菱形性质的运用

1、    菱形性质的运用    卢定波菱形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的所有性质.另外,菱形还具有特别的性质:菱形的四条边都相等,对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.例1(2008年·宜宾)如图1,菱形abcd中,ef分别是bccd上的点,且be = df.求证:ae = af.证明:由“菱形的四条边都相等”可知ab = ad.由“菱形对角相等”可得b = d.再由已知be = df,运用sas可判定abeadf.从而可证明ae = af.点评:解本题主要运用了菱形的四条边都相等和对角相等的性质,并结合全等三角形来证明线段相等.也可

2、连接ac,由sas证aecafc.例2(2008年·广州)如图2,在菱形abcd中,dab =60°.过点 c作ceac,且与ab的延长线交于点e.求证:ad = ce.证明:由于ac为菱形的对角线,可知cab = dac = 30°.因为ceac,所以e = 60°.由adbc,可知cbe = dab = 60° = e,所以bc = ce.再由ad = bc,从而可得ad = ce.点评:本题还可连接bd,由bdac知bdce.易知四边形bdce为平行四边形.ad = bd = ce.例3(2007年·嘉兴)如图3,在菱形abcd

3、中,不一定成立的是().a. 四边形abcd是平行四边形 b. acbdc. abd是等边三角形d. cab = cad解析:由菱形的定义,可知菱形也是平行四边形,故选项a是正确的.由“菱形的对角线互相垂直”,可知选项b是正确的.由“菱形的对角线平分一组对角”,可知选项d也是正确的.由“菱形的四条边都相等”可知, abd是等腰三角形,但对角线bd与菱形的四条边不一定相等,因此abd不一定是等边三角形.只有当bd与菱形的边相等时, abd才是等边三角形.因此,选项c不一定成立.点评:本题要求同学们能够熟练地将“文字语言”(定义性质等)结合具体的图形转化为“几何语言”.例4如图4,菱形abcd的周

4、长为40,点 o是两条对角线acbd的交点,且ac bd = 3 4.求ac和bd的长.解析:由“菱形的四条边都相等”,可知ab =× 40 = 10.根据“菱形的对角线互相垂直平分”,可得aob = 90°,oa = ac, ob=bd.因ac bd = 3 4,所以有oa ob = 3 4.不妨设oa= 3x,则ob = 4x.在rtoab中,由勾股定理,可知oa2 + ob2 = ab2,即(3x)2 + (4x)2 = 102,解得x = 2.因此oa = 3x = 6, ob = 4x = 8,所以ac = 2oa = 12,bd = 2ob = 16.点评:求菱

5、形的边长或对角线长的问题,都是利用菱形的性质,在由边长和两条对角线的一半组成的直角三角形中,运用直角三角形的性质(如30°角所对的边长是斜边长的一半)或勾股定理求解的.例5(2008年·大连)如图5,菱形abcd和菱形qmnp中,nmq= abc,点m是菱形abcd的对角线acbd的交点, mn交ad于点f,mq交ab于点e.试探究me与 mf有何关系.请说明你的理由.解析: me =mf.理由如下.过点m分别作mhab于点h,mrad于点r,如图6.由“菱形的对角线平分一组对角”,可知点m在bad的平分线上.又因为mhab, mrad,可得mh = mr.又hme + emr = hmr = abc(想想为什么),rmf+emr = nmq = abc,所以hme = rmf.根据asa可判定hme rmf,所以me = mf.点评:本题是一道结论探究题,运用了“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”等相关知识,是一道综合性较强的好题.菱形的性质较多,在解题中,要根据解题的需