2019届百校联盟top20三月联考(全国Ⅱ卷)数学(理)试题(解析版)

1、2019届百校联盟top20三月联考（全国ii卷）数学（理）试、单选题已知集合A x|2x 3-0,B x|x(x2)0，则Al第9页共23页,3A .x | x2x|3x2B x|02，所以Ax|, x 2x|3 x 22x |0 xC. x|0 x 2【答案】B【解析】由题求出A, B两个集合，再进行交集的运算即可【详解】故选：B.【点睛】Z,再求出其共轭复数 z，利用求复数本题考查了一元二次不等式的求解，集合的交集运算，属于简单题2 .设复数z满足乙丄 iZ1，则| Z |等于（: )3A . -B.c .2D . 2222【答案】B【解析】根据复数的基本运算法则进行化简得到的模的公式计

2、算即可.【详解】因为Zi213.i ,i122所以Z1 3.i ,2 2则|Z|Tq2 *故选：B.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，共轭复数的概念，复数模长的计算，比较基础.F列函数中，既是偶函数，又在（0,）上单调递增的是（f(x) 1 X2B. f(x) x 1f(x) logi |x|2D. f (x)2|x|【答案】D【解析】结合奇偶性的定义及单调性的定义分别检验各选项即可【详解】A选项：f(x)1 x2在（0,）上单调递减；B选项：f(x)x丄为奇函数；xC选项：f(x)log1 :x在（0,）上单调递减；C .D选项满足题意2故选：D.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的

3、判断，属于基础试题.24 .已知双曲线C : x2 1, F为双曲线C的右焦点，过点F作与渐近线垂直的 3直线与另一条渐近线交点 M .则FM （）A . 2.3B.C. 2 2D. 4【答案】A【解析】 求出双曲线的渐近线方程，求出过点F作与渐近线垂直的直线，联立求出交点M，然后求解距离即可.【详解】解：由题意可知双曲线的一条渐近线方程：y 3x ,则过点F作与渐近线垂直的直线为:所以与另一条渐近线方程：y, 3x的交点M 1,-、3 , F 2,0，所以FM故选：A.【点睛】 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.5.如图所示，某几何体的三视图均为直角三角形，则围成

4、该几何体的各面中，直角三【答案】D【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为三棱锥，其中侧棱PA丄底面ABC，进一步得到该几何体的各面中，直角三角形的个数.【详解】由三视图还原该几何体的直观图如图所示，其中PA 底面ABC , AB BC ,则该几何体的各面中，直角三角形的个数为4个.故选：D.【点睛】本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图还原几何体，是中档题.36 .如图，在平面直角坐标系xOy中，扇形AOB的圆心角为，半径为1.P是AB上4一点，其横坐标为2 2，贝U sinBOPA .二3B.3【答案】【解析】由题意求得点P坐标，根据三角函数的定义写出 sin POA、cos POA

5、，再计算sinBOP的值.【详解】 由题意可知p 223根据三角函数的定义sinPOA -,cos3则 sin BOPsinPOA3sin cos43POA cos sin POA4-2 2.224.26故选：C.【点睛】本题考查了任意角的三角函数值计算问题,也考查了三角恒等变换应用问题， 是基础题.7.正六面体有6个面，8个顶点；正八面体有8个面，6个顶点，我们称它们互相对偶在正六面体内随机取一点,如图，连接正六面体各面的中心，就会得到对偶的正八面体则此点取自正八面体内的概率是（B.【答案】A 【解析】求出总体积以及符合要求的体积，代入几何概型的计算公式即可.【详解】设正方体的棱长为 2,则

6、正方体的体积V1 8，正八面体是由两个全等的正四棱锥组成，且棱长为2，1 2则正四棱锥的底面积为 2，咼为1，体积为2 1 -，332 4则正八面体的体积V22 -3 3则此点取自正八面体内的概率：4P V231.M 86故选：A.【点睛】本题考查了利用体积之比求解几何概型问题，属于中档题48 执行如图所示的程序框图，若输出S的值为一，则输入a的值可能为（）3WA 4B.10C. 79D. 93【答案】D【解析】由题中的程序框图知，该算法是一个以4为周期的函数，若输出4S的值为-,3则得出相应的k值,再由ka输出，即可得出a值，再判断选项得出【详解】程序运行如下：S3,k1;S -,k 2 ；

