【好题】数学高考模拟试卷(及答案)

1、、选择题、共 1 i设z 1 iA.2.【好题】数学高考模拟试卷（及答案）2i ,则 |z|r 1B.一2已知长方体的长、宽、高分别是3, 4,的表面积是（A. 25B. 50C. 1D.125,且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球C. 125D.都不对rx13. 乂23是3 ixix26 八，成立的（）X1X2A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件4.已知集合P-1<xQ=A. (-1,2 )什r sin A5.右满足aB.cosBb(0, 1)cosC,则cC.(-1,0)D. (1,2)A.等边三角形ABC 为（B.有一个内角为C.等腰直角三角形

2、6.设i为虚数单位，则（x+i）6的展开式中含A. 15x4B. 15x4D.有一个内角为x4的项为（）C. 20ix4300的直角三角形30。的等腰三角形D. 20ix47.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（A. 20种B. 30 种C 40种D. 60 种8.如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A.B.C.1112D.25249.卜列四个命题中，正确命题的个数为（）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合;两条直线一定可以确定一个平面;空间中，相交于同一点的三直线

3、在同一平面内.A. 1B. 2C.D. 410.下列各组函数是同一函数的是（2x3x xj 2x ；xj 2x f x x 与f xx0与g2x 1与g t2t2 2t 1 .A.11.在4ABC 中,B.P是BC边中点，角B、C的对边分别是 外瓦。，若,则 ABC的形状为（）A.B.C.D.直角三角形钝角三角形等边三角形等腰三角形但不是等边三角形12.某校现有高一学生 210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7,那么从高三学生中抽取的人数为（A. 7二、填空题B. 8C. 9D. 1013

4、.已知椭圆1的左焦点为F ,点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段 PF的中点在以原点。为圆心,OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是2x y 42y的最小值是14 .已知实数x, y满足x 2y 4,则z 3x y 015 .设复数z 1 i（i虚数单位），z的共轲复数为16 .记Sn为数列an的前n项和，若Sn 24 1 ,则017 .已知四棱锥S ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于 .正视图侧视图18.如图，已知P是半径为2,圆心角为，的一段圆弧AB上一点,媪2bC，则的最小值为V19.三个数成等差数列，其比为 个数是3:4:5,又最小数加上1后

5、，三个数成等比数列，那么原三20.sin 50'“3tan10；解答题21.已知2x256 且 log 2 x1x Jx,求函数 f(x) log 2 log -2的取大值和取小值.22.已知椭圆(1)求椭圆22x yC : -21a bC的标准方程；a b 0的一个焦点为J5,0 ,离心率为 3(2)若动点P x0,y0为椭圆外一点，且点 p到椭圆C的两条切线相互垂直，求点 p的轨迹方程.23.已知fax1.(1)当 a1时,求不等式fx 1的解集;0,1时不等式fx x成立，求a的取值范围.24.如图，在三棱柱 ABC AB1cl中，H是正方形 AABB的中心，AA 2J2 , C

6、iH 平面 AA1B1B,且 C1H 套.(I )求异面直线 AC与A1B1所成角的余弦值；(n )求二面角 A ACi Bi的正弦值；(出)设N为棱B1cl的中点，点 M在平面AA1B1B内，且MN 平面A1B1c1 ,求线段BM的长.25.随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下：用户编号评分用户编号评分用户编号评分用户编号评分17811882179319327312862283327838113952372337549214762474348159515972

7、59135846851678266636777791788278037818841882288338769631976297439851086208930824089用系统抽样法从40名用户中抽取容量为 10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.(1)请你列出抽到的10个样本的评分数据；(2)计算所抽到的10个样本的均值X和方差s2；(3)在(2)条件下，若用户的满意度评分在X S,X S之间，则满意度等级为“ A级”。试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“ A级”的用户所占的百分比是多少？(参考数据：底 5.48, J33 5,74,735 5.

