ax bx C

2、图像经过点(0, 3)、(3, 0)、( 2， 5).(1) 求这个二次函数的解析式；(2) 求这个二次函数的最值.【难度】【答案】【解析】2【例3】 已知抛物线y ax bx C经过点A (2, 3)、B (0, 3)、C (4, 5).(1) 求该抛物线的解析式；(2) 当X为何值时，y 3 ?【难度】【答案】【解析】【例4】 已知二次函数的图像经过点(0, 3)、( 3, 0)、( 2, 5 ),且与X轴交 于A、B两点.(1) 试确定该二次函数的解析式；(2) 判定点P ( 2 , 3)是否在这个图像上，并说明理由；(3) 求PAB的面积.【难度】【答案】【解析】知识精讲21、顶点式

3、y a X m k ( a 0)2（1）任何二次函数经过配方都可以整理成y a X m k（ a 0）的形式，这叫做二次函数的顶点式，而（m , k）为抛物线的顶点坐标;（2）如果已知二次函数的顶点坐标和图像上任意一点的坐标，都可以用顶点式来求解二次函数的解析式;（3）对于任意的二次函数ax2 bx C ,都可以配方为：y a2 b2a4aC b2 的4a形式.（SL 例题解析【例5】抛物线y 2x2bxC的顶点坐标是（1,2）,贝U b =【难度】【答案】【解析】【例6】 已知抛物线的顶点坐标为（4, 1 ）,与y轴交于点（0, 3）,求这条抛物线 的解析式.【难度】【答案】【解析】【例7】

4、如果a 0 , b 0 , C 0, b 4ac O ,那么抛物线 y ax bx C经过第象限.【难度】【答案】【解析】1, 5）,且当x = 2时，函数有最小值 3,求该二【例8】已知二次函数的图像过点（ 次函数的解析式.【难度】【答案】【解析】【例9】已知二次函数的图像的顶点坐标为A （ 2, 1）且图像与X轴的两个交点为 B、C （点B在点C的左侧），若 ABC是等腰直角三角形，求这个二次函数的解析 式.【难度】【答案】【解析】【例10】已知抛物线过点（3, 2）、（ 0, 5）两点，且以直线 X = 2为对称轴，求此抛 物线的解析式.【难度】【答案】【解析】模块三：交点式 y =a

5、( X -x) ( X -X2)( a 0 )知识精讲1、交点式 yaxx1xx2(a 0)(1)交点式：y aX X1 X X2( a 0 ),其中X1 , X2为二次函数图像与 X轴的两个交点的横坐标;(2)已知二次函数与X轴的交点坐标，和图像上任意一点时，可用交点式求解二次函数解析式;(3)已知二次函数与X轴的交点坐标 (Xi, 0)、(X2, 0),可知其对称轴为XXiX2 .;2(4)根据二次函数的对称性可知，对于函数图像上的两点(果它们有相同的纵坐标，则可知二次函数的对称轴为(5)对于任意二次函数次方程的求根公式可得:Xiax2 bx C ,当 Xb b 4ac2a 、X2x1,

6、a )、( X2, a),如X1 X2；0时，即ax2 bx c 0 ,根据一元二b b 4ac .2a(6)对称式：y a(xX)(x X2) k( a 0)，当抛物线经过点(Xi, k)、( X2, k)# / 20时，可以用对称式来求解二次函数的解析式.例题解析y轴的交点的纵坐标【例11】已知二次函数的图像经过点(2 , 0)、( 1, 0),且与为3 ,求这个二次函数的解析式.【难度】 【答案】 【解析】【例12】已知二次函数y ax2 bx C的图像经过点 M( 1 ,0)、N(4, 0)、P (1, 12)三点，求这个二次函数的解析式.【难度】【答案】【解析】【例13】已知二次函数

7、的图形与 X轴的交点坐标是(1,0),( 3,0),且函数有最小值 5 , 求二次函数的解析式.【难度】【答案】【解析】【例14】已知抛物线，当X = 3时，抛物线有最高点，最高点的纵坐标为1,且图像与X轴的两个交点之间的距离为2,求这个抛物线的解析式.【难度】【答案】【解析】【例15】抛物线y a2 bx C经过(0, 3)、(12, 3),其顶点的纵坐标为 6,求这个 抛物线的解析式.【难度】【答案】【解析】【例16】已知二次函数的图像与 X轴交于点A ( 1 , 0)、B (4, 0),与y轴交于点C, 且SABC 10 ,求二次函数的解析式.【难度】【答案】【解析】模块四：二次函数的平