7、S - ,k 3 ；32S 2,k 4；s3,k5:；，此程序的S值4个一循环4若输出S的值为，则相应k的值为4K 2 ki N ,3因为k a时，输出S，则输入a的值为4k, 1 k1 N故选：D.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据算法的功能确定S值的周期规律及跳出循环的值是解答本题的关键，属于中档题.x9 .设x, y满足不等式组 y0,2,a,且丄x 41的最大值为 丄，则实数a的值为(2B. 2【答案】B【解析】作出不等式组对应的平面区域,将目标函数 看成可行域内的点 P(x, y)与x 4点Q( 4,0)连线的斜率，利用数形结合即可得到结论表示可行域内的点 P(x,y)与点Q

8、( 4,0)连线的斜率，x 4直线x y 2 0与直线y x a的交点为点A(1 -,1 -),2 2当x 1, y 1时，一-取到最大值,22 x 42所以实数a的值为2.故选：B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，根据的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键.10 设 0,tan(2)tan，则（cosB. 2a【答案】【解析】由题意，利用三角恒等变换化简tan（ta n，得出coscos（2【详解】)cos(），再根据角的取值范围,即可得出正确的结论由题意可知岂匹cos（sin等式两边同时乘以sin(a)cos则sincos(因为0故选:B.【点睛】coscos()cos得,cos(a

9、)sincos()，即 cos(2)cos(，所以2本题主要考查了三角函数恒等变换,2x11.已知椭圆Ca点O对称的两个点，且以及运算求解能力与转化思想，是中档题.b 0）的右焦点为F，点A, B是椭圆C上关于原|AO| |AF |,uur uuu FA FB0，则椭圆C的离心率为（B. 2【答案】A【解析】由FA FB 0得 AFB 90 ,将左焦点与A、B连接起来，由椭圆的对称性 可得四边形AF1BF2为矩形，|AO| |AF |，可得a，c的关系，进而求出离心率.【详解】因为FA FB 0，所以 AFB 90 ，因为 |AO|AF|,所以 |AB|2|AF|，故 ABF 30，设椭圆C的

10、左焦点为Fi，根据椭圆的性质，四边形 AFiBF为平行四边形，且 AFB 90，所以四边形AFiBF为矩形，在直角三角形 AFiF 中，AFiF 30，| AF,| V3c，| AF | c，根据椭圆的定义，AF1 | AF | 2a，即J3c c 2a，则椭圆C的离心率e c 3 1.【点睛】本题考查了椭圆的定义及其几何性质，属于中档题12.若函数f(x) alnx ex有极值点，则实数 a的取值范围是()A. ( e, )B. (1,e)C. (1,)D. (0,)【答案】D【解析】先求出导函数f (x)，再对a的值进行分类讨论，利用数形结合的方法即可求 出a的取值范围.【详解】a 由题意

11、知 f (x) a lnx ex(x 0), f (x)ex,x当a 0时，函数f (x)在区间(0,)上单调递减，无极值点;当a 0时，根据y旦与y ex的图象，x设两个函数在第一象限的交点的横坐标为Xo ,a当 x O,Xo 时，一ex, f (X) 0,x函数f (x)在区间O,Xo上单调递增，当 XXo,axax时， e ， f (x) e 0， xx函数f(x)在区间x0,上单调递减， 故当a 0时，函数f (x)有一个极大值点 故选：D.【点睛】 本题主要考查了利用导函数研究函数的极值，分类讨论的思想，属于较难题二、填空题13 在(X2丄)6的展开式中，含x3项的系数为 .(用数字

12、填写答案)X【答案】20r6 r 4【解析】试题分析：由题意可得 Tr 1 C6 X2丄C6x123r，令X33312 3r 3, r 3, T4 C§x 20x ,综上所述，x3的系数为20,故答案为20.【考点】1、二项展开式的通项公式；2、二项展开式的系数.14 甲、乙、丙、丁 4人站在一栋房子前，甲说：我没进过房子”；乙说：丙进去过丙说：丁进去过”；丁说： 我没进过房子”，这四人中只有一人进过房子，且只有一人说了真话，则进过这栋房子的人是 .【答案】甲【解析】 本题可以采用假设法进行讨论推理，即可得出结论由丙、丁的说法知道丙与丁中有一个人说的是真话, 若丙说了真话，则甲必是真

