人教版八年级数学上《三角形的外角》拓展练习

1、三角形的外角拓展练习、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1 . （5分）如图，把一个含 30°角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果/ 1 =第1页（共18页）A. 20°B , 50°C. 60°D. 702. （5分）下列图形中能够说明/1>/2的是（ ）3. （5分）三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形4. （5分）如图所示，11/12,则下列式子中值为180°的是（）D.无法确定）A . a+ 3+ YC. 3+ Y- a的度数为（）A . 60°5. （5

2、分）一副透明的三角板,如图叠放，直角三角板的斜边 AB、CE相交于点D,则/BDCB . 75°C. 80°D. 85、填空题（本大题共5小题，共25.0分）（5分）如图，D是线段AC上一点，连BD,用不等号“V”表示/ A, / 1的大小关系6./ ABD = 120° ,则/ ACE =BP的交点，则 AP的长为/C=90° , AC=3, BC=4, P 是 4ABC 的外角平分线 AP、9.（5分）如图，P为AABC中BC边的延长线上一点，/ A=48° , / B=64,则/ ACP10. （5分） ABC的一个内角大小是 40

3、76; , / A=/ B,那么/ C外角大小是 .三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我们不妨 把这样图形叫做“规形图”，（1）观察“规形图”，试探究/ BDC与/ A、/ B、/ C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图2,把一块三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ恰好经 过点 B、C, /A = 40° ,则/ ABX+/ACX=° ;如图 3, DC 平分/ ADB, EC 平分/ AEB,若/ DAE = 40°

4、; , /DBE = 130° ,求/ DCE 的度数；如图4, / ABD, Z ACD的10等分线相交于点 Gi、G2、G9,若/ BDC= 133° , / BG1C=70° ,求/ A的度数.第#页（共18页）12. (10分)直线MN与直线PQ垂直相交于。，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动.(1)如图1,已知AE、BE分别是/ BAO和/ ABO角的平分线，点 A、B在运动的过程中，/ AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出/ AEB的大小.(2)如图2,已知AB不平行 CD, AD、BC分别是/ BAP

5、和/ ABM的角平分线，又DE、CE分别是/ ADC和/BCD的角平分线，点 A、B在运动的过程中，/ CED的大小是否 会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.(3)如图3,延长BA至G,已知/ BAO、/ OAG的角平分线与/ BOQ的角平分线及延长线相交于E、F,在4AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出/ ABO的度数=.13. （10 分）已知如图/ B=Z C, /1 = /2, Z BAD = 40°，求/ EDC 度数.14. （10分）如图， ABC中，AD是BC上的高，AE平分/BAC, / B= 75,/C = 45求/ DAE与

6、/ AEC的度数.A、B、C、P中任意三点都不在同一直线15. （10分）已知 ABC, P是平面内任意一点上）.连接 PB、PC,设/ PBA=x° , / PCA=y° , / BPC = m° , / BAC=n（1）如图，当点P在4ABC内时,若 n=80, x=10, y=20,则 m=探究x、v、m、n之间的数量关系，并证明你得到的结论.应的图形.（2）当点P在 ABC外时，直接写出x、v、m、n之间所有可能的数量关系，并画出相第7页（共18页）三角形的外角拓展练习参考答案与试题解析、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. （5分）如图，把一个含

7、30°角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果/ 1 =C. 60°D. 70【分析】根据三角形的外角性质得出/2 = /A+/1,代入求出即可.【解答】解:/2 = /A+/1 = 30° +20° = 50故选：B.【点评】本题考查了三角形的外角性质，能根据三角形的外角性质得出/2=/A+/1是解此题的关键.2. （5分）下列图形中能够说明/ 1>/2的是（ ）【分析】根据三角形外角的性质逐个判断即可.【解答】解：A、/ 1 = /2,故本选项不符合题意;B、/ 1>/ 2,故本选项符合题意;C、/ 1和/ 2的大小不能确定，故本选

8、项不符合题意;D、/ 1和/ 2的大小不能确定，故本选项不符合题意;【点评】本题考查了三角形的外角性质，能熟记三角形的外角性质的内容是解此题的关 键，注意：三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.3. （5分）三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定【分析】三角形的一个外角是锐角，根据邻补角的定义可得它相邻的内角为钝角，即可 判断三角形的形状是钝角三角形.【解答】解：,三角形的一个外角是锐角，与它相邻的内角为钝角，.三角形的形状是钝角三角形.故选：B.【点评】本题考查了三角形的一个内角与它相邻的外角互补.4. （5分）如图所示，1

