人教版八年级数学下《矩形》拓展练习

1、矩形拓展练习、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. （5分）如图，点D在4ABC边延长线上，点。是边AC上一个动点，过 作直线EF / BC,交/ BCA的平分线于点F,交/ BCA的外角平分线于E.点O在线段AC上移动（不与点A,C重合）时，下列结论不一定成立的是（A. 2/ACE=/BAC+/BB. EF = 2OCC. /FCE = 90°D.四边形AFCE是矩形第5页（共26页）2. （5分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1,3）,则AC的长是（C0A. 3B, 272D. 4C. 3/24. （5分）如图，在矩形 ABCD中，/ BAD的平分线交 长线于点F,

2、取EF的中点G,连接CG, BG, BDD. 672-63. （5分）如图，在矩形ABCD中，AB = 6, BC = &/,点E是边BC上一动点,B关于AE的对称点为B',过B'作B' FLDC于F,连接DB ',若4 DB'BC于点E,交DC的延DG,下列结论：BE= CD; /DGF = 135° ; / ABG+/ADG = 180BDG=13SaDGF.其中所有正确的结论是（D3A.B.C.5. （5分）如图，矩形ABCD由3X4个小正方形组成,此图中不是正方形的矩C. 38个D. 40个、填空题（本大题共5小题，共25.0分

3、）6. （5分）如图，矩形ABCD的顶点A、C在平面直角坐标系的坐标轴上，AB=4, CB = 3,点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段DA、AC上的动 点（点E不与A、D重合），且/CEF=/ACB,若AEFC为等腰三角形，则点E的坐标为玉口 X UA7. （5 分）如图，在 ABC 中，/C = 90° , AC=8, BC=6, P 是 AB 边上的一 个动点（异于A、B两点）,过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、*8. （5分）如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, BC = 4%/5,对角线AC、BD相交于点O,现将一个直角三角板 OEF的直角顶点与O重合

4、，再绕着。点转动三 角板，并过点D作DHLOF于点H,连接AH.在转动的过程中，AH的最小9. （5分）如图，在矩形ABCD中,BC=6AB, / ADC的平分线交边BC于点*8E,AH，DE于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于点O,则风的值是AE10. （5分）如图，在矩形 ABCD中，/B的平分线BE与AD交于点E, /BED 的平分线EF与DC交于点F,当点F是CD的中点时，若 AB = 4,则BC三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11. （10分）如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A, C两点 的坐标分别为（3, 0）, （0, 5）,点B在第

5、一象限内.（1）写出点B的坐标；（2）若过点C的直线CD交AB边于点D,且把长方形OABC的周长分为3: 1两部分，求点D的坐标；(3)若过点C的直线CE交AB边于点E,且把长方形OABC的面积分为2: 1 两部分，求点E的坐标.C0 A X12. (10分)如图，在长方形 ABCD中，AB: BC = 3: 4, AC = 5,点P从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿 ABC边A-B-C-A的方向运动，运动 时间为t秒.(1)求AB与BC的长；(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的点 P,使4CDP为等腰三角形？若 存在，求出t值；若不存在，说明理由.313. (10分)长方形OABC,

6、 O为平面直角坐标系的原点，OA=5, OC = 3,点B 在第三象限.(1)求点B的坐标；(2)如图，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P,且将长方形OABC 的面积分为1: 4两部分，求点P的坐标.HIAo -7R C14. (10分)如图，AC是矩形ABCD的对角线，AE平分/ BAC交BC于点E, 第4页(共26页)已知AB = 3, BC=4.求BE的长.15. (10分)如图，在 ABC中，点。是边AC上一个动点，/ BC分别交/ ACB、外角/ ACD的平分线于点E, F.(1)若 CE = 4, CF = 3,求 OC 的长.(2)连接AE、AF,问当点。在边AC上运

7、动到什么位置时, 矩形？请说明理由.过点O作直线EF四边形 AECF是第5页(共26页)矩形拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1. （5分）如图，点D在4ABC边延长线上，点 O是边AC上一个动点，过 作直线EF / BC,交/ BCA的平分线于点F,交/ BCA的外角平分线于E. 点O在线段AC上移动（不与点A,C重合）时，下列结论不一定成立的是（A. 2/ACE=/BAC+/BB. EF = 2OCC. /FCE = 90°D,四边形AFCE是矩形【分析】依据三角形外角性质，角平分线的定义，以及平行线的性质，即可得到2/ACE=/BAC+/B,