13、话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是进过房子的那个人故答案为：甲【点睛】 本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理等基础知识，分析判断能力，是基础题4，则 AC3uur 2 uuu umr uuu15 在 VABC 中，A 60，AB 3 , BD BC , AD BC 3【答案】2【解析】根据向量加法的三角形法则表示出AD,器，再代入数量积即可求解【详解】uuur uuu uur AD AB BDuuu 2 uurAB BC3uuu 2 ujut uuu AB -(AC AB)1 jjj 2 uur-AB -AC ,33uur uur uuuBC AC AB，uuu uuu AD BC

14、1 uuu 21 uuuuuur2uur-AB-ABACAC3331 2设 AC x，贝U 3 -xx22 33解得x 2.故答案为：2.【点睛】本题考查了平面向量加法的三角形法则，以及数量积的运算问题，是基础题16 VABC的内角A, B,C的对边分别为a,b,c，且be a(cos B cosC)，若VABC的周长的最大值为 4 4逅，则a 【答案】4【解析】由已知结合正弦定理，余弦定理化简可求得A 90，然后结合锐角三角函数的定义将周长的最小值表示出来，结合已知即可求解a的值.【详解】第9页共23页【详解】因为be a(cos B cosC),. 2 2.2 2.2 2根据余弦定理可得a

15、 e L ? b d,a2ac2ab整理得 2b2c 2bc2 a2b be2 b3 a2c b2c C，即 b2c bc2 a2b a2cb3 c3 ,2 2 2因式分解得(b c) b c a 0,所以 b2 c2 a2，即 BAC 90 ,VABC的周长a b c a asinB acosBa1.2si n(B -)a(1、2)4 4. 2，当 B 时，取等号，则a 4.4故答案为：4.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，锐角三角函数及正弦函数性质的简单综合，属于中档题.三、解答题17.已知数列an的前n项和为Sn, aid 1an1, a23an 12an 1 ( n N 且 n

16、 2 ).第15页共23页(n)求数列的前n项和Tn.I)证明：为等差数列; anan【答案】(I)见解析;(Il) Tn(n 1)3n 13【解析】(l)对题干中的递推公式进行变形转化，可得an 1an2，进一步计算可证得- 为等差数列; an(II)根据(I)的结论计算出数列的通项公式,然后运用错位相减法可计算出前an2(n2)，且所以数列为首项为1 ,公差为2的等差数列.an1得an2n3nan(2n 1卅,则Tn32(2n1)3n ,3Tn32(2n3)3n(2n 1)3n 1 ,an项的和Tn.【详解】a(I)因为二 2an 1 ,an 1所以 an an 1 2anan 1 , 即

17、an an 1 2a.an 1，等式两边同时除以 a.an 1,1得 -an 1-得:2Tn 3 2323n(2n 1)3" 13n1(2n1)3n121n)3n 1故 Tn(n 1)3n 13.【点睛】本题主要考查由递推公式求通项公式，以及运用错位相减法求数列前 n项和，考查了转化思想，逻辑推理能力和数学运算能力本题属中档题.18 如图，四棱锥A BCDE中，底面BCDE为直角梯形，ED / BC , EDC 90 ,EB EC 2 &，AB AE ED 2 , F 为 AB 的中点I）证明：EF / 平面 ACD ；（n）若AC 2、.3，求直线BC与平面ACD所成角的正

18、弦值【答案】（I）见解析;（ii）卫11【解析】（I）取BC的中点G,连接FG, EG,证明四边形 EGCD为平行四边形，得EG /平面ACD，再证明FG /平面ACD，可得平面 EFG /平面ACD，从而得到 EF / 平面ACD;（n ）求解三角形证明 BA丄AE,取BE的中点H，连接AH , HC ,证明AH丄平面BCDE .以H为坐标原点，以过点H且平行于CD的直线为x轴，以过点H且平行于BC的直线为y轴，HA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ACD的一个法向量，再求出直线BC的方向向量，由两向量所成角的余弦值可得直线BC与平面ACD所成角的正弦值.【详解】解：证明：(1)作B