9、1/12,则下列式子中值为 180°的是（）A . a+ 3+ YB - a+ 3- Y【分析】本题考查二角形内角与外角的关系，C. 3+丫 aD. a一附丫根据平行线的性质得知，内错角相等，同旁内角互补，可以计算出a+3- 丫的值为180° .【解答】解：由题可知a= 180° - 3+丫，所以有180° -丫= 180° .故选 B.【点评】本题考查二角形内角与外角的关系，平行线的性质.5. （5分）一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边 的度数为（）aA. 60°B . 75°C. 80°【分析】根据三

10、角形的外角的性质计算，得到答案.第6页（共18页）a+ y+180 3= 180 ，即 a+ 3AB、CE相交十点 D,则/BDCD. 85°【解答】 解：/ GFA=90° , Z A= 45 ./ CGD = 45° , ./ BDC = / CGD+/C=75° ,故选：B.【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）如图，D是线段AC上一点，连BD,用不等号“V”表示/ A, / 1的大小关系【分析】根据三角形外角的性质得出即可.【解答

11、】解：.一/ 1是4ABD的一个外角， / Av / 1,故答案为：/ Av / 1.【点评】本题考查了三角形的外角的性质，能熟记三角形外角的性质的内容是解此题的 关键，注意：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角.7. （5 分）如图，若/ A = 75° , / ABD = 120° ,则/ ACE=135°.【分析】根据三角形的外角性质求出/ ACB,再求出/ ACE即可.【解答】解：.一/ A=75° , Z ABD = 120° ,/ ACD = / ABD / A= 45./ACE=180° - Z ACB= 135

12、° ,故答案为：135°【点评】本题考查了三角形的外角的性质，能熟记三角形外角的性质的内容是解此题的 关键，注意：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角.8.（5 分）如图， ABC 中，Z 0=90° , AC=3, BC= 4, P 是 ABC 的外角平分线 AP、BP的交点，则 AP的长为 3Vl【分析】 作PDLAC于D, PHXAB于H, PEL CB于E,如图,先计算出 AB = 5,设AD = x, BE=y,利用角平分线的性质得 PD = PH, PE=PH,所以PD=PE,则可判定四边形PECD为正方形，利用CD = CE得到y=x-1,接

13、着利用易得AD = AH = x, BH = BE=y得到x+y=5,然后求出x后利用勾股定理计算 PA的长.【解答】 解：作PDLAC于D, PHLAB于H, PELCB于E,如图,在 RtAABC 中，AB=F2=5设 AD = x, BE = y, P是 ABC的外角平分线 AP、BP的交点,PD = PH, PE = PH,PD = PE,四边形PECD为正方形,.CD = CE,即 3+x= 4+y,y= x- 1,易得 AD=AH = x, BH = BE=y,x+y= 5,x+x- 1 =5,解得 x= 3,DP = DC = 3+3 = 6,在 RtAPAD 中，PA=32 +

14、 62=3-故答案为3席.【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，灵活运用利用角平分线的性质是解决本题的关键.9. （5分）如图，P为4ABC中BC边的延长线上一点，/ A= 48° , / B = 64,则/ ACP =112°.【分析】利用三角形外角与内角的关系解答即可.【解答】解：.一/ A=48° , / B = 64° ,. /ACP=/ A+/B = 48° +64° =112° ,故答案为：112°【点评】本题解题的关键是熟记三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于和它不 相邻的两个内角的和.10.