8、EF = 2OC, /FCE=90° ,进而得至U结论.【解答】解：:/ACD是4ABC的外角， ./ACD = /BAC+/B,. CE 平分/ DCA, ./ACD = 2/ACE,.2/ACE=/BAC+/B,故 A 选项正确；v EF/ BC, CF 平分/ BCA, ./BCF=/CFE, /BCF = /ACF, ./ACF=/ EFC, .OF=OC,同理可得OE = OC,EF=2OC,故B选项正确；.CF 平分/BCA, CE 平分/ACD,丁./ECF=/ACE+/ACF=X 180° =90° ,故 C 选项正确；.O不一定是AC的中点，四边

9、形AECF不一定是平行四边形，一四边形AFCE不一定是矩形，故D选项错误, 故选：D.第22页（共26页）【点评】此题主要考查了矩形的判定等腰三角形的判定，关键是掌握有一个角为 直角的平行四边形是矩形.2. （5分）如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1,3）,则AC的长是（）0x . 3B. 2向C. VT5D. 4【分析】根据勾股定理求出OB,根据矩形的性质得出AC = OB,即可得出答案.【解答】解：一连接OB,过B作BM，x轴于M, 点B的坐标是（1, 3）, .OM=1, BM = 3,由勾股定理得：OB=J西笆=技， 四边形OABC是矩形， . AC=OB,AC=VW,故选：C.

10、【点评】本题考查了点的坐标、矩形的性质、勾股定理等知识点，能根据矩形的 性质得出AC=OB是解此题的关键.3. （5分）如图，在矩形ABCD中，AB = 6, BC = 6巧，点E是边BC上一动点，B关于AE的对称点为B',过B'作B' FLDC于F,连接DB ',若4 DB'F为等腰直角三角形，则BE的长是（C. 3/2D. 672-6【分析】如图作B' H，AD于H交BC于M.首先证明四边形 DFB ' H是正方形，设边长为 x, WJ AH = 6/2-x, HB' =x,在 RtzXAHB'中，根据 AB'

11、= AH2+HB' 2,构建方程求出x,再利用相似三角形的性质解决问题即可；【解答】解：如图作B' H，AD于H交BC于M./B' HD = /HDF = / DFB' =90° , 四边形DFB' H是矩形，. FD=FB',四边形DFB' H是正方形，设边长为x,则AH = /-x, HB' =x,在 RtzXAHB'中，AB' 2 = AH2+HB' 2,62= (6Z-x) 2+x2,解得x=M, .B' M = CF = 6-3泥, .BE= B' E=6a-6, 故选：

12、D.【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解 决问题，学会利用参数构建方程，属于中考常考题型.4. （5分）如图，在矩形 ABCD中，/ BAD的平分线交BC于点E,交DC的延 长线于点F,取EF的中点G,连接CG, BG, BD, DG,下列结论：BE = CD; /DGF = 135° ; / ABG+/ADG = 180° ;若旦上，贝 U 2SaAD 3bdg=13Sdgf.其中所有正确的结论是（）ADFA .B.C.D.【分析】先求出/ BAE=45° ,判断

13、出 ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角 三角形的性质可得 AB=BE, /AEB=45° ,从而得到BE = CD,故正确； 再求出 CEF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 CG=EG, 再求出/ BEG=/DCG=135° ,然后利用“边角边”证明 DCGBEG, 得到/BGE=/DGC,由/BGE</AEB,得到/ DGC = /BGE<45° , / DGF <135° ,故 错误；由于/ BGE=/DGC,得到/ ABG+/ADG = / ABC+/CBG+/ADC / CDG = /ABC+/ADC=180&#

14、176; ,故 正确；由4 BGD是等腰直角三角形得到 BD=jAD?+AB2=6a,求得&bdg,过G作GMLCF于M,求得Sadgf,进而得出答案.【解答】解：: AE平分/ BAD, ./BAE= 450 , . ABE是等腰直角三角形, .AB= BE, /AEB=45° ,. AB= CDBE= CD故正确；./CEF=/AEB= 45° , /ECF=90° , .CEF是等腰直角三角形， 点G为EF的中点， .CG=EG, /FCG=45° , ./ BEG= / DCG = 135° ,在ADCG和 BEG中，般CDZb