19、C中点G ,连接FG ,EG，则ED GC ,又Q ED/ GC , 四边形EGCD为平行四边形,故 EG PCD，则 EG/ 平面 ACD ,又Q F为AB的中点， FG PAC，则FG /平面ACD ,又 FG I EG G ,平面 FEG / 平面 ACD ,Q EF 平面 FEG ,EF / 平面 ACD(11) Q ED / BC , EDC 90 , EB EC 2 2， ED 2 ,BC 2ED 2DC 4，则 BE EC,又 Q AB AE 2, be2 AB2 AE2，则 BA AE ,作BE中点H，连接AH , HC ,AH 2， HC 10 ,又Q AC 2 .3 , A

20、C2 AH2 HC2，即 AH HC ,第13页共23页又 AH BE , AH 平面 BCDE 以H为坐标原点，以过点 H且平行于CD的直线为x轴，以过点H且平行于BC的直线为y轴，HA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，第27页共23页可得 C(1,3,0)，D( 1,3,0)，A(0,0, .2)，B(1, 1,0)，uuuULT_CD ( 2,0,0), CA ( 1, 3,、. 2)r设n (x y z)为平面ACD的一个法向量，v uuivri CD2x 0,x 3y . 2z 0,可得 n 0,|, 2，直线BC的方向向量a (0,1,0)，设BC与平面ACD所成角为则

21、sin|cos n,a |n| |a|2211综上，直线BC与平面ACD所成角的正弦值为 -22 .11【点睛】本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题.19 近几年，我国鲜切花产业得到了快速发展，相关部门制定了鲜切花产品行业等级标准，统一使用综合指标值 FL进行衡量，如下表所示某花卉生产基地准备购进一套新型 的生产线，现进行设备试用，分别从新旧两条生产线加工的产品中选取30个样品进行等级评定，整理成如图所示的茎叶图旧生卢线新生产纯6 3 5 4 (310 2戈77555553201223355,5 4 0 n 0 0 D30 0

22、1 1 58897*42140 0 2 5 5i Q5( 4 5 5 St 8综合指标FL10,1920,3940,59质量等级三级二级一级（I）根据茎叶图比较两条生产线加工的产品的综合指标值的平均值及分散程度（直接给出结论即可）；（n）若从等级为三级的样品中随机选取3个进行生产流程调查， 其中来自新型生产线的样品个数为 X，求X的分布列；（川）根据该花卉生产基地的生产记录，原有生产线加工的产品的单件平均利润为4元，产品的销售率（某等级产品的销量与产量的比值）及产品售价如下表：三级花二级花一级花销售率228539单件售价12元16元20元预计该新型生产线加工的鲜切花单件产品的成本为10元，日产

23、量3000件因为鲜切花产品的保鲜特点，未售出的产品统一按原售价的50%全部处理完如果仅从单件产品利润的角度考虑，该生产基地是否需要引进该新型生产线？【答案】（I）新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合 指标值相对来说更为集中；（II）X0123P51515丄28285656（III）该生产基地需要引进该新型生产线【解析】（I）由茎叶图得新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值，旧生产线的综合指标值相对来说更为集中；（II）由题意得等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的 5个，新生产线的3个，随机变量X的取值为0, 1, 2，3，分别求出相应的概率，由此能

24、求出X的分布列；3（川）由茎叶图知该新型生产线加工的产品为三等品的概率为P ，二等品的概率30为F21630，等品的概率P31130，30000件产品中，三等品、二等品、等品的件数的估计值分别为 300件，1600件，1100件，求出单件产品利润，得到该生产基地需 要引进新型生产线.【详解】（I ）由茎叶图可以看出，新型生产线综合指标值的平均值高于旧生产线的平均值；生 产线的综合指标值相对于新型生产线来说更为集中（II）由題意可知，等级为三级的样品共有8个，其中来自旧生产线的5个，新生产线的3个，随机变量 X的取值为0, 1, 2, 3,P(X 0),P(X281)c3cC831528，P(X

25、2) CC52p(X 3)C356C83156，二等品的概率P21630，等品的概率P31130，3010故3000件产品中，三等品、二等品、一等品的件数的估计值分别为300 件，1600 件,则X的分布列为X0123P52815281556156（川）由茎叶图可知，该新型生产线加工的产品为三等品的概率1100 件,三等品日销售总利润为300 2 2 300 3 455480 （元）,二等品日销售总利润为1600 2 6 1600 - 233160003(元),等品日销售总利润为1100 8 10880009(元),480 型00880003000 4.88 （元）故产品的单件平均利润的估计值