8、移1、几种特殊的二次函数解析式之间的平移关系:向上（）或向下（）平移K个单位向左（£平移平移个单位）或向右个单位）或向右向上（.Q或向下（）平移个单位X + »12 .,2、二次函数 y ax bx C的平移（1）将二次函数y a2 bx C左右平移：向左平移m个单位，函数解析式变为ya Xm2bxmC； 2向右平移m个单位，函数解析式变为yaxmb xmC.（2）将二次函数y ax2 bx C上下平移：向上平移n个单位，函数解析式变为yax2bxCn ;向下平移n个单位，函数解析式变为yax2bxCn .2 2（3） 通常，在平移前，将二次函数y ax2 bx C化成ya

9、xmk的形式,再根据平移的情况写出平移后函数的顶点式，再将顶点式整理成一般式.2 axbx C向右平移4个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式为y1X2 ,求原来抛物线的解析式.2【难度】【答案】【解析】【例18】怎样平移抛物线y 3X2 ,才能使它经过点 M ( 1 , 2)和N (1, 1)两4点？【难度】【答案】【解析】【例19】已知二次函数的图象的顶点坐标为A (1, 4 ),且经过点(2, 3).(1) 求该二次函数解析式；(2) 将该二次函数的图象向左平移几个单位，能使平移后所得图象经过坐标原 点？并求平移后图象对应的二次函数的解析式.【难度】【答案】【解析】【例20】如图

10、，已知经过原点的抛物线y22x4x与X轴的另一交点为 A,现将它向右平移m( m 0 )个单位，所得抛物线与 X轴交于C、D两点，与原抛物线交 于点P.(1) 求点A的坐标，并判断 PCA的形状(不要求说明理由)；(2) 在X轴上是否存在两条相等的线段，若存在，请找出，并求出它们的长度(可用含 m的式子表示)；若不存在，请说明理由；(3) 设 PCD的面积为S,求S关于m的关系式.【难度】【答案】【解析】【例21】如图，在平面直角坐标系中，已知点 A坐标为(2,4),直线X 2与X轴相交 于点B,连结OA,抛物线y X2从点O沿OA方向平移，与直线X 2交于点P,当顶点M运动到点A时停止移动.

11、(1) 求线段OA所在直线的函数解析式;(2) 设抛物线顶点 M的横坐标为 m. 用m的代数式表示点 P的坐标； 当m为何值时，线段PB最短.【难度】【答案】【解析】模块五：二次函数的轴对称知识精讲1、关于X轴对称:2y ax bx C关于X轴对称后，得到的解析式是2 axbx C ；2y a x m k关于X轴对称后，得到的解析式是2、关于y轴对称:y ax2 bx C关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx C ；2y a x m k关于y轴对称后，得到的解析式是例题解析【例22】如果二次函数的图象与已知二次函数x22x的图象关于y轴对称，那么这个二次函数的解析式是（2x2xC.2CX

12、 2x D.【答案】【例23】二次函数y m2【解析】m2 3m x 1 m的图象关于y轴对称，则m的值为（A . 0B. 3【难度】【答案】【解析】2【例24】已知一个二次函数y X bx 3的图象经过点A (1 ,4).(1) 求b的值；(2) 求抛物线关于X轴对称的抛物线的解析式.【难度】【答案】【解析】【例25】已知二次函数 y x 1 x 3与y XaXb的图象关于y轴对称，求2 2a 1 b 1的值.【难度】【答案】【解析】模块六：二次函数的中心对称知识精讲1、关于原点对称:2y axbxC关于原点对称后，得到的解析式是ya2 bx C;y a Xm2k关于原点对称后，得到的解析式

13、是y2a Xmk .2、关于顶点对称:2y axbXC关于顶点对称后，得到的解析式是yax2 bx C£ .>222ay a Xmk关于y轴对称后，得到的解析式是ya Xmk .3、关于点（p,q）对称：y a Xm2k关于点（p,q）对称后，得到的解析式是ya Xm22p2q k例题解析【例26】函数y X2与y 2的图象关于 轴对称，也可以认为y 2是函数y X2的图象绕旋转得到的.【难度】【答案】【解析】【例27】二次函数y X2 2x 3的图象关于原点 O对称的图象的解析式是 【难度】【答案】【解析】【例28】抛物线y2x 3x 2的图象关于其顶点对称的抛物线的解析式是

