【中考数学压轴题专题突破26】与圆有关的阅读理解题

1、【中考压轴题专题突破 26】与圆有关的阅读理解题1阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德？欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重 要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，贝UOI2= R2- 2Rr.下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：延长AI交 O于点D ,过点I作 O的直径MN ,连接DM , AN . D = N, DMI = NAI （同弧所对的圆周角相等）， MDI ANI.2A = , IA?ID = IM?INIA IN如图，在图1 （隐

2、去 MD , AN）的基础上作 O的直径DE,连接BE, BD, BI, IFTDE 是 O 的直径， DBE = 90°. I 与 AB 相切于点 F, AFI = 90°, DBE = IFA. BAD = E （同弧所对圆周角相等）， AIF EDB .旦=卫-, IA?BD = DE?IFDE BD由（2）知：BD = ID IA?ID = DE?IF又 DE?IF = IM?IN 2Rr=（ R+d） （ R - d）, R2- d2= 2Rr.d2= R2- 2Rr任务：（1）观察发现：IM = R+d, IN = （用含R, d的代数式表示）；（2）请判断BD

3、和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）（3） 应用：若厶ABC的外接圆的半径为 6cm,内切圆的半径为 2cm,则厶ABC的外心与 内心之间的距离为 Cm.2.解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上.（1）方法选择如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接 AC, BD , AB= BC = AC .求证：BD =AD+CD.小颖认为可用截长法证明：在DB上截取DM = AD ,连接AM-小军认为可用补短法证明：延长CD至点N,使得DN = AD请你选择一种方法证明.（2）类比探究【探究1】如图，四边形ABCD

4、是 O的内接四边形，连接 AC, BD, BC是 O的直径，AB = AC.试用等式表示线段 AD, BD, CD之间的数量关系，并证明你的结论.【探究2】如图，四边形ABCD是O的内接四边形，连接 AC, BD .若BC是 O的 直径， ABC = 30°,则线段 AD, BD, CD之间的等量关系式是 .（3）拓展猜想如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，连接 AC , BD .若BC是 O的直径，BC:AC: AB = a: b: c,则线段AD, BD , CD之间的等量关系式是 .圉图图圉第2页（共12页）3.教材呈现图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容.已知

5、：如图，在RtAABC中，求证：CD =AB.通过该问题的证明，得出了直角三角形的一条性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半.请根据教材内容，结合图 ，写出完整的解题过程.结论应用（1）如图，在 RtAABC 中，F 是 AD 中点， ACB = 90°, BAC= 60° ,点 D 在BC上（点D不与B、C重合），DE丄AB于点E,连结CE、CF、EF.当AD= 4时，S CEF= .（2）如图，AD是O直径，点C、E在O上（点C、E位于直径 AD两侧），在O 上，且Sin DAC = , CD = 2 .当四边形 OCDE有一组对边平行时，直接写出AE的长.第3页

6、（共12页）4请阅读下列材料，并完成相应的任务.人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“一中同长也”意思说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等这个定义比希腊数学家 欧几里得给圆下的定义要早 100年.与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.下面是弦切角定理的部分证明过程：证明：如图，AB与O相切于点A.当圆心O在弦AC上时，容易得到 CAB = 90°, 所以弦切角 BAC的度数等于它所夹半圆所对的圆周角度数.如图，AB与O相

7、切于点A,当圆心O在 BAC的内部时，过点 A作直径AD交O于点D ,在上任取一点 E,连接EC , ED , EA,则 CED = CAD .QV)A圉BA圉AB任务：(1) 请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2) 如图，AB与O相切于点A.当圆心O在 BAC的外部时，请写出弦切角定理 的证明过程.第5页(共12页)当锯到AE = OE时，弦AB所对圆周角的度数为尺=10寸,CD的长;5. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务“圆材埋壁”是我国古代数学著作九章算术中的一个问题：今有圆材，埋在壁中,不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如 图，C

8、D为 O的直径，弦AB丄CD,垂足为E, CE = 1寸，AB = 1尺，其中1 求出直径CD的长.解题过程如下：连接 OA,设 OA = r 寸，贝U OE= r - CE=( r- 1)寸AB CD , AB = 1 尺， AE=二AB = 5 寸2在 Rt OAE 中，OA2= AE2+OE2, 即卩 r2= 52+ (- 1) 2,解得 r = 13, CD = 2r = 26 寸任务(1) 上述解题过程运用了 定理和定理；(2) 若原题改为已知 DE = 25寸，AB = 1尺，请根据上述解题思路，求直径6. 阅读下列材料，并完成任务.三角形的外心定义：三角形三边的垂直平分线相交于一

9、点，这个点叫做三角形的外心. 如图1,直线1, 12, 13分别是边AB, BC, AC的垂直平分线.求证：直线1, 2, 3相交于一点.证明：如图2,设1, 2相交于点0,分别连接0A, OB, OC1是AB的垂直平分线， OA= 0B,（依据 1）2是BC的垂直平分线， OB= 0C, OA= OC,（依据 2）3是AC的垂直平分线，点O在3上，（依据3）直线1, 12, 13相交于一点.（1）上述证明过程中的“依据 1” “依据2” “依据3”分别指什么？（2） 如图3,直线1, 2分别是AB , AC的垂直平分线，直线 11, 12相交于点O,点O 是厶ABC的外心，1交BC于点N,