8、92)26.已知 a 0,b 0.求证:22(2)若 a b,且 ab 2 ,求证：a 4 .a b【参考答案】*试卷处理标记,请不要删除一、选择题1. C解析：C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轲复数，化简复数z,然后求解复数的模.1 i1i1i详解：z 2i 2i2 i1i1ii 2i i ,则z 1,故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚 部的理解，掌握纯虚数、共辗复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分 母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出 错，造成不必要的

9、失分.2. B解析：B【解析】【分析】225根据长万体的对角线长等于其外接球的直径，求得R2 一，再由球的表面积公式，即可2求解.【详解】设球的半径为R,根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得225.2252R J324252，斛得R 金，所以球的表面积为 S球4 R 4 50 .故选：B【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长 方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求 解能力，属于基础题.3. A解析：A【解析】x1 3x1 x2 6试题分析：因为,所以充分性成立;x2 3x1x2 93不满足13,必要

10、性不成立，所以选 A.考点：充要关系x213x x2 6满足，但1x1x2 94. A解析：A【解析】利用数轴，取P,Q所有元素，得PjQ ( 1,2).【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理.5. C解析：C由正弦定理结合条件可得 形状.tanB tanC 1 ,从而得三角形的三个内角，进而得三角形的sin A由正弦定理可知snAasin B sin Csin A cosBcosC，又b c a b c所以 cosBsin B,cosCsin C,有tan BtanC1 .所以 B C45：.所以 A180：45：451'90'

11、;；.所以 ABC为等腰直角三角形.故选C.本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题6. A解析：A【解析】试题分析：二项式(*+1厂的展开式的通项为?，令6-r = 4,则故 展开式中含,4的项为clxi2=- 15x故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题 .一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.二项 式可以写为|。+幻*,则其通项为a/ rxr,则含的项为分6= 15/7. A解析：A【解析】【分析】【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论

12、，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案.解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法，甲在星期二有 A 32=6种安排方法，甲在星期三有A 22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A .8. C解析：C【解析】,“,11111由算法流程图知s= 0+ 11111 .选C.246129. A解析：A【解析】【分析】【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若MC% M 3, “n。则MC

13、,故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的 3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A .10. C解析：C【解析】【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可【详解】中f x J 2x3的定义域为,0 , f x x/_2X的定义域也是,0，但f x 2 2x3xj_27与f xx/-2x对应关系不一致，所以不是同一函数；中f x x与g x Jx2定义域都是R彳I g x & |x与f x x对应关系不 一致，所以不是同一函数；010.1中f x x与g x F定义域都是 x|x 0 ,且f x x 1 ,

14、g x o 1对 xx应关系一致，所以是同一函数；中f x x2 2x 1与g t t2 2t 1定义域和对应关系都一致，所以是同一函数故选C【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型11. C解析：C【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得bBP = aPA - cAC = bPC;a> 仁>j.PC=-PA-AC; . b b',PC = PA + AC ;根据共面向量基本定理得:.ABC为等边三角形。故答案为：等边三角形。12. D解析：D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,所以从高二年级应抽取 9人，从高

15、三年级应抽取10人.考点：本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可二、填空题13.【解析】【分析】结合图形可以发现利用三角形中位线定理将线段长度用 坐标表示成圆的方程与椭圆方程联立可进一步求解利用焦半径及三角形中位线 定理则更为简洁【详解】方法1：由题意可知由中位线定理可得设可得联立 解析：,15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁【详解】方法1：由题意可知|OF|=|OM |= c= 2,16,由中位线定理可得 PFi 2|

16、OM| 4,设P（x,y）可得（x 2）2 y222联立方程土 y_95一 3可解得x-,x23 <15求得P ,22121 .，-（舍），点P在椭圆上且在x轴的上万,215方法2：焦半径公式应用，所以 kPF -1- 15解析1：由题意可知|OF |=|OM |= c= 2,由中位线定理可得 PF1210M | 4,即a exp 4 xp15315LL ,9求得 P 一， ,所以 kPF 一2 J15.2 21【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思 想，是解答解析几何问题的重要途径 .14. 6【解析】【分析】画出不等式组表示的可行域由可

17、得平移直线结合图形可 得最优解于是可得所求最小值【详解】画出不等式组表示的可行域如图中阴影 部分所示由可得平移直线结合图形可得当直线经过可行域内的点A时直线解析：6【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，由 z 3x 2y可得y 3x三，平移直线y 3x z ,结2222合图形可得最优解，于是可得所求最小值.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示.由 z 3x 2y 可得 y 3x -.22平移直线y 3x -,结合图形可得，当直线 y -x2经过可行域内的点 A时，直线2222在y轴上的截距最大，此时 z取得最小值.由题意得A点坐标为(2,0), Zmin 3 2 6,即z

18、 3x 2 y的最小值是6.故答案为6.【点睛】求目标函数z ax by(ab 0)的最值时，可将函数 z ax by转化为直线的斜截式：azz .y x 一,通过求直线的纵截距 一的取值间接求出 z的取值.斛题时要汪息：当bbbb 0时，截距-取最大彳1时，z也取最大值；截距 且取最小值时，z也取最小值；当bbb 0时，截距孑取最大值时，z取最小值；截距 *取最小值时，z取最大值. bb15.【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公 式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共腕复数的概念 与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和解析：10【