15、 （5分） ABC的一个内角大小是 40° , /A=/ B,那么/ C外角大小是80°或140°【分析】分两种情况进行分析，从而确定/C的外角的大小.【解答】解：若/A=40° ,则/ B = 40° , / C=100° , / C的外角为80° .若/C = 40° ,则/ C的外角为140° .故答案为80°或140° .【点评】此题主要考查三角形的外角性质及三角形内角和定理的综合运用.三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）探究与发现：如图1所示的图形，像

16、我们常见的学习用品-圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”（1）观察“规形图”，试探究/ BDC与/ A、/ B、/ C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：如图2,把一块三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的两条直角边 XY、XZ恰好经 过点 B、C, /A = 40° ,则/ ABX+/ACX=50 ° ;如图 3, DC 平分/ ADB, EC 平分/ AEB,若/ DAE = 40° , /DBE = 130° ,求/ DCE 的度数；如图4, / ABD, /ACD的10等分线相交于点 G1、G2、G9,若/

17、 BDC= 133° , / BG1C=70° ,求/ A的度数.【分析】（1）首先连接AD并延长至点F,然后根据外角的性质，即可判断出/BDC = ZA+/B+/C.(2)由(1)可得/ ABX+/ACX+/A=/ BXC,然后根据/ A=40° , /BXC = 90° ,求出/ ABX+/ACX的值是多少即可.由（1）可得/ DBE = Z DAE + Z ADB+ Z AEB,再根据/ DAE = 40° , / DBE = 130° , 求出/ ADB+/AEB的值是多少；然后根据/ DCE =y （/ADB + /AEB）

18、 + Z DAE ,求出 / DCE的度数是多少即可. 根据/ BG1C = yjy （/ ABD+Z ACD） +ZA, Z BG1C=70°，设/ A 为 x° ,可得/ ABD+ZACD = 133° - x ,解方程，求出 x的值，即可判断出/ A的度数是多少.【解答】解：（1）如图（1）,连接AD并延长至点F,第11页（共18页）根据外角的性质，可得/ BDF = / BAD + /B, Z CDF =Z C+Z CAD,又. / BDC =Z BDF + /CDF, / BAC = Z BAD+ /CAD, ./ BDC = Z A+ / B+ /C;

19、(2)由(1),可得/ ABX+/ ACX+/ A= / BXC, . / A=40° , / BXC=90° , .Z ABX+Z ACX=90° -40° =50° ,故答案为：50.由(1),可得/ DBE = / DAE + ZADB + Z AEB, .Z ADB+Z AEB=Z DBE - Z DAE = 130° -40° = 90(/ADB+/AEB) =90° +2 = 45° ,2DCE = -i- (/ADB+/AEB) + / DAE= 45° +40°= 85

20、° ; / BG1C=* (/ABD+/ACD) +/A, . / BG1C=70° , 设/ A 为 x。， . / ABD+Z ACD= 133° x -L (133-x) +x= 70,1013.3-Lx+x=70,10解得x=63,即/A的度数为63° .【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质 是解答此题的关键.12. (10分)直线MN与直线PQ垂直相交于。，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN 上运动.(1)如图1,已知AE、BE分别是/ BAO和/ ABO角的平分线，点 A、B在运动的过程 中，/ AE

21、B的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化， 试求出/ AEB的大小.(2)如图2,已知AB不平行 CD, AD、BC分别是/ BAP和/ ABM的角平分线，又DE、 CE分别是/ ADC和/BCD的角平分线，点 A、B在运动的过程中，/ CED的大小是否 会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.(3)如图3,延长BA至G,已知/ BAO、/ OAG的角平分线与/ BOQ的角平分线及延长线相交于E、F,在4AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，直接写出/ ABO的度数=60° 或 45°.S 1 M图 2 JF 图 3【分析】

22、(1)根据直线MN与直线PQ垂直相交于。可知/ AOB= 90° ,再由AE、BE 分别是/ BAO和/ABO的角平分线得出/ BAE =y Z OAB , Z ABE=-i-Z ABO,由三角 形内角和定理即可得出结论；(2)延长AD、BC交于点F,根据直线MN与直线PQ垂直相交于。可得出/ AOB=90° , 进而得出/ OAB+Z OBA = 90° ,故/ PAB+Z MBA = 270° ,再由 AD、BC 分别是/ BAP第13页(共18页)和/ABM 的角平分线，可知/ BAD =-Lz BAP, Z ABC =-L Z ABM ,由三角形