26、为4.88元，高于4元，综上，该生产基地需要引进该新型生产线【点睛】本题考查平均值、离散程度的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法， 考查茎叶图、古典概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20 .已知抛物线C : x2 4y，直线l : y kx 1与抛物线交于 A, B两点.1(I)若k 一，求以AB为直径的圆被x轴所截得的弦长；2(H)分别过点A, B作抛物线C的切线，两条切线交于点 E ,求VEAB面积的最小值【答案】(I) 4 ；(II) 42【解析】设A(X1,yJ , B(X2,y2)，联立直线y kx 1和抛物线的方程x 4y，运用 韦达定理，(I)运用

27、弦长公式可得 AB，以及直线和圆相交的弦长公式，计算可得所求值；2x(II )对y求导，求得切线的斜率和方程，联立方程求得交点E的坐标，以及E4到直线AB的距离，弦长 AB，再由三角形的面积公式，计算可得所求最小值.【详解】设 A xj,y1 ,B X2，y2 ,x2 4y由联立得：x2 4kx 40,y kx 1由韦达定理得：Xi X2 4k , X1X24,1(I)当 k 时，Xi X22,2yi y23 ,| AB | . ik2 Xi x24x1x2i 222 4 ( 4) 5，3设AB的中点为M，贝U M(i,)，2二以AB为直径的圆被X轴所截得的弦长为2(II )对y 求导,4x

28、,2，即 kAE2Xi直线AE的方程为yyiXiXi，同理,i 22 X 4 Xi，Xi直线BE的方程为yX2x2i 24X2，设E Xo,yo，联立AE与BE的方程,Xo解得yoXiX22XiX22k,即 E(2k, i),i,点E到直线AB的距离d2k222 ik2 ,| AB |.1 k2 , (4k)2164 k2 i ,所以 ABE的面积S 1 |AB |d 1 4 k2 i2 2 32.1 k24 1k224,当且仅当k 0时取等号，综上， ABE面积的最小值为4.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何

29、意义，考查三角形的面积的最值的求法，考查化 简运算能力，属于中档题.21 .已知函数f (x) e x ax .1(i)若a ,讨论函数f (x)的单调性；2(n)若方程f (x) x 0没有实数解，求实数 a的取值范围.【答案】(I) f(x)在(，1 n 2)单调递减，f(x)在(In 2,)上单调递增；(II) (1 e,1【解析】(I)先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；(II)由e x (1 a)x 0没有实数解，结合a的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解.【详解】(i)当 a1时2时，f(x)12x，函数的定义域为R，所以f

30、(x)xe2e令 f(X)0 ,In 2,又因为函数2单调递增,所以在(,ln 2)上，f (x)0 ,f (x)单调递减;在(In 2,)上，f (x)0 , f (x)单调递增.(II)方程f (x) x 0没有实数解,即方程e x (1 a)x 0没有实数解,设函数 g(x) e x (1 a)x,g(x)e x (1 a)(1 a)ex 1x，e(i)当 a 1 时，g(x)0，函数g(x)没有零点;(ii )当a 1时，函数g(x)单调递减，g1e10，且 g(0)10，函数g(x)有零点;(iii)当a 1时，令g (x)(1 a)ex 10x0，ex ln(1 a),ln(1 a

31、)时,g (x)0 , g(x)单调递减;ln(1 a),)时,g (x)0, g(x)单调递增;ln(1 a)时，g(x)ming( ln(1 a) (1 a)(1 ln(1 a),令(1a)(1 ln(1 a)0，得 1 e a 1 ,即函数g(x)没有零点,综上所述，若函数 g(x)没有零点,即方程e (1 a)x 0没有实数解,故实数a的取值范围为(1e,1.【点睛】本题考查了利用函数讨论含数的单调性问题，零点问题，导数与函数的综合应用，属于较难的压轴题.x22 .在平面直角坐标系 xOy中，直线I的参数方程是y2 tC0S (t为参数).以 tsin坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 :2与x轴的正、负半轴分别交于A, B两点(I) P为G上的动点，求线段 AP中点的轨迹C2的直角坐标方程；(n)直线I与C