15、eg=Zdcg,CG=EG.-.DCGABEG (SAS). ./ BGE= / DGC,/ BGE< / AEB, ./ DGC = / BGE<45° ,/CGF = 90° ,/ DGF<135° ,故错误；/ BGE= / DGC, . / ABG+ / ADG = / ABC+ / CBG+ / ADC - / CDG = / ABC+ / ADC = 180故正确；.设 AB = 2a, AD = 3a,-.dcgabeg, / BGE= / DGC, BG = DG, /EGC = 90° , ./BGD = 90

16、6; ,v BD= J AD? +AB、=Ma,BG= DG = U,2 ，. S"1X俸ax场a吗 DB bDGa a a22243Sa bdg=-a2, 4过G作GMCF于M,. CE=CF=BC- BE=BC-AB = a,.GM 得 CF=/a,SA DGF = L?DF?GM=Lx3axJLa=_la2, 222413Sa DGF = a2, 43Sabdg= 13Sadgf ,故正确.故选：C.【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的 判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解 决问题的关键.5. （5分）如图，矩形A

17、BCD由3X4个小正方形组成，此图中不是正方形的矩A. 34 个B. 36 个C. 38 个D. 40 个【分析】解答此题要从矩形的两边长进行分类分析，在由 3X4个小正方形组成 矩形ABCD中，不是正方形的矩形的两边长存在以下几种情况：2、1; 3、1;4、 1; 3、 2; 3、 4; 4、 2.【解答】解：在由3X4个小正方形组成矩形ABCD中，共有矩形60个，是正方形的有20个，其中，边长为1的12个，边长为2的6个，边长为3的2个；不是正方形的矩形有40个，其中，两边长分别为2和1的有17个；两边长分别为3和1的有10个；两边长分别为4和1的有3个；两边长分别为3和2的有7个；两边长

18、分别为3和4的有1个；两边长分别为4和2的有2个；故选：D.【点评】本题考查学生对矩形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是根据矩形 类性质和判定进行分类分析，难度较大.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6. （5分）如图，矩形ABCD的顶点A、C在平面直角坐标系的坐标轴上，AB=4, CB = 3,点D与点A关于y轴对称，点E、F分别是线段DA、AC上的动点（点E不与A、D重合），且/CEF=/ACB,若AEFC为等腰三角形，则点E的坐标为（-2. 0）或（-工.0）.6口 已UA【分析】由对称性得到/ CDE=/CAO,利用等式的性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证，

19、当 EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：当CE=EF;当EF=FC;当CE = CF时，利用相似三角形的判定与性质 分别求出E坐标即可.【解答】解：二四边形ABCO是矩形， ./ B = 90° ,AC=办联+小=5, 点D与点A关于y轴对称, ./ CDE = /CAO, /CEF=/ACB, /ACB=/CAO, ./ CDE = /CEF,又/AEC=/AEF+/CEF=/CDE+/DCE (三角形外角性质)， ./AEF=/ DCE,则在 AEF 与ADCE 中，/CDE = /CAO, /AEF=/DCE, .AEFszXDCE;当 EFC为等腰三角形时，有以下三种情况：

20、当 CE=EF 时，. A AEFADCE,.AEFADCE, . AE= CD = AC=5, .OE= AE-OA= 5-3=2, -E (-2, 0).当EF=FC时，如图所示，过点F作FM，CE于M,则点M为CE中点. .CE=2MEEF, 点D与点A关于y轴对称, . CD = AC=5,.AEFADCE,.鼠器即解得AE=相, .OE= AE - OA-，看-，0).当 CE=CF 时，则有/ CFE = /CEF,/ CEF=/ACB=/CAO, ./ CFE=/ CAO.即此时F点与A点重合，这与已知条件矛盾.综上所述，当 EFC为等腰三角形时，点E的坐标为（-2, 0）或（-