23、内角和定 22理可知/ F = 45° ,再根据 DE、CE分别是/ ADC和/ BCD的角平分线可知/ CDE+ZDCE = 112.5° ,进而得出结论；(3)由/ BAO与/ BOQ的角平分线相交于 E可知/ EAO=L/BAO, /EOQ=L/ 22BOQ,进而得出/ E的度数，由AE、AF分别是/ BAO和/ OAG的角平分线可知/ EAF= 90。，在 AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论.【解答】解：(1) /AEB的大小不变， 直线MN与直线PQ垂直相交于 O, ./ AOB=90° , ./ OAB+/OBA = 90

24、6; , .AE、BE分别是/ BAO和/ ABO角的平分线， ./ BAE = * OAB, Z ABE=1-Z ABO, ./ BAE+/ABE = L (/ OAB + /ABO) =45。,2 ./ AEB=135° ;(2) / CED的大小不变.延长AD、BC交于点F. 直线MN与直线PQ垂直相交于 O, ./ AOB=90° , .Z OAB+Z OBA = 90° , ./ PAB+Z MBA=270° , AD、BC分别是/ BAP和/ ABM的角平分线， ./ BAD = /BAP, Z ABC = Z ABM, .Z BAD+ZAB

25、C = (Z PAB+ZABM) =135° , 2 ./ F = 45° , ./ FDC+Z FCD= 135° , ./ CDA+Z DCB= 225° ,.DE、CE分别是/ ADC和/ BCD的角平分线，第13页(共18页)第17页（共18页）CDE+/ DCE= 112.5E=67.5° ;(3) / BAO与/ BOQ的角平分线相交于 E, .Z EAO = ZBAO, Z EOQ=Z BOQ, 22 ./ E=Z EOQ - / EAO = J- (/ BOQ - / BAO) /ABO,AE、AF分别是/ BAO和/ OAG的

26、角平分线， ./ EAF = 90°在 AEF中， 有一个角是另一个角的3倍，故有： /EAF = 3/E, /E=30° , /ABO=60° ; /EAF = 3/F, /E=60° , /ABO=120° ; /F = 3/E, Z E = 22.5° , Z ABO = 45° ; /E = 3/F, Z E = 67.5° , / ABO = 135° . / ABO 为 60° 或 45 ° .故答案为：60°或45° .13【点评】本题考查的是三角形内

27、角和定理，熟知三角形内角和是 1800是解答此题的关键.(10 分)已知如图/ B=Z C, /1 = /2, Z BAD = 40°，求/ EDC 度数.【分析】首先在 ABD中，由三角形的外角性质得到/ EDC + Z 1=Z B+40 ° ,同理可得到/2=/EDC+/C,联立两个式子，结合/ B = /C, /1 = / 2的已知条件，即可求出/ EDC的度数.【解答】解：4ABD中，由三角形的外角性质知：/ADC = / B+/BAD,即/ EDC + /1 = / B+40 ° ;同理，得：/ 2= / EDC + Z C,已知/ 1 = 7 2, /

28、 B = Z C, ./ 1 = / EDC+Z B,代入得：2Z EDC+Z B=Z B+40° ,即/ EDC = 20° .【点评】此题主要考查的是三角形的外角性质，理清图形中各角之间的关系是解题的关键.14. （10 分）如图， ABC 中，AD 是 BC 上的高，AE 平分/ BAC, / B= 75 ° , /C = 45 求/ DAE与/ AEC的度数.B D E C【分析】由/ B= 75° , / C=45° ,利用三角形内角和求出/ BAC.又AE平分/ BAC, 求出/ BAE、/ CAE,再利用AD是BC上的高在 ABD

29、中求出/ BAD ,此时就可以求出 /DAE.最后利用三角形的外角和内角的关系可以求出/AEC.【解答】解：方法1:. Z B+Z C+Z BAC= 180° , / B= 75° , /C=45° , ./ BAC=60° ,/BAC=Ix 60° = 30° , AE 平分/ BAC, ./ BAE=Z CAE=A 2.AD是BC上的高，.B+Z BAD = 90° , ./ BAD = 90° - Z B = 90° 75° = 15° ,Z DAE = Z BAE - Z BAD = 30 ° - 15° = 15° ,在 AEC 中，/AEC=180° - Z C - Z CAE= 180° 45° 30° = 105方法2:同方法1,得出/ BAC = 60°. AE 平分/ BAC, ./ EAC=/BACX60° =30° . 22.AD是BC上的高，. / C+/ CAD = 90° , ./ CAD =90° - 45