10、12交BC于点N,分别连接AM、AN、OA、OB、OC.若 OA= 6cm,A OBC的周长为22cm,求 AMN的周长.第8页（共12页）【中考压轴题专题突破 26】与圆有关的阅读理解题参考答案与试题解析一 解答题（共6小题）1解：（I）： 0、I、N三点共线， 0I + IN = ONIN = ON - OI = R - d故答案为：R- d;（2） BD = ID理由如下：如图1连接BI,1点I是厶ABC的内心 BAD = CAD , CBI = ABI DBC = CAD , BID = BAD+ ABI, DBI = DBC+ CBI BID = DBI BD = ID(3)题干结论

11、可得： d2= R2- 2Rr;将R= 6cm, r = 2cm代入得：2 2d2= 62- 2 × 6× 2= 12,Td > 0 d = 2 ；：cm,故答案为：2 .二2.解：r AB = BC = AC, ACB = ABC = 60°,如图，在BD上截取 DM = AD ,连接 AM,S® ADB = ACB = 60°, ADM是等边三角形， AM = AD, ABM = ACD , AMB = ADC = 120°, ABM ACD (AAS), BM = CD , BD = BM+DM = CD+AD ;(2)类

12、比探究【探究1】如图， BC是O的直径，圉 BAC= 90 ° ,/ AB= AC, ABC= ACB = 45°, 过点A作AM AD交BD于点M , ADB = ACB = 45°, ADM是等腰直角三角形， AM = AD, AMD = 45°, DM = AD, AMB = ADC = 135°, ABM = ACD , ABM ACD (AAS), BM = CD , BD = BM+DM = CD+ .工AD . 【探究2】如图，S®若 BC 是 O 的直径， ABC = 30° , / BAC= 90°

13、;, ACB = 60°, 过点A作AM AD交BD于点M , ADB = ACB = 60°, / AMD = 30°, MD = 2AD , ABD = ACD , AMB = ADC = 150 ° , ABM ACD,BH AB _ 厂CD=AC=.CD, ;故答案为：亠(3) 拓展猜想第12页（共12 M）CbBD = BM+DM若BC是 O的直径, BAC= 90 ° ,过点A作AM AD交BD于点M , MAD = 90°, BAM = DAC , ABMACD , J .CD AC b ADB = ACB , BAC

14、= NAD = 90° , ADMACB ,.订I飞一 一, BD = BM+DMBD = BM + DM故答案为:3解：教材呈现已知： ABC中， ACB = 90° , CD是中线,求证：CD = AB 2证明：作DE丄BC于E , DF丄AC于F ,图贝U DF / BC, DE / AC,CD是中线， AF = FC , BE = EC,直线DE是线段AC的垂直平分线，直线 DE是线段BC的垂直平分线,S®. CD = DA = DB = DA= DC, DB = DC,(2)设 Sin DAC结论应用(1) CF、FE分别是Rt ACD、Rt ADE的中

15、线,贝U CF = EF = AD = 2,设： CAF = = ACF , FAE = = AEF , CAB = + = 60 ° , CFE = FCA+ FAC+ FEA+ FAE= 2 +2 = 120 ° ,故厶CEF为腰长为2 ,顶角为120 °的等腰三角形，过点F作FH丄CE,则 SCEF=× CE × FH =2. :× 1=.：,I故答案为：.；Sin , CD = 2 ,贝U AD = 6,OC = OE = -AD = 3, 当CD / OE时，如图（左侧图），则 ADC = DOE = , Sin 口 =A

16、= cos,3过点D作DH丄OE交OE于点H ,OH = ODcos = 3x2= 1,贝y HE = 3 - 1 = 2,3同理DH = 2 打DE = rHP= 2锁，AE=I .：. ：=. 二=2|； 当OC / DE时，如图（右侧图），则 COD = ODE = 2,过点O作ON DE于点N,则DN = EN ,DE = 2DN = 2× ODcos2 = 2 X 3X 丄=旦（注：cos2 的求法见备注），93AE =°Ad2-DE 2=36L=；综上，AE = 2 I或 ;3备注：等腰三角形 ABC, AB= AC, 作AD丄BC于点D ,过点C作CE丄AB于

17、点E,设 BAD = CAD = ,设 Sina =-,3设 BD = CD = a,贝U AB = AC= 3a,贝U AD = 2:a,S ABC = AD X BC=-AB X CE,sin2 CEAC,则 cos2X 2a= 3a× CE,贝U CE =4.解：（1）如图，I AD 是 O 直径， DEA = 90°./ AB 与 O 相切于点 A, DAB = 90 ° . CED+ DEA = CAD+ DAB , 即 CEA= CAB ,弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数；(2)证明：如图，过点A作直径AF交 O于点F ,连接FC,TAF 是直

18、径， ACF = 90°, CFA+ FAC= 90°,TAB 与 O 相切于点 A, FAB = 90°, CAB+ FAC = 90°, CAB = CFA ,即弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数.第12页(共12页)图5.解：(1根据题意知，上述解题过程运用了垂径定理和 勾股定理.故答案是：垂径；勾股；(2)连接 OA ,设 OA = r 寸，贝U OE = DE - r =( 25 r)寸T AB CD , AB = 1 尺， AE=二AB = 5 寸2在 Rt OAE 中，OA2= AE2+OE2, 即P r2= 52+ (25- r) 2,解得 r = 13, CD = 2r = 26 寸(2)t AB丄CD ,当AE = OE时， AEO是等腰直角三角形， AOE= 45 °, AOB= 2 AOE= 90°,弦AB所对圆周角的度数为 AOB= 45°.同理，优弧AB所对圆周角的度数为 135