21、看，0）,【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，关于y轴对称的点的坐标，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.7. （5 分）如图，在 ABC 中，/C = 90° , AC=8, BC=6, P 是 AB 边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M、【分析】首先证明四边形PMCN是矩形，推出MNPC,根据垂线段最短即可解决问题；【解答】解：如图，连接MN, PC.在4ABC 中，. /C = 90° , AC = 8, BC = 6,AB=d 6 + g 2= 10，PMAC, PNX

22、BC, ./ PMC = / PNC=/ C=90四边形PMCN是矩形，MN = PC,当PCAB时，PC的值最小，最小值= 比"=9 | AB 5故答案为二.5【点评】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.8. （5分）如图，在矩形 ABCD中，AB = 4, BC = 4/乐 对角线AC、BD相交于点O,现将一个直角三角板 OEF的直角顶点与O重合，再绕着。点转动三 角板，并过点D作DHLOF于点H,连接AH.在转动的过程中，AH的最小 值为 2畲2 .【分析】取OD的中点G,过G作GPXAD于P,连接HG

23、, AG,依据/ ADB= 30° ,可得 PG =1,依据/ DHO = 90°,可得点H在以OD为直径的。G上，再根据AH+HG>AG,即可得到当点A, H, G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得 AG的长，即可得出AH的最小化【解答】解：如图，取OD的中点G,过G作GPXADT P,连接HG, AG, . AB= 4, BC = 4/5=AD,:bd=Uab，a"=8, .BD=2AB, DO = 4, HG = 2, ./ADB=30° , .PG=却G = 1, .PD=心，AP=313,d DHXOF, ./DH

24、O = 90° , 点H在以OD为直径的OG±,v AH+HG>AG, 当点A, H, G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短, 此时，RtAPG中，AG=J7f再审=哂， . AH=AG- HG = 2VT- 2,即AH的最小值为2/7-2.故答案为：2-2.5C【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理的综合运用，解决问题的关键是 根据/DHO = 90° ,得出点H在以OD为直径的。G上.9. （5分）如图，在矩形ABCD中，BC=&AB, / ADC的平分线交边BC于点 E,AH，DE于点H,连接CH并延长交边AB于点F,连接AE交CF于

25、点O, 则上的值是二.AE 2-【分析】根据矩形的性质得到AD=BC=6AB=/jCD,由DE平分/ ADC,得 到4ADH是等腰直角三角形， DEC是等腰直角三角形，得到 DE$/jCD, 得到等腰三角形求出/ AED = 67.5° , /AEB=180° -45° -67.5° =67.5° 进而求出 AOH和AOEH是等腰三角形，即可得出结论.【解答】解：在矩形ABCD中，AD=BC=AB=VCD,. DE 平分/ ADC, ./ADE=/ CDE = 45 v AHXDE,.ADH是等腰直角三角形, . AD= . : AB, . A

26、H=AB=CD,: DEC是等腰直角三角形,DE=<2CD, . AD=DE, ./AEH=67.5° , ./EAH=22.5° ,. DH=CD, Z EDC = 45 ./DHC = 67.5° , ./OHA=22.5° , ./ OAH=/OHA,OA= OH, ./AEH=/ OHE = 67.5 .OH=OE, .OH = AE2角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质,熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而判断 出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点.10. （5分）如图，在矩形 ABCD中，/B的平分线BE

27、与AD交于点E, /BED 的平分线EF与DC交于点F,当点F是CD的中点时，若AB = 4,则BC=2n+2_.作FH，BE于H .作FM / BE交BC于M .想办法证明FM = MB, AFMC是等腰直角三角形即可解决问题;SCE 。【解答】 解：如图，连接BF,作FHLBE于H .作FM / BE交BC于M . 四边形ABCD是矩形， .AB= CD = 4, / D = /C=/ABC=90 . F是CD中点，DF=FC = 2,.EF 平分/BED, FHXEB, FDXED,FH=FD=FC,v BF=BF, RtABFHRtABFC, ./ FBC=/ FBE,. BE 平分/

28、ABC, ./ABE= 45° , ./FBC=/FBH = 22.5° ,v FM / BE, ./ FMC = / EBC = 45° , . / FMC = / FBM+/MFB, ./ MFB = /MBF = 22.5° ,FM=BM, . /FMC = /CFM = 45° , CF = 2,FM=BM = 2的,BC=BM+CM = 2+26.故答案为2+2/2.【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判 定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造全等三角形解决问题，属于