14、【难度】【答案】【解析】【例29】二次函数y X2X 1的图象关于点A (2,0)对称的图象的解析式是【难度】【答案】【解析】【例30】如图，已知抛物线F1 : yX25，抛物线F2与Fi关于点(1, 0)中心对称,Fi与F2相交于A，B两点，点M在抛物线Fi上，且位于点A和点B之间；点N在抛物线F2上，也位于点 A和点B之间，且 MN X轴.(1) 求抛物线F2的表达式；(2) 求线段MN长度的最大值.【难度】【答案】【解析】S）随堂检测【习题1】二次函数的图像经过（1,4）、（1 , 0）、（ 2 , 5）,求二次函数的解析式.【难度】【答案】【解析】【习题2】已知抛物线的顶点为（2 ,

15、3）,且过点（1 , 5）,求抛物线的解析式.【难度】【答案】【解析】25 / 20【习题3】已知二次函数的图像与X轴交于点（2 ,0）和（4,0）,且过点（1,9 ）,2求二次函数的解析式.【难度】 【答案】 【解析】【习题4】把二次函数y2X 3的图象经过翻折、平移得到二次函数23的图象，下列对此过程描述正确的是（A .先沿y轴翻折,再向下平移6个单位B .先沿y轴翻折，再向左平移6个单位C.先沿X轴翻折，再向左平移6个单位D .先沿X轴翻折,再向右平移6个单位【答案】【解析】2【习题5】 把抛物线y X 1沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q( 3, 0),求平移后的抛物线的解析式.

16、【难度】【答案】3 2-x2形状相同，开口方向相4求此二次函数的解析【解析】【习题6】已知二次函数y ax bx C与二次函数y反，且其图像的对称轴为直线X = 1 ,且经过点(2，式.【难度】【答案】【解析】【习题7】二次函数图像的对称轴为直线X = 1 ,函数的最小值为 4 ,抛物线与X轴两个交点之间的距离为 4,求函数的解析式(用三种不同的方法).【难度】【答案】【解析】【习题8】在平面直角坐标系中,AoB的位置如图所示，已知AoB 90 ,A 60 ,点A的坐标为(晶,1).求:(1)点B的坐标;(2)图像经过A、0、B三点的二次函数的解析式和这个函数图像的顶点坐标.【习题9】如图，把

17、抛物线y X2 (虚线部分)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线I1 ,抛物线I2与抛物线I1关于y轴对称.点A、0、B 分别是抛物线1、2与X轴的交点，D、C分别是抛物线1、2的顶点，线段CD 交y轴于点E.(1) 分别写出抛物线1与2的解析式；(2) 设P是抛物线1上与D、0两点不重合的任意一点，Q点是P点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由.(3) 在抛物线1上是否存在点 M ,使得 S ABM S四边形 AOED , 如果存在，求出 M点的坐标；如果不存在，请说明理由.【难度】【答案】【解析】【习题10】如图，平行四

18、边形 ABCD中，AB = 4,点D的坐标是(0, 8),以点C为顶点的抛物线 y ax2 bx C经过X轴上的点A、B.(1) 求点A、B、C的坐标；(2) 若抛物线向上平移后恰好经过点【难度】【答案】【解析】【作业1】已知二次函数的图像经过点3A (3, 6)、B ( 1 , 2 )、C (0,),2求二次函数的解析式.【难度】【答案】【解析】【作业2】已知抛物线的顶点为（1， 3）,且与y轴交于点（0, 2 ）,求抛物线的解析式.【难度】【答案】【解析】【作业3】已知抛物线与X轴交于点（3 , 0）和（5, 0）,且与y轴交点的纵坐标为3,求抛物线的解析式.【难度】【答案】【解析】【作业4】一抛物线向右平移 3个单位，再向下平移 2个单位后得到抛物线2y 2x 4x ,则平移前抛物线的解析式为 .【作业5】在平面直角坐标系中，先将抛物线2y X X 2关于X轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于 y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A . y2CrX X 22B. yXX 2C. y2CX X 22D. y XX 2【难度】【答案】【解析】【作业6】二次函数图像的顶点为（1,2）,且与直线y = 2x + k相交于点（2, 1）.求(1)二次函数的解析式；(2)该二次函数的图像与直线y = 2x + k 的另一