19、解析】分析：由z 1 i ,可得Z 1 i，代入1 z z ,利用复数乘法运算法则整理后，直 接利用求模公式求解即可.详解：因为z 1 i ,所以z 1 i，1 z z|1 1 i 1 i 2 i 1 i3 i| 9T 氏,故答案为国.点睛：本题主要考查的是共轲复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题.解题时一定要注意i21和a bi c di ac bd ad bc i16.【解析】【分析】首先根据题中所给的类比着写出两式相减整理得到从而 确定出数列为等比数列再令结合的关系求得之后应用等比数列的求和公式求得 的值【详解】根据可得两式相减得即当时解得所以数列是以 -1为首项以2 解析：

20、63【解析】【分析】首先根据题中所给的Sn 2an 1 ,类比着写出Sn 1 220 1 1 ,两式相减，整理得到an 1 2an,从而确定出数列 an为等比数列，再令 n 1,结合a1，Si的关系，求得a11,之后应用等比数列的求和公式求得S6的值.【详解】根据 Sn 2an 1 ,可得 Sn 1 221 1 ,两式相减得an 1 2an 1 2an,即an 1 2an,当 n 1 时，S1 aI 2a1 1,解得 a11 ,所以数列 an是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 6所以S6(1 2 )63,故答案是 63.1 2点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用

21、题中的条件，类 比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等 比数列，之后令 n 1 ,求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明 确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果17 .【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作 相应面的垂线交于。即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求 得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析:1015【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB的外心分别作相应面的垂线交于O,即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即

22、可求得表面积.【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB 平面ABCD ,连接AC,BD交于E,过E作面ABCD勺垂线与过三角形 ABS的外心作面ABS的垂线交于 0,即为球心连接 AO即为半径,令r1为 SAB外接圆半径，在三角形SAB中，SA=SB=3,AB=4,则cos SBAsin SBA可得R2 r1吏2r 3OF2,399FBA TT 'r1 而又0F=AD231,计算得,R281 12010120所以S故答案为101本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心,属于较难题.18 . 5 -【解析】【分析】设圆心为OA点

23、为D先求出再求PM的最小值得解【 详解】设圆心为OABfr点为D由题得取AC点M由题得两方程平方相减得要使取 最小值就是PM最小当圆弧AB的圆心与点PM共线时PM最解析：5- 2 13设圆心为O,AB中点为D,先求出 pC pA pM2 1 aC2 pM2 9一,再求PM的最小4值得解.【详解】设圆心为O,AB中点为D,由题得AB 22 sin 2, AC6取AC中点M ,由题得PC PA两方程平方相减得 pC PA PM2要使PC PA1AC24i29PM1 一 ,4取最小值，就是 PM最小,当圆弧AB的圆心与点P、M共线时,PM最小.此时 DM= 1, dm ,；(1)2. 322, 2,

24、132所以PM有最小值为2 -代入求得PC PA132的最小值为5 - 2而.故答案为5- 2 .13【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查平面向量的数量积及其最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19 . 2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数： 152025解析：20 25【解析】设这三个数： %、4以、5a （* n 0 ）,则%e、4白、5s成等比数列，则=（充（+1）乂S=5或* =。（舍），则原三个数：15、20、2520 .【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出然后利用辅助角二倍角正弦 以及诱导公式可计算出结果【详解】原式故答

25、案为：【点睛】本题考查利用三角包等变换思想求非特殊角的三角函数值在计算时要结合角之间的关系选择解析：1【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出sin 50： 1 V3tani0sin 50竺10备sin10 ,然后cosi 0利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果【详解】2sin 10, 30、sin50； 2sin 40 cos40cos10，cos10'原式/ cos10，、3sin10 , sin50，cos10，sin80，sin 90 10 cos10n n 1.cos10，cos10，cos10故答案为：1.【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值

26、，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题 三、解答题21 最小值为 一，最大值为2.4【解析】【分析】1 .一.一一由已知条件化简得一 log2x 3,然后化简f x求出函数的最值2【详解】一.八 1.一由 2x 256 得 x 8, log2x 3 即一 log2x 32231f xlog 2x 1log 2x 2 log 2x .24一3一1当 Iog2x-,fx min 当log2x3, f x max 2.24【点睛】 熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为 基础.2222. (1) y- 1； (2) x2