29、中考常考题型.三、解答题(本大题共5小题，共50.0分)11. (10分)如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A, C两点 的坐标分别为(3, 0), (0, 5),点B在第一象限内.(1)写出点B的坐标；(2)若过点C的直线CD交AB边于点D,且把长方形OABC的周长分为3: 1 两部分，求点D的坐标；(3)若过点C的直线CE交AB边于点E,且把长方形OABC的面积分为2: 1 两部分，求点E的坐标.c0 A 二【分析】(1)点B的横坐标等于点A的横坐标，点B的纵坐标等于点C的纵坐 标，从而求得点B的坐标；(2)分两种情况讨论，并把不合题意的舍去即可；(3)设AE=a，则BE=

30、5-a.由矩形的面积公式列出关于a的方程，解答即可.【解答】(1)点B (3, 5) (2分)(2)如图，过C作直线CD交AB于D,第24页(共26页)由图可知：OC = AB = 5, OA= CB = 3.当(CO+OA+AD): (DB+CB) =1: 3 时，即：(5+3+AD): (5 AD+3) =1:3,8-AD = 3 (8+AD),AD= - 4 (不合题意，舍去)；当(DB+CB): (CO+OA+AD) =1: 3 时，即：(5 AD+3): (5+3+AD) =1:8+AD=3 (8-AD),AD = 4,点D的坐标为(3, 4);(3)长方形OABC的面积是15.设

31、AE = a,则 BE = 5 a.由题意得:*E?BC = 5,1 (5- a)?3=5,a = £.上(3嘲.【点评】考查了点的坐标的确定，四边形面积的求法，还考查了一个很重要的数 学思想，分类讨论思想.12. (10分)如图，在长方形 ABCD中，AB: BC = 3: 4, AC = 5,点P从点A 出发，以每秒1个单位的速度，沿 ABC边A-B-C-A的方向运动，运动 时间为t秒.(1)求AB与BC的长；(2)在点P的运动过程中，是否存在这样的点 P,使4CDP为等腰三角形？若 存在，求出t值；若不存在，说明理由.【分析】(1)利用因式分解法解出方程即可；(2)分PC =

32、CD、PD = PC、PD = CD三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股 定理计算即可.【解答】解：(1)设AB = 3x, BC = 4x在 RtzXABC 中，AB2+BC2 = AC2,AC= 5x, 5x= 5, x= 1 .AB= 3, BC = 4,(2)存在点P,使CDP是等腰三角形，理由如下:.4当PID = P1C即P为对角线AC中点时， CDP是等腰三角形,. AB= 3, BC = 4,AC印2=5,；CF1 事C二工 5，苦'5 （秒）当CD = P2c时，zCDP是等腰三角形，. t金竿二,（秒）,AB的中点也是，止匕时t=1.5;CP = CD, P在BC线

33、段上，此时，t = 4;DP=DC, P在线段AC上，止匕时t=10.6;综上可知当t = 9.5秒或10秒或1.5秒或4秒或10.6秒时4CDP是等腰三角形.【点评】本题考查了四边形综合题.需要掌握矩形的性质、等腰三角形的判定和 性质，正确解出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用.13. （10分）长方形OABC, O为平面直角坐标系的原点，OA=5, OC = 3,点B 在第三象限.（1）求点B的坐标；（2）如图，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P,且将长方形OABC 的面积分为1: 4两部分，求点P的坐标.HIAo -7B C【分析】（1）根据第三象限点的坐标性质得出答案；（2）利用长方形OABC的面积分为1: 4两部分，得出等式求出AP的长，即可 得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案.【解答】解：（1） :四边形OABC为长方形，OA=5, OB=3,且点B在第三象 限，XABXAP5（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P,依题意可知:OAXOC,gplx 3XAP =X5X3,第26页（共26页）. OA= 5, .OP= 3,-P (-3, 0),若过点B的直线BP与边OC交于点P,依题意可知:xbcxpcLxoax5OC,即» 5XPC =X5X3,. OC=3, .OP