27、y2 13.【分析】 【详解】试题分析：(1)利用题中条件求出 c的值，然后根据离心率求出 a的值，最后根据a、 b、c三者的关系求出b的值，从而确定椭圆 C的标准方程；(2)分两种情况进行计算： 第一种是在从点 P所引的两条切线的斜率都存在的前提下，设两条切线的斜率分别为K、k2,并由两条切线的垂直关系得到1卜21,并设从点P Xo,yo所引的直线方程为y k x xoyo,将此直线的方程与椭圆的方程联立得到关于x的一元二次方程，利用0得到有关k的一元二次方程，最后利用kik21以及韦达定理得到点P的轨迹方程；第二种情况是两条切线与坐标轴垂直的情况下求出点P的坐标，并验证点 P是否在第一种情

28、况下所得到的轨迹上，从而得到点p的轨迹方程.(1)由题意知Y5 匹 a 3,且有小丁二石，即m2千解得a 3b 2,22因此椭圆C的标准方程为 工匕 1；94(2)设从点P所引的直线的方程为 y yo k x xo ,即y kx yo kxo ,当从点p所引的椭圆C的两条切线的斜率都存在时，分别设为将直线y kx yo kxo的方程代入椭圆C的方程并化简得229k 4 x 18k yo2kxo x 9 yo kxo36 o ,2218k yoo,kxo4 9k2 4 9 yo kxo362222化间得 yo kxo9k 4 o,即 x09k2kx0yo则k1、k2是关于k的一元二次方程22xo

29、 9 k 2kxo yo2yo 4 o的两根，则k1k2y2 4x2 9化简得x2 y2 13；,此时点P也在圆当从点P所引的两条切线均与坐标轴垂直，则P的坐标为3, 222x y 13上.综上所述，点P的轨迹方程为x2 y2 13.考点：本题以椭圆为载体，考查直线与圆锥曲线的位置关系以及动点的轨迹方程，将直线 与二次曲线的公共点的个数利用的符号来进行转化，计算量较大，从中也涉及了方程思想的灵活应用.23. (1) x【解析】,利用零点分段将解析式化分析：(1)将a 1代入函数解析式，求得 f x2,x1,f x 1的解集为f x 2x, 1 x 1,然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 2

30、,x 1.f x x可以化为(2)根据题中所给的x 0,1 ,其中一个绝对值符号可以去掉，不等式 x 0,1时ax 1 1 ,分情况讨论即可求得结果.2,x1,详解：（1）当 a 1时，f x x 1 x 1 ,即 f x 2x, 1 x 1,2,x 1.故不等式f x 1的解集为 x x .，2(2)当x 0,1时x 1 ax 1x成立等价于当x 0,1时ax 1 1成立.若a 0,则当x 0,1时ax 1 1 ；八 -,22若a 0, ax 1 1的解集为0 x ,所以一1,故0 a 2 .a a综上，a的取值范围为 0,2点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在

31、某个区间上恒 成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函 数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应 用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果24. ( I)也；(n)3/5 ；(出)21°374【解析】|计算即|cos(I )以B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BB1所在直线为y轴，建立坐标系，设异 面直线AC与AB所成角为，算出aC, A1B1,再利用cosn ,再利用向量的夹角公式(n)分别求出平面 AAC1的法向量*与平面B1AC1的法向量 算得cos m, n即可；（出）设

32、 M （a,b,0）,由 MN平面A1B1C1 ,得0,进一步得到M的坐0标，再由模长公式计算 BM的长.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，其中点B为坐标原点，BA所在直线为x轴，BBi所在 直线为y轴, 由题意,（i）AC（ v2,隹佝,AB（272,0,0）,42B（0,0,0）, A（2,2,0,0）, c（、.2, 2, 5）,A（2 .2,2 .2,0）, Bi（0,2、2,0）, g（ ,2,、.2、.5）所以 cos AC, AB1设异面直线AC与AB所成角为则cos| cos AC,AB1 | -2 ，32所以异面直线AC与ABi所成角的余弦值为（n ）易知 AA1 （0,2瓶,0）,ac1设平面AA|C1的法向量m （x, y, z）,AC1 0 口口 :2x、2y 5z 0器，即 L，AA1 02.2y 0令x 后，则z72,所以舄（75,0,衣,同理，设平面BiACi的法向量n （x, y,z）,AC1 0 口3、. 2x 2y